福建省普通高中2023届高三下学期学业水平选择性考试（一）数学试卷（含解析）

福建省普通高中2023届高三下学期学业水平选择性考试（一）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2、已知复数，满足，，其中，i为虚数单位，若，则实数a的值为( )
A. B. C.3或-1 D.1或-3
3、已知，则( )
A. B. C. D.
4、已知，，若，则n的值为( )
A. B.5 C. D.25
5、已知向量a，b满足，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6、焦点为F的抛物线的对称轴与准线交于点A，点B在抛物线C上且在第一象限.在中，，则直线BF的斜率为( )
A. B. C.1 D.
7、若直线l与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
8、在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆交于A，B两点，若存在直线l，使得，则半径r的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、关于变量x，y的n个样本点，，…，及其线性回归方程：，下列说法正确的有( )
A.相关系数r的绝对值越大，则表示x，y的线性相关程度越强
B.线性回归方程中的，则变量x，y正相关
C.线性回归方程小的，则变量x，y负相关
D.若，，则点一定在回归直线上
10、已知函数，则真命题有( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于点中心对称
C.是函数图象的一条对称轴
D.将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到函数的图象
11、已知右焦点为F的双曲线的一条渐近线方程为，点F到渐近线的距离为4，过点作直线l交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有( )
A.双曲线C的标准方程为
B.该双曲线的离心率为
C.满足的直线l有且仅有二条
D.若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线l的斜率的取值范围是
12、已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，侧面积为.正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面ABCD的四个顶点在圆台下底面圆周上，则( )
A.与底面所成的角为
B.二面角大于
C.正四棱台的外接球的表面积为
D.设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则
三、填空题
13、在的展开式中，常数项为__________.(用数字作答)
14、直线与x，y轴的交点分別是A，B，l与函数，的图象的交点分別为C，D，若C，D是线段AB的三等分点.则的值为__________.
15、已知等差数列的首项为，公差，等比数列满足，，则的取值范围为__________.
16、已知三棱柱的所有棱长均为4，空间内的点H满足，且，则满足条件的H所形成曲线的轨迹的长度为__________.
四、解答题
17、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.，且的外接圆的半径为1.
(1)若，求的面积S；
(2)求B的最大值.
18、已知数列是公比为2的等比数列，，数列满足，设.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前20项和.
19、如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，其中，，，平面平面ABCD.
(1)求证：平面PAD；
(2)若锐二面角的余弦值为，求该四棱锥的体积.
20、某综艺节日设置了嘉宾游戏环节，游戏共分两个阶段，其中第一阶段为闯关，根据每位嘉宾第一阶段的闯关得分情况，选择第二阶段的游戏内容.第一阶段共有A，B，C，D四个关卡.四个关卡的对应分值分别为1，1，2，3分.参与游戏的嘉宾依次闯这四个关卡，若在某个关卡闯关成功，则得到该关卡的分值，若闯关失败，则得不到该关卡的分值，且每一关是否能闯关成功互不影响.每位嘉宾依次闯过这四个关卡之后的累计得分，为该嘉宾在第一阶段的得分.已知某嘉宾能成功闯过这四个关卡的概率依次为，，，.
(1)求该嘉宾恰好闯过其中两个关卡的概率；
(2)设该嘉宾第一阶段的得分为随机变量X.求X的数学期望.
21、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆焦距为2.过点的直线l与椭圆C交于A，B两点.当直线l过原点时，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求m的取值范围.
22、已知函数.
(1)若曲线在处的切线过点，求的值；
(2)若有两个极值点，，若，求正实数的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：易知，，所以.故选A.
2、答案：C
解析：易知，，所以，解得或-1.故选C.
3、答案：A
解析：易知，
所以.故选A.
4、答案：D
解析：易知，，
所以，所以，即.故选D.
5、答案：D
解析：设向量a，b的夹角为，则，
所以，所以，
即.故选D.
6、答案：A
解析：过B作准线的垂线，垂足为H，作x轴的垂线，垂足为C，
则由抛物线的定义可得，由，则中由正弦定理可知：则，，设BF的倾斜角为，则，，故选A.
7、答案：B
解析：因为直线l与曲线相切，切点为，
可知直线l的方程为，
又直线l与曲线也相切，切点为，
可知直线l的方程为，
所以，两式相比，可得，所以.故选B.
8、答案：C
解析：设AB中点为H，则，
，因为，所以，
因为，，所以，即，所以，
因为，所以.故选C.
