2022-2023学年福建省龙岩市九年级（上）期末数学试卷（一检）（含解析）

2022-2023学年福建省龙岩市九年级（上）期末数学试卷（一检）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 下列事件中，是随机事件的是( )
A. 画一个三角形，其内角和是
B. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
C. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于
D. 在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃
5. 将抛物线通过一次平移可得到抛物线，对这一平移过程描述正确的是( )
A. 向上平移个单位长度 B. 向下平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6. 某开发公司年投入的研发资金为亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划年投入亿元研发资金若年到年投入的研发资金年平均增长率均为，则下列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧如图，点表示筒车的一个盛水桶如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心在水面上方为圆心的圆，且圆被水面截得的弦长为米若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为米，则这个圆的半径为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
9. 将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形下列图形中：正方形；长方形；正五边形；六边形其中是双心多边形的有( )
A. B. C. D.
10. 已知，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，点在运动过程中，下列结论：
≌；
当点和点互相重合时，；
平分；
正确的有个．( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 点关于原点对称的点的坐标为______．
12. 动车上二等座车厢每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为 ．
13. 用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格：
根据以上信息，当时， ．
14. 如图，点是轴正半轴上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若的面积为，反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
15. 如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，则阴影部分的面积是 结果保留．
16. 已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解下列方程：
；
．
18. 本小题分
已知关于的方程．
取什么值时，方程有两个实数根；
如果方程有两个实数根，，且，求的值．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，若绕点逆时针旋转后，得到对应点是，对应点是
画出，并直接写出的坐标；
求旋转过程中点的运动路径长结果保留．
20. 本小题分
年月日至月日，中国共产党的第二十次全国代表大会在北京召开在党的二十大召开之际，为激励引领全校青少年传承红色基因，争做党的事业接班人，某校团委组织了“红心永向党喜迎二十大”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀奖”
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
获奖总人数为 人， ；
学校将从获得一等奖的名同学名男生，名女生中随机抽取名参加全市的比赛，请利用树状图或列表求抽取同学中恰有名男生和名女生的概率．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，且点的坐标为．
求的面积；
若，结合图象，直接写出对应的自变量的取值范围 ．
22. 本小题分
如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园含隔离栏，菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为篱笆的宽度忽略不计
菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．
因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
23. 本小题分
阅读下列材料，并回答问题．
材料自从义务教育数学课程标准年版实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”在学习完切线的性质与判定后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点求作：直线，使与相切于点”．
班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：
连接，以为圆心，长为半径作大圆；
若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于，两点点在点的上方；
连接交小圆于，连接，则是小圆的切线．
问题
请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图尺规作图，保留作图痕迹，并说明理由．
延长交大圆于，连接，若，，求的长．
24. 本小题分
将绕点逆时针旋转得到，且点落在的延长线上，连接．
如图，若，，交于点．
求的度数；
直接写出的值．
如图，若点，分别为，的中点，连接并延长交于点，求证：．
25. 本小题分
已知抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点为坐标原点．
求，两点的坐标；
若点是线段上靠近点的一个三等分点，点是抛物线的一个动点，过点作轴的垂线，分别交射线，于点，．
求直线的解析式用含的式子表示；
设，的面积分别为，，若，求此时点的横坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：二次函数是顶点式，
顶点坐标为．
故选：．
因为顶点式，其顶点坐标是，对照求二次函数的顶点坐标．
本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考考查重点，同学们应熟练掌握．
3.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
所以．
故选：．
利用一元二次方程根的定义把代入方程可得到的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】
【解析】解：、画一个三角形，其内角和是，是必然事件；
B、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
C、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于，是必然事件；
D、在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃，属于随机事件；
故选：．
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．
本题主要考查随机事件的概念：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件．
5.【答案】
【解析】解：将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是向左平移了个单位，
故选：．
根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
6.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
故选：．
根据题意得到关系式为：年研发资金投入年平均增长率年研发资金投入，把相关数值代入即可
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
7.【答案】
【解析】解：设的中点为，连接，如图所示：
以量角器的直径为斜边画直角三角形，
、、、四点共圆，
量角器上点对应的读数是，
，
，
故选：．
根据以量角器的直径为斜边画直角三角形，可知、、、四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：过点作半径于，如图，
米
米，
米，
设米，则米，
在中，，即，
解得，
故米．
故选：．
过点作半径于，如图，由垂径定理得到，设，则，再利用勾股定理计算出的值即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据正多边形既有外接圆又有内切圆可知：正方形、正五边形、都是双心多边形，
双心多边形有，
故选：．
根据正多边形既有外接圆又有内切圆可得答案．
本题主要考查了正多边形和圆的知识，熟练掌握正多边形既有外接圆又有内切圆是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
≌，故正确；
当点和点互相重合时，如图：
线段绕点逆时针旋转得到，
，，
是等腰直角三角形，
是中点，，
，
，
，
，故正确；
