2022-2023学年广东省梅州市平远县铁民中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市平远县铁民中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知的半径为，，则点和的位置关系是( )
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法判断
3. 如图，，是的两条切线，，是切点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4. 下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5. 抛物线顶点坐标是( )
A. B. C. D.
6. 设，，是抛物线上的三点，，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. 盒子里有张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标有数字，，，从中随机抽出一张后不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
9. 如图，的半径为，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )
A.
B.
C.
D.
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：；；；为实数其中结论正确的个数为( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 在函数中，当 时，随的增大而减小．
12. 抛物线的顶点坐标为______．
13. 一元二次方程的根的判别式是______ ．
14. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式 ．
过点；当时，随的增大而减小．
15. 如图，在的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是______．
16. 如图，在的内接五边形中，，则______
17. 如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于；如此进行下去，直至得到，若点在第段抛物线上，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
已知：抛物线求：
直接写出抛物线的顶点坐标；
当时，求的取值范围．
19. 本小题分
如图，直线、相交于点，且所成的锐角为，画出关于直线的对称图形，然后画出关于直线的对称图形，你能发现与有什么关系吗？若是平移，指出平移的方向和距离；若是旋转，指出旋转的中心和角度．
20. 本小题分
如图，一个可以自由转动的转盘，分成了四个扇形区域，共有三种不同的颜色，其中红色区域扇形的圆心角为小华对小明说：“我们用这个转盘来做一个游戏，指针指向蓝色区域你赢，指针指向红色区域我赢”你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由．
21. 本小题分
已知的弦长为，半径长为，是弦的弦心距，求的长．
22. 本小题分
在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的张扑克牌如图所示洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的张牌的数字之和为偶数的概率．
23. 本小题分
如图，圆中两条弦、相交于点，且，求证：．
24. 本小题分
已知关于的方程
求证：不论为何实数时，方程有固定的自然数解，并求这自然数．
设方程另外的两个根为、，求、的关系式．
若方程的三个根均为自然数，求的值．
25. 本小题分
如图，在直角坐标系中，以轴上一点为圆心的圆与轴、轴分别交于、、、四点，连接，的半径为．
写出、、、四点坐标；
求过、、三点的抛物线的函数解析式，求出它的顶点坐标．
若过弧的中点作的切线交轴于，交轴于，求直线的解析式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、由已知方程知：，该方程不是一元二次方程，所以不符合题意；
B、当时，方程不是一元二次方程，所以不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，所以符合题意；
D、该方程不是整式方程，所以不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程．
2.【答案】
【解析】解：点到圆心的距离，小于的半径，
点在在圆内．
故选：．
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
3.【答案】
【解析】解：、是的两条切线，、是切点，
，．
故选：．
利用切线的性质可得，，再用四边形的内角和为度可解．
本题利用了切线的性质，四边形的内角和为度求解．
4.【答案】
【解析】解：、属于中心对称图形；
B、不属于中心对称图形；
C、属于中心对称图形；
D、属于中心对称图形；，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．
本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5.【答案】
【解析】解：的顶点坐标是，
故选：．
根据的顶点坐标是，可得答案．
本题考查了二次函数的性质，利用的顶点坐标是是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7.【答案】
【解析】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
解得，，
故选：．
将代入关于的一元二次方程，再解关于的一元二次方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把的值代入，再解关于的方程即可．
8.【答案】
【解析】解：列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中两次抽出的卡片都是奇数的有种结果，
所以两次抽出的卡片都是奇数的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数，再找出其中某一事件所出现的可能数，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．
9.【答案】
【解析】解：连接，过弦，连接．
在直角中，，
则，
故过的弦的范围是：，
则的整数值是：，，．
，时弦各有条．
故选：．
连接，过弦，连接，根据勾股定理即可求得的长，则过的弦的范围即可求得，从而确定的整数值．
本题考查了圆的垂径定理：垂直于弦的直径平方弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆的对称性和勾股定理．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故正确；