9、答案：ABD
解析：对A，根据线性相关系数的意义可知，当r的绝对值越大时，两个变量的相关性越强，故A正确；
对B，若，则变量x，y正相关，故B正确；
对C，的值不能判断x，y的相关性，故C错误；
对D，样本的中心点一定在回归直线上，故D正确.故选ABD.
10、答案：AC
解析：，函数的最小正周期为，A正确；，，则，，的对称中心，，显然对，，B不正确；
，，则，，的对称轴，，当时，，C正确；
将函数的图象向右平移个单位后得到，D不正确；故选AC.
11、答案：BD
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为4，，，
C：，故A错误；
，，，
所以该双曲线的离心率，故B正确；
点为双曲线的右焦点，
当时，，
当A，B两点都在双曲线的右支上时，，
因为，所以这种情况的直线AB只有两条，
当A，B再双曲线的左右两支上时，
可得，
而，可得这样的直线有两条，
综上所述，满足的直线l有4条，故C错误；
双曲线的渐近线方程为，
要使A和B分别在双曲线左、右两支上，
则直线l的斜率的取值范围是，故D正确.故选BD.
12、答案：BCD
解析：圆台的侧面积公式为：，，所以圆台的母线为2.如图，过作，作出截面的平面图，易知为等腰梯形，且O，为，中点，，，，，故，即圆台的高，
，，即四棱台的上下底边长分别为和，
选项A：易得即为与底面所成角，则，故，故A错误；
选项B：过P作于Q，连接，由，，故面，面，
故，即为二面角的平面角，，，又，故，即，B正确；
选项C：设外接球半径为R，球心到下底距离为x，在的平面图中，为球心，则，，，，，故，故表面积，C正确；
选项D：，，，正确.故选BCD.
13、答案：581
解析：常数项为.
14、答案：
解析：直线与x，y轴的交点为，，因为C，D是线段AB的三等分点，可得，，所以，，解得，，所以.
15、答案：
解析：设等比数列的公比为q，则，，所以，所以，且，因为，，所以.
16、答案：
解析：设的中点为M，的中点为N，易知，因为，且，所以H点在以，为直径的球上，球心分别为M，N，半径分别为，，即，，又，所以，即，过H作，垂足为T，则，因为两球的交线为圆，所以H点轨迹是以T为圆心，以HT为半径的圆，所以轨迹长度为.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)因为外接圆半径为1，由正弦定理可知，，，
所以，
又，所以；
(2)由(1)可知，，且，
由余弦定理可知，，
当且仅当时，上述等号成立，
所以，所以，解得，
所以B的最大值为.
18、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为，
所以，
所以，
所以，
所以，即数列是公差为1的等差数列；
(2)因为，且，所以，
又，所以，，
所以，，即，
所以当时，则，
当时，，则，
所以当时，，
所以.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，取AD的中点H，连接PH，
因为，H点为AD的中点，所以，
又因为平面PAD，且平面平面ABCD，
平面平面，所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
又，，平面PAD，所以平面；
(2)过A作平面ABCD，设该四棱锥的高为h，锐二面角为，
由(1)可知，平面PAD，又平面PAD，所以，
分别以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，则
取，则，，所以，
设平面PAC的法向量为，则
取，则，，所以，
所以，整理得，解得，
所以四棱锥的体积.
20、答案：(1)
(2)
解析：(1)设该嘉宾恰好问过其中两个关卡为事件A，
则；
(2)易知X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，
则，
，
，
，
，
，
，
，
所以.
21、答案：(1)
(2)
解析：(1)因为直线l过原点时，，不防设A点在第一象限，
所以A点坐标为，带入椭圆C的方程，可得，
又由题意可知，，且，解得，，
所以椭圆C的标准方程为；
(2)易知直线l的斜率存在，设，
与椭圆C的方程联立，
消去y，整理得，
由题意可知，，
整理得，解得，
设，，则，，①
由题意，，
将①带入上式，整理得，有，
又，解得.
22、答案：(1)
(2)
解析：(1)易知，所以切线斜率为，
则切线方程为，
整理得，
因为切线过点，所以，即，
设，则，令，解得，
列表可知(表略)，，即；
(2)易知，
当时，恒成立，单调递增，无极值；
当时，令，则，，
又，所以存在，，使得，
且，，，即，，
所以，
所以，
设，即，
，
易知，使得，且，
列表可知(表略)，，
设，则，所以单调递增，
又，所以，
所以.