第九章：不等式与不等式组练习题2021-2022学年甘肃省七年级下学期人教版数学期末试题选编（含解析）

第九章：不等式与不等式组
一、单选题
1．（2022春·甘肃陇南·七年级统考期末）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是【 】．
A．ac＞bc B． C．c-a＞c-b D．c+a＞c+b
4．（2022春·甘肃天水·七年级统考期末）若a＞b，则下列不等式变形错误的是(　　)
A．a＋2＞b＋2 B．－＜－ C．3－a＞3－b D．4a－1＞4b－1
5．（2022秋·甘肃天水·七年级统考期末）如果ab＜0，那么下列判断正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0
C．a≥0，b≤0 D．a＜0，b＞0或a＞0，b＜0
6．（2022春·甘肃陇南·七年级统考期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·甘肃定西·七年级统考期末）2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物，“冰墩墩”售价48元/个，“雪容融”售价30元/个，小明妈妈一共买了10个吉祥物，总共花费不超过400元，若设购买“冰墩墩”x个，则能够得到的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022春·甘肃天水·七年级统考期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．（2022春·甘肃天水·七年级统考期末）不等式组的解集为．则的取值范围为（ ）
A． B． C．≥1 D．-1
10．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）若不等式组的解集为2A．-2,3 B．2,-3 C．3,-2 D．-3,2
二、填空题
11．（2022春·甘肃定西·七年级统考期末）若，则______．（填“＞”或“＜”）
12．（2022春·甘肃陇南·七年级统考期末）关于的不等式的解集是___________．
13．（2022春·甘肃定西·七年级统考期末）下面是小明同学解不等式的步骤，其中第______步是错误的．
解不等式：．
第一步：去分母得，
第二步：移项得，
第三步：系数化为1得．
14．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）满足x-5＜3x+1的x的最小整数是________．
15．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）定义新运算：对于任意实数a、b都有ab=a(a-b)+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：25=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-5．那么不等式4x<13的解集为_____．
16．（2022春·甘肃天水·七年级统考期末）若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于________．
三、解答题
17．（2022春·甘肃陇南·七年级统考期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（2022春·甘肃定西·七年级统考期末）为了防控疫情，某医院新购进了一批口罩，包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩各买了800只，共花费7200元；在价格都没变动的情况下，第二次购进一次性医用外科口罩2000只，N95口罩500只，共花费6000元．
（1）求该医院购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）如果该医院计划第三次购买这两种口罩（价格仍然没有变动）共2000只，预算购进的总费用不超过10000元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
19．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）已知x，y满足方程组且x+y<0．
(1)试用含m的式子表示方程组的解；
(2)求实数m的取值范围；
(3)化简|m+|-|2-m|．
20．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
21．（2022春·甘肃陇南·七年级统考期末）解不等式组：并求出不等式所有整数解的和．
22．（2022春·甘肃天水·七年级统考期末）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
A B
成本（万元/套） 25 28
售价（万元/套） 30 34
(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？
(3)根据市场调查，每套A型住房的售价不会改变，每套B型住房的售价将会降低a万元（0＜a＜6），且所建的两种户型住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？
23．（2022春·甘肃定西·七年级统考期末）解不等式组，并写出它的最大正整数解．
24．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）解下列不等式（组）
(1)（把它的解集在数轴上表示出来）
(2)
25．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）某校计划组织名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有，两种客车可供租用，型客车每辆载客量人，型客车每辆载客量人．若租用辆型客车和辆型客车共需费用元；若租用辆型客车和辆型客车共需费用元．
（1）求租用，两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）学校计划租用辆车，且每位师生都有座位，租车总费用不超过万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
26．（2022春·甘肃天水·七年级统考期末）解下列方程或不等式组，并把不等式的解集表示在数轴上．
（1）；
（2）．
27．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）新农村实行大面积机械化种植，为了更好地收割庄稼，农田承包大户张大叔决定购买8台收割机，现有久保田和春雨两种品牌的收割机，其中每台收割机的价格、每天的收割面积如下表销售商又宣传说，购买一台久保田收割机比购买一台春雨收割机多8万元，购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元．
久保田收割机 春雨收割机
价格万元台 x y
收割面积亩天 24 18
（1）求两种收割机的价格；
（2）如果张大叔购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若每天要求收割面积不低于150亩，为了节约资金，那么有没有一种最佳购买方案呢？
参考答案：
1．A
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
C、由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．B
【详解】x－1＜0的解集为x＜1，
它在数轴上表示如图所示，
故选B．
3．D
【分析】根据不等式的基本性质一一判断可得答案.