当时，，
，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，
时，函数的最小值为，
，
即，所以正确．
故选：．
由抛物线开口方向、对称轴位置，抛物线与轴的交点，即可判断；由时，，即可判断；由对称轴对称，代入，即可判断；由时，有最小值，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴为，且
抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小．
故答案为：．
根据函数解析式可知抛物线对称轴为，抛物线开口向上，由此可知当时，随的增大而减小．
本题主要考查了二次函数的增减性．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，
该抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
13.【答案】
【解析】解：一元二次方程的根的判别式是：．
故答案是：．
根据根的判别式公式解答．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的判别式公式为．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据题意，所写函数，
例如：，
此时当时，，
经过点．
所以函数解析式为答案不唯一．
根据“随的增大而减小”所写函数的值小于，所以只要再满足点即可．
本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不唯一，只要满足条件即可．
15.【答案】
【解析】解：小虫落到阴影部分的概率，
故答案为：．
分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．
本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，
五边形是圆内接五边形，
四边形是圆内接四边形，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据圆内接四边形对角互补可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后求解即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道点为抛物线的顶点，从而得到结果．
本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
【解答】
解：，
配方可得，
顶点坐标为，坐标为
由旋转得到，
，即顶点坐标为，；
照此类推可得，顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
．
故答案为：．
18.【答案】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标是；
抛物线，
当时，随的增大而减小，
当时，的取值范围是，
即当时，的取值范围是．
【解析】根据题目中的函数解析式可以得到该抛物线的顶点坐标；
根据抛物线的解析式可以得到当时，的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19.【答案】解：如图，和为所作．
和关于直线的对称，
，与直线夹角等于与直线的夹角，
和关于直线的对称，
，与直线夹角等于与直线的夹角，
，，
同理得到，，，，
绕点逆时针旋转得到．
【解析】利用轴对称的性质画出和，然后根据轴对称的性质得到，，，，从而可判断绕点逆时针旋转得到．
本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．也考查了旋转的性质．
20.【答案】解：公平，
红色区域与黄色区域圆心角相等，
黄色区域圆心角度数为，
蓝色区域圆心角度数为，
，，
，
此游戏公平．
【解析】首先确定在图中红色区域和黄色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域与黄色区域的概率．从而得出答案．
此题考查几何概率问题，关键是根据概率相应的面积与总面积之比解答．
21.【答案】解：连接．
，弦长为，
．
根据勾股定理，得．
【解析】连接根据垂径定理求得的长，再进一步根据勾股定理即可求得的长．
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
22.【答案】解：列表如下：

----
----
----
----
所有等可能的情况数有种，抽取张牌的数字之和为偶数的有种，
则．
【解析】列出得出所有等可能的情况数，找出抽取张牌的数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，概率所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，即，
，
，
又，
．
【解析】本题考查的是圆周角定理．
连接，依据，即可得出，进而得到，可得，再根据，即可得到．
24.【答案】解：原方程整理得：
解方程得，，
当时，，故所求自然数为；
是方程的固定解，
是方程的一个因式，原方程分解为，
、是方程的两根，
，．
由可知，当时，方程三个根均为自然数．
【解析】把方程整理，使含的项“系数”为，求的值，再代入不含的项检验，可求这个自然数；
由所求自然数值可知方程的一个因式，代入方程，再将方程分解因式，由两根关系解题；
在的条件下，根据解为自然数，求的值．
本题考查了求高次方程固定根的方法，方程的根与系数关系，自然数解的问题．
25.【答案】解：，的半径是，
，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
由垂径定理可得：，
，
，，，；
设函数解析式为，
，，，
，
解得：，
函数解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
连接，如图：
在中，，
，
为弧的中点，
，
切于，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
负值已舍去，
，，
设直线的解析式是，
，
解得：，
直线的解析式是．
【解析】由，的半径是，可得，，由勾股定理得：，由垂径定理可得：，即可得，，，；
用待定系数法可得函数解析式为，再配成顶点式得抛物线的顶点坐标为；
连接，由，可得，而为弧的中点，故，根据切于，有，从而，，在中得，解得，即知，，最后用待定系数法可得直线的解析式是．
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，圆的性质及应用，圆切线的性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是求出．
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