2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2. 若，则下面等式成立的是( )
A. B.
C. D.
3. 下面有个汽车标识图案，不是轴对称图形的图案为( )
A. B.
C. D.
4. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
5. 若分式的值为，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，的垂直平分线交于，连结，若的周长为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 到三角形的三个顶点距离相等的点是( )
A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点
C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点
9. 已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 下列命题中真命题的个数是( )
关于某直线对称的两个三角形是全等三角形；
形如的式子叫做二次根式；
有两个角是的三角形是等边三角形；
顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 用科学记数法表示为 ．
12. 计算：当 时，有意义．
13. 已知点与点关于轴对称，则的值为______．
14. 计算：______．
15. 在中，的垂直平分线交边于，交于点，的垂直平分线交边于，交于点，若，则等于
16. 如图，中，，于点，若，，则 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. ．
四、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：
；
19. 本小题分
因式分解：．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
请画出关于轴对称的，并直接写出的坐标．
请画出向右平移个单位的图形．
请直接写出的面积．
22. 本小题分
如图，点，点在的边上，，．
求证：是等腰三角形．
若，，直接写出图中除和以外的所有等腰三角形．
23. 本小题分
在“六一”儿童节来临之际，某儿童商场用元购进了一批玩具，上市后很快脱销，商场又用元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的倍，但每个进价多了元．
该商场两次共购进这批玩具多少个？
如果这两批玩具每个的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每个玩具售价至少是多少元？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，因此选项A不正确；
，因此选项B不正确；
，因此选项C正确；
，因此选项D不正确；
故选：．
根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，逐项进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘方、积的乘方和幂的乘方，掌握计算的法则是正确计算的前提．
2.【答案】
【解析】解：、，本选项错误，不符合题意；
B、，本选项正确，符合题意；
C、，本选项错误，不符合题意；
D、，本选项错误，不符合题意．
故选：．
利用完全平方公式，幂的乘方的性质一一判断即可．
本题考查完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用整式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】
【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故选：．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
，
的周长为，，
．
故选：．
先根据的垂直平分线分别交、于点、得出，再根据的周长为，即可求出的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
本题利用完全平方公式，代入计算即可．
本题考查完全平方公式的应用，将式子进行变形后计算即可．
8.【答案】
【解析】解：三角形内部，到三角形三个顶点的距离相等，
一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．
故选：．
直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
故选：．
作点关于轴的对称点，由待定系数法求出的解析式，再根据的解析式即可求出点的坐标．
本题考查的是轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，故是真命题；
形如的式子叫做二次根式，故是真命题；
有两个角是的三角形是等边三角形，故真命题；
顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，故是真命题；
真命题有个，
故选：．
根据轴对称和全等三角形概念，二次根式概念，等边三角形判定逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】解：有意义，则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式的定义得出的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值，进而可得答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14.【答案】
【解析】解：；
故答案为：．
根据多项式乘多项式的运算法则进行解答即可得出答案．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：如图，，分别垂直平分和，
，，
，，
，
，
解得，，
；
如图，
，分别垂直平分和，
，，
，，
，
则，
解得，，
，
故答案为：或．
根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：截取线段，点在线段上，如右图所示，
则，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先作辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质，可以得到的长，再根据等腰三角形的性质，可以得到的长，从而可以求得的长．
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】解：原式
．
【解析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．
18.【答案】解：原式
：
原式．
【解析】根据同底数幂的乘除法的计算方法进行计算即可；
根据负整数指数幂以及分式乘除法的计算方法进行计算即可．
本题考查负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式，掌握负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式的计算方法是正确解答的前提．
19.【答案】解：原式
．
【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
20.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出的值，代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21.【答案】解：如图所示，即为所求，；
如图所示，即为所求；
的面积．
【解析】根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
根据三角形面积计算公式即可求解．
本题考查了轴对称变换的性质与平移变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质与平移变换的性质是解题的关键．
22.【答案】证明：过点作于点，
，
，
，
，
．
解：，，
，
，，
，
，，
，，，，
除与外所有的等腰三角形为：、、、，
【解析】首先过点作于点，由，根据三线合一的性质，可得，又由，可得，然后由线段垂直平分线的性质，可证得．
根据等腰三角形的判定解答即可．
此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
23.【答案】解：设该商场第一批购进了这种玩具个，则第二批购进这种玩具个，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
则，
个．
答：该商场两次共购进这批玩具个；
设每个玩具的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
则每个玩具的售价为元．
答：每个玩具的售价至少为元．
【解析】设该商场第一批购进了这种玩具个，则第二批购进这种玩具个，根据关键语句“每个进价多了元”可得方程，解方程即可；
设每个玩具的售价为元，根据题意可得不等关系：玩具的总售价成本利润，由不等关系列出不等式即可．
此题主要考查了分式方程，以及不等式的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系以及不等关系，列出方程与不等式．
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