【详解】解：A、当c＜0时，不等式a＞b的两边同时乘以负数c，则不等号的方向发生改变，即ac＜bc．故本选项错误；
B、当c＜0时，不等式a＞b的两边同时除以负数c，则不等号的方向发生改变，即．故本选项错误；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以负数-1，则不等号的方向发生改变，即-a＜-b；然后再在不等式的两边同时加上c，不等号的方向不变，即c-a＜c-b．故本选项错误；
D、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍然成立，即a+c＞b+c；故本选项正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查的是不等式的基本性质.
不等式的性质1: 不等式两边加(或减)同一个数(或式子), 不等号的方向不变.即如果a>b, 那么ac>bc;
不等式的性质2: 不等式两边乘(或除)以同一个正数, 不等号的方向不变.即如果a>b, c>0, 那么ac>bc或(>);
不等式的性质3: 不等式两边乘(或除)以同一个负数,不等号的方向改变.即如果a>b,c<0,那么ac4．C
【详解】A.根据不等式的性质1，在a>b的两边都加2，不等号方向不改变，故正确；
B.根据不等式的性质3，在a>b的两边都乘 ，不等号方向改变，故正确；
C.根据不等式的性质3，在a>b的两边都乘 ，得－a<－b，根据不等式的性质1，在－a<－b 的两边都加3，不等号方向不改变，故错误；
D.先根据不等式的性质3，在a>b的两边都乘4，不等号方向不改变，得4a>4b，再根据性质1得4a－1＞4b－1，故正确；
故选：C．
5．D
【详解】分析：根据有理数的乘法符号法则作答．
解答：解：∵ab＜0，
∴a与b异号，
∴a＜0，b＞0或a＞0，b＜0．
故选D．
点评：本题主要考查了有理数的乘法符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负．
6．A
【分析】利用不等式的性质即可得到不等式的解集．
【详解】解：3x+6≤0
3x≤-6
x≤-2
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质先去分母，有括号的再去括号，然后移项、合并，最后得到不等式的解集．
7．D
【分析】设购买“冰墩墩”x个，根据“总共花费不超过400元”列出不等式即可求解．
【详解】解：设购买“冰墩墩”x个，根据题意得，
故选：D
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，理解题意是解题的关键．
8．B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，并在数轴上表示出不等式的解集，即可求解．
【详解】解：
解不等式
得：x≤1，
解不等式5 x<6得：x>-1，
将两个不等式的解集表示在数轴上如下：
故选B．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
9．C
【分析】解不等式组得，结合题意可得1+k≥2，然后求解即可．
【详解】解：解不等式组得，
又不等式组的解集为x＜2，
即1+k≥2，
即k≥1，
故选：C
【点睛】本题考查了不等式组的解法，解答本题的关键是熟练掌握不等式组的解法．
10．A
【详解】 ,
∵解不等式①得：x＜b，
解不等式②得：x＞-a，
∴不等式组的解集是：-a＜x＜b，
∵不等式组的解集为2＜x＜3，
∴-a=2，b=3，
即a=-2，
故选A．
【点睛】解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，关键是得出关于a、b的方程.
