8.4 三元一次方程组的解法课件（PPT29张）

(共29张PPT)
第八章 二元一次方程组
8.4　三元一次方程组的解法
学习目标
1.理解三元一次方程组的定义.
2.掌握三元一次方程组的解法.
3.会解简单的三元一次方程组应用题.
重点：三元一次方程组的解法和列三元一次方程组解应用题.
难点：列三元一次方程组解应用题.
课前预习
阅读课本第P103-105页内容，学习本节主要内容.
三
三个
加减
二元一次
代
入
二
元
二元一次
导入新课
1．解二元一次方程组有哪几种方法？
2．解二元一次方程组的基本思路是什么？
将二元一次方程组通过“代入”或“加减”进行消元成一元一次方程.
代入消元法和加减消元法.
回顾二元一次方程组的解法
消元法
化归转化思想
探究新知
(1)三元一次方程及三元一次方程组的概念
答案：
①三元一次方程:含有三个未知数,并且含有的未知数的项的次数都是1次的整式方程.
②三元一次方程组:一般地,由三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组.
(2)三元一次方程组的解法
答案：
解三元一次方程组的基本思想仍是消元.一般地,应利用代入法或加减法消去一个未知数,从而化三元为二元,然后解这个二元一次方程组,求出两个未知数,最后再求出另一个未知数.
小明手头有 12 张面额分别为 1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的 4 倍. 求1元、2元、5元纸币各多少张？
思考：(1)该题中有几个等量关系？分别是什么？
(2)如果设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、
z张，那么可列出怎样的方程组？
三元一次方程组的概念
探究
探究新知
设1元、2元和5元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张．
则可列出方程组：
你能说说什么叫三元一次方程组吗？
x ＋ y ＋ z ＝ 12，
x ＋ 2y ＋ 5z ＝ 22，
x ＝ 4y .
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
知识归纳
思考
x ＋ y ＋ z ＝ 12，
x ＋ 2y ＋ 5z ＝ 22，
x ＝ 4y .
怎么解呢？
方程组
能不能类比二元一次方程组的解法来求解
思路：
x ＋ y ＋ z ＝ 12，
x ＋ 2y ＋ 5z ＝ 22，
x ＝ 4y .
①
②
③
将③代入①②，得
4y ＋ y ＋ z ＝ 12，
4y ＋ 2y ＋ 5z ＝ 22.
即
5y ＋ z ＝ 12，
6y ＋ 5z ＝ 22.
再求解出二元一次方程组，将 y 的值代入③中可得 z 的值.
解三元一次方程组的基本思路
消元法：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
知识归纳
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
2x＋y＝7，
5x－2y＝3，
2x－y＝5
x－y＝2，
y－z＝3，
z－m＝4
a＝2，
b＝3，
b－c＝4
xy＋z＝2，
x＋yz＝4，
xz＋y＝6
A.
B.
C.
D.
C
例题分析
思考：对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？
例2 解三元一次方程组：
①
②
③
思路：方程①只含 x、z，因此，可以由②③消去 y，得到
的方程可与①组成一个二元一次方程组.
解：
②×3+③，得 11x+10z=35. ④
①与④组成方程组
把 x=5，z=－2代入②，得
2×5+3y－2=9，
3x ＋ 4z ＝ 7，
11x ＋ 10z ＝ 35.
解得
x ＝ 5，
z ＝ －2.
∴ y ＝ .
例3 在等式y=ax2+bx+c中，当x=－1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值.
方法一：解：根据题意，得三元一次方程组
②－①，得 a+b=1; ④
③－①，得 4a+b=10; ⑤
① ② ③
a－b＋c ＝ 0，
4a＋2b＋c ＝ 3，
25a＋5b＋c ＝ 60.
答：a ＝ 3，b ＝ －2，c ＝ －5.
④与⑤组成方程组
a＋b ＝ 1，
4a＋b ＝ 10.
解这个方程组，得
a ＝ 3，
b ＝ －2.
代入①，得 c=－5. 因此
a ＝ 3，
b ＝ －2，
c ＝ －5.
可将②－①×4，得
6b－3c ＝ 3，
即2b－c ＝ 1 ④
再将 ③－①×25，得
30b－24c ＝ 60，
即5b－4c ＝ 10 ⑤
思考1：可以消去a吗？如何操作？
方法二：
可将①×2+②，得
6a＋3c ＝ 3，
即2a＋c ＝ 1 ④
再将 ①×5+③，得
30a＋6c ＝ 60，
即5a＋c ＝ 10 ⑤
思考2：可以消去b吗？如何操作？
方法三：
三元一次方程组的应用
例4 “五一”前夕，上海某些中学举办了足球联赛活动，这次足球联赛共赛了11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某校队所负场数是
胜场数的 ，结果共得20分，问
该校队胜、平、负各多少场？
解：设该校队胜 x 场、平 y 场、负 z 场．
根据题意，得 解得
答：该校队胜6场，平2场，负3场．
x＋y＋z＝11，
3x＋y＝20 ，
x＝2z.
x＝6，
y＝2，
z＝3.
1．解方程组 若要使运算简便，
消元的方法应该选取（ ）
A．先消去 x B．先消去 y
C．先消去 z D．以上说法皆可行
5x－y＋3z＝6，
4x＋y＋2z＝8，
2x＋y－7z＝4.
B
随堂练习
2．解下列三元一次方程组：
① ② ③
解：②×2+③得 x+2y=53. ④
④+①得 x = 22.
代入④得 y =
代入②得 z =
∴原方程的解是
① ② ③
解：①+②得 5x+2y=16. ④
②+③得 3x+4y=18. ⑤
⑤－④×2得 x=2.
代入④得 y=3.
∴原方程的解是
把 x=2， y=3代入③得 z=1.
(3)
3x＋2y＋z＝14，
x＋y＋z＝10，
2x＋3y－z＝1.
① ② ③
解：①－②，得2x＋y＝4. ④
①＋③，得x＋y＝3. ⑤
④与⑤组成方程组，
得 解得
将x＝1，y＝2代入②，
得1＋2＋z＝10，解得z＝7.
2x＋y＝4，
x＋y＝3.
x＝1，
y＝2.
x＝1，
y＝2，
z＝7.
∴这个方程组的解为
(4)
x＋y＝3，
x＋z＝－1，
y＋z＝0.
① ② ③
解：②－①，得z－y＝－4. ④
③＋④，得2z＝－4.
解得z＝－2.
将z＝－2分别代入②和③，得
x＝1，y＝2，
∴这个方程组的解为
x＝1，
y＝2，
z＝－2.
解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，
则
解得
∴甲数是10，乙数是15，丙数是10.
3．甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比乙数大 5，乙数的 等于丙数的 ，求这三个数.
4．现有一种饮料，它有大、中、小3种包装，其中1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，三种包装的饮料每瓶各多少元？
解：设大、中、小包装的饮料每瓶分别为x元、y元、z元，
则 ，
y ＝ 2z － 0.2
x ＝ y ＋ z ＋ 0.4
x ＋ y ＋ z ＝ 9.6
答：大、中、小包装的饮料每瓶分别为5元、3元、1.6元，
x ＝ 5
y ＝ 3
z ＝ 1.6
解得
三元一次方
程组的解法
三元一次方程组的概念
解三元一次方程组的基本思路：消元法
三元一次方程组的应用
课堂小结
1.教材P106习题8.4第1，2，3，4，5题；
2.完成对应课时练习.
作业布置