课件31张PPT。第一章 三角函数第一章 三角函数1．1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角第一章 算法初步学习导航
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条_______绕着端点从一个位置______到
另一个位置所成的________
(2)角的表示
如图，OA是角α的_______，OB是角α的_______，O是角的_______角α可记为“______”或“______”或简记为“___”．射线旋转图形．始边终边顶点．角α∠αα(3)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
逆时针顺时针想一想
1.理解角的概念要注意哪几个要素？
提示：顶点，始边，终边和旋转方向．
做一做
1.图中OA为始边，则α＝________，β＝________.
答案：140° －220°
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与________
重合，角的始边与___轴的非负半轴重合，那么角的_____在第几象限，就说这个角是第几____________；如果角的终边在__________，就认为这个角不属于任何一个象限．
原点终边x象限角坐标轴上2.判断下列说法是否正确．
(1)第一象限角都是锐角( )
(2)锐角都是第一象限角( )
(3)第一象限角一定不是负角( )
(4)第二象限角是钝角( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝___________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
α＋k·360°，k∈Z想一想
2.终边相同的角一定相等吗？相等的角终边一定相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差周角的整数倍．
做一做
3.(1)在0°～360°内与390°终边相同角为________．
(2)与45°角终边相同的角是________．
答案：(1)30° (2)45°＋k·360°，k∈Z
题型一 任意角的概念
下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②小于180°的角是钝角、直角或锐角；
③正角大于负角；④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同．
其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)．
【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，
显然390°>120°，所以①不正确．
②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，
故②不正确．
③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、
负数的规定一样，正角大于负角，③正确．
④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立，
故④不正确．【答案】 ③
【名师点评】 解决此类问题的关键在于正确理解0°～90°的角、象限角、锐角、小于90°的角等概念．另外需要掌握判断命题真假的技巧：判断命题为真时需要证明，而判断命题为假时只要举出反例即可．
跟踪训练
1．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B＝( )
A．{锐角} B．{小于90°的角}
C．{第一象限角} D．以上都不对
解析：选D.小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合，故选D.
题型二 终边相同的角及象限角 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角的终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来：
(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.
【解】 (1)60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.(2)－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.
(3)363°14′是第一象限角，S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是363°14′
＋(－2)×360°＝－356°46′，363°14′＋(－1)×360°
＝3°14′，363°14′＋0×360°＝363°14′.
【名师点评】 (1)象限角的判定有两种方法：一是根据图象；二是将角转化到0°～360°范围内，利用图象实际操作时，依据的还是终边相同的角的思想．
(2)终边相同的角之间相差360°的整数倍，终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍，终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
跟踪训练
2．(1)已知α是第二象限角，则180°＋α是第________象限角，－α是第________象限角．答案：四 三
(2)已知α＝－1 910°.
①把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限角；
②求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解：①－1 910°＝250°＋(－6)×360°，∵250°是第三象限角，∴α＝－1 910°是第三象限角．
②令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，由－720°≤250°＋k·360°<0°得－2≤k≤－1，∴k＝－2，－1，此时θ＝－470°，－110°.
题型三 区域角的表示
已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，试写出角α的集合．【解】 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或 270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|270°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}．【名师点评】 表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．跟踪训练
3.
如右图，
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合是________．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
(3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的集合是________．
(4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．答案：(1){－45°，315°}
(2){β|－45°＋k·360°≤β≤120°＋k·360°，k∈Z}
(3){β|0°≤β≤120°