11．
【分析】根据不等式的性质3即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．
【分析】先去分母，再移项，最后把未知数的系数化“”，即可得到不等式的解集．
【详解】解：
去分母得：＞
移项得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解不等式的方法是解题的关键．
13．三
【分析】根据不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可求解．．
【详解】解：解不等式：．
第一步：去分母得，
第二步：移项得，
第三步：系数化为1得．
小明同学的步骤中第三步是错误的，
故答案为：三
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
14．-2
【分析】先解出不等式的解集，再求其最小整数解．
【详解】解：∵x-5＜3x+1，
∴-2x<6，
∴x＞-3，
∴满足x-5＜3x+1的x的最小整数是-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．x1
【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可．
【详解】解：4 x<13，
4(4 x)+1<13，
解得：x>1．
故答案为x>1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变．
16．-6
【分析】先用字母a，b表示出不等式组的解集2b+3＜x＜，然后再根据已知解集是-1＜x＜1，对应得到相等关系2b+3=-1，=1，求出a,b的值再代入所求代数式中即可求解．
【详解】解：解不等式组可得解集为2b+3＜x＜
因为不等式组的解集为-1＜x＜1，
所以2b+3=-1，=1，
解得a=1，b=-2代入（a+1）（b-1）=2×（-3）=-6．
故答案为：-6
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a,b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a,b的一元一次方程求出字母a,b的值，再代入所求代数式中即可求解．
17．，在数轴上表示见解析
【分析】利用不等式的性质解一元一次不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
化系数为1，得： ，
∴不等式的解集为，
不等式的解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，会在数轴上表示不等式的解集是解答的关键，特别注意不等号的方向和端点的空（实）心．
18．（1）该医院购进的一次性医用外科口罩的单价是1元，口罩的单价是8元；（2）858只．
【分析】（1）设该医院购进的一次性医用外科口罩的单价是元，口罩的单价是元，根据两次购进两种口罩的数量和费用建立二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）设购进一次性医用外科口罩只，从而可得购进口罩只，再根据“预算购进的总费用不超过10000元”建立关于的一元一次不等式，结合为整数，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设该医院购进的一次性医用外科口罩的单价是元，口罩的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：该医院购进的一次性医用外科口罩的单价是1元，口罩的单价是8元；
（2）设购进一次性医用外科口罩只，则购进口罩只，
由题意得：，
解得，
因为为整数，
所以至少购进一次性医用外科口罩858只．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
19．(1)方程组的解为；(2)m<-；(3)-3
【分析】(1)解方程组即可得出方程组的解；
(2)根据x+y<0,列出不等式，从而解得m的取值范围；
(3)根据m的取值范围确定出绝对值内代数式的正负，然后化简即可．
【详解】详解：(1)
由②得x=4m+1+y，③
把③代入①得2(4m+1+y)+3y=3m+7，
解得y=-m+1
把y=-m+1代入③得x=3m+2
∴方程组的解为
(2)∵x+y<0，
∴3m+2-m+1<0
∴解得m<-
(3)∵m<-，
∴|m+|-|2-m|
=-m--(2-m)
=-3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解一元一次不等式，解题的关键是利用x+y<0求出m的取值范围．
20．-7＜≤1.数轴见解析.
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解不等式①，得≤1，
解不等式②，得＞-7，
∴不等式组的解集为-7＜≤1．
在数轴上表示不等式组的解集为
故答案为-7＜≤1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了“的原则是解此题的关键．
21．
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集，再确定不等式组的整数解，再求和即可.
【详解】解：
由①得：
由②得：
解得：
所以不等式组的解集为：
所以不等式组的整数解为：
则
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的步骤”是解本题的关键.