如图：
是等腰直角三角形，是的中点，
，，
，
，
，，，共圆，
，
，
，
平分，故正确；
当与重合时，最短，如图：
此时与都在上，
是等腰直角三角形，是中点，
是等腰直角三角形，
，
最小为，
当与重合时，最大，过作于，如图：
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得舍去或，
，
，
最大为，
，故正确；
正确的有个，
故选：．
由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证≌，故正确；当点和点互相重合时，由是等腰直角三角形，是中点，，可得，从而，故正确；由，可得，，，共圆，有，即得，平分，故正确；分别求出的最大，最小值，可得，故正确．
本题考查矩形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是求出的最大，最小值．
11.【答案】
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为．
根据点关于原点对称的点的坐标为即可得到点关于原点对称的点的坐标．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点关于原点对称的点的坐标为．
12.【答案】
【解析】解：动车上二等座车厢每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位，
小刘的座位是靠窗的概率为，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由上表可知函数图象经过点和点，
对称轴为，
当时的函数值等于当时的函数值，
当时，，
当时，．
故答案是：．
根据题目提供的满足二次函数解析式的、的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当时，的值即可．
本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：作于点，
将线段绕点逆时针旋转，得到线段，，
，
是等边三角形，
，，
的面积为，
，
，
，，
点的坐标为：，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
根据题意得到是等边三角形，解直角三角形求得点的坐标，进而可以求得的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．
15.【答案】
【解析】解：连接，
在中，，
是半圆的直径，
，
在等腰中，垂直平分，，
为半圆的中点，
．
故答案为：．
已知为直径，则，在等腰直角三角形中，垂直平分，，为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差．
本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设直线的解析式为，
则，
，
的解析式为，
，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，
，
抛物线与线段有两个不相同的交点，
时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件，
，
令，整理得：，
，
，
，
故答案为：．
用待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质得出时，，且，进一步利用求解即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
或，
，．
【解析】利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法进行求解一元二次方程即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18.【答案】解：方程有两个实数根，
，
，
解得：；
方程有两个实数根，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【解析】根据根的判别式大于等于，求出的范围即可；
利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到的值．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
19.【答案】解：如图，即为所求．
点的坐标为．
由勾股定理得，，
旋转过程中点的运动路径长为．

【解析】根据旋转的性质作图，即可得出答案．
利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可．
本题考查作图旋转变换、弧长公式、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理以及弧长公式是解答本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：获奖总人数为人，
等级人数为人，
，即，
故答案为：、；
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中男女的结果数为，
所以抽取的同学恰好是男女的概率为．
由等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出等级人数，继而除以总人数可得的值；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出男女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图．
21.【答案】或
【解析】解：点在一次函数的图象上，
．
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
由解得或，
设直线与轴的交点为，
令，则，解得，
，
．
若，自变量的取值范围或，
故答案为：或．
由一次函数解析式求得的值，然后根据待定系数法求得反比例函数解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，设直线与轴的交点为，然后根据即可求得；
根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，求得函数的解析式是解题的关键．
22.【答案】解：设的长为，则的长为，
根据题意得：，
解得或，
当时，，舍去；
当时，，满足题意，
花园面积可能是，此时边长为；
设的长为，菜园面积为，
由题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，最大，最大值为．
答：该菜园面积的最大值为平方米．
【解析】设的长为，则的长为，根据矩形的面积列出方程，解方程取符合题意的值即可；
设的长为，菜园面积为，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和解析式．
23.【答案】解：小岩同学所在的学习小组提供的作图方法正确．理由：
按照步骤完成作图如下：
由题意得：，，
为小圆的切线，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
为小圆的半径，
是小圆的切线；
连接，如图，
为小圆的切线，
，
．
，
，
，
．
为小圆的直径，
，
，
，
，
，
．
【解析】利用同圆的半径相等，全等三角形的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
连接，利用圆的解析的性质定理，垂径定理和勾股定理求得，，再利用圆周角定理，三角形的中位线定理和勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
24.【答案】解：，，
，
，，
，
，
，
由旋转变换的性质可知，
，
；
由可知，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
证明：连接，．
，，
，平分，
，，
，平分，
，
，，，四点共圆，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】由旋转变换的性质可知，求出，可得结论；
证明，，可得结论；
连接，，证明，，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰三角形的性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题．
25.【答案】解：抛物线，当时，则，
，
，解得，，
，．
抛物线，当时，，
，
，
点是线段上靠近点的一个三等分点，
，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，解得，
直线的解析式为．
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，解得，，
直线的解析式为，
，的面积分别为，，且，
，
，
设点的横坐标为，则，，，
，
当点在线段的延长线上，如图，则，
，解得，不符合题意，舍去；
当点在线段上，如图，此时；
当点在线段的延长线上，如图，则，
，解得，不符合题意，舍去；
综上所述，点的横坐标为或．
【解析】抛物线，令，则，解得，，则，；
先求得，则，即可用待定系数法求得直线的解析式为；
先求得直线的解析式为，由题意得，设点的横坐标为，则，，，所以，再分三种情况讨论，一是点在线段的延长线上，则，可列方程；二是点在线段上，此时；三是点在线段的延长线上，则，可列方程，解方程求出符合题意的的值即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等高三角形面积的比等于底边长的比、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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