22．(1)有三种建房方案：方案①A型48套，B型32套；方案②A型49套，B型31套；方案③A型50套，B型30套
(2)A型住房建48套，B型住房建32套获得利润最大
(3)当 0＜a＜1时，选方案①A型住房建48套，B型住房建32套；当a=1时，三种建房方案获得利润相等；当1＜a＜6时，选方案③A型住房建50套，B型住房建30套
【分析】（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．根据题意建立不等式组，并确定其整数解，整数解的个数就是所求的方案的种数．
（2）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．获利w元，则w=(30-25)x+(34-28)(80-x)，代入计算比较确定．
（3）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．获利w元，则w=(30-25)x+(34-28-a)(80-x)，代入计算比较确定．
（1）
设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．
根据题意，得，
解得48≤x≤50．
∵x取非负整数，∴x为48，49，50．
∴有三种建房方案：
方案① 方案② 方案③
A型 48套 49套 50套
B型 32套 31套 30套
．
（2）
设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．获利w元，
则w=(30-25)x+(34-28)(80-x)
=-x+480，
当x=48时，w=432；当x=49时，w=431；当x=50时，w=430；
所以选方案①，即A型住房建48套，B型住房建32套获得利润最大．
（3）
设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．获利w元，则w=(30-25)x+(34-28-a)(80-x)，
=(a-1)x+480-80a，
当0＜a＜1时，a-1＜0，当x=48时，w最大即选方案①，故A型住房建48套，B型住房建32套．
当a=1时，a-1=0，w=400，是常数，定值，三种建房方案获得利润相等．
当1＜a＜6时，a-1＞0，当x=50时，w最大即选方案③，即A型住房建50套，B型住房建30套．
【点睛】本题考查了不等式组的实际应用，利润计算问题，方案选择，熟练掌握不等式组的整数解的确定，利润的计算是解题的关键．
23．，最大正整数解为5．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，根据解集求得最大整数解．
【详解】，
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：，最大正整数解为5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
24．(1)x≤1，在数轴上表示解集见解析
(2)1＜x≤4
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（1）解：去分母得：3x 1＋2≥4x，移项得：3x 4x≥1 2，合并得： x≥ 1，解得：x≤1，表示在数轴上：
（2）解∶ 解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤4，所以不等式组的解集是1＜x≤4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25．（1）租用，两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）共有两种租车方案，方案一：租用型客车辆，型客车辆，费用为元，方案二：租用型客车辆，型客车辆，费用为元，方案一：租用型客车辆，型客车辆最省钱．
【分析】（1）设租用，两型客车，每辆费用分别是元、元，根据“租用辆型客车和辆型客车共需费用元；租用辆型客车和辆型客车共需费用元”可以列出相应的方程组，解出即可求出答案；
（2）设租用型客车辆，租用型客车辆，根据“每位师生都有座位”和“租车总费用不超过万元”即可列出不等式组，从而得出租车方案和最省钱的方案．
【详解】（1）设租用，两型客车，每辆费用分别是元、元，
，
解得，，
答：租用，两型客车，每辆费用分别是元、元；
（2）设租用型客车辆，租用型客车辆，
根据题意列出不等式组：
解得：
共有两种租车方案，
方案一：租用型客车辆，型客车辆，费用为元，
方案二：租用型客车辆，型客车辆，费用为元，
由上可得，方案一：租用型客车辆，型客车辆最省钱．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题关键是明确题意，根据题目中的数量关系列出方程组或者不等式组．
26．（1）x=﹣4；（2）﹣1＜x≤3，在数轴上表示见解析.
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后表示出来即可．
【详解】（1）去分母得：3（x+2）﹣2（2x﹣1）=12
去括号得：3x+6﹣4x+2=12
移项得：3x﹣4x=12﹣2﹣6
合并同类项得：﹣x=4
化系数为1得：x=﹣4；
（2）
解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3，在数轴上表示为：
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组在数轴上表示不等式组的解集的应用，能正确根据等式的性质解方程是解（1）的关键，能求出不等式组的解集是解（2）的关键．
27．（1）久保田收割机的价格为每台20万元，春雨收割机的价格为每台12万元；（2）有以下4种购买方案：久保田收割机3台，春雨收割机5台；久保田收割机2台，春雨收割机6台；久保田收割机1台，春雨收割机7台；久保田收割机0台，春雨收割机8台；（3）最佳购买方案为久保田收割机1台，春雨收割机7台．
【分析】（1）此题可设两种收割机的价格分别为x万元，y万元，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可；
（2）设购买久保田收割机m台由“购买收割机的资金不超过125万元”列出关于m的不等式，通过解不等式求得整数m的值．
（3）根据每天要求收割面积不低于150亩列出关于m的不等式，解答即可．
【详解】解：（1）设两种收割机的价格分别为x万元，y万元，
依题意得，
解得，
故久保田收割机的价格为每台20万元，春雨收割机的价格为每台12万元；
（2）设购买久保田收割机m台，依题意得
，
解得，
故有以下4种购买方案：久保田收割机3台，春雨收割机5台；
久保田收割机2台，春雨收割机6台；
久保田收割机1台，春雨收割机7台；
久保田收割机0台，春雨收割机8台；
（3）由题意可得
解得，
由（1）得购买久保田收割机越少越省钱，所以最佳购买方案为久保田收割机1台，春雨收割机7台．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键是弄清题意，找到合适的数量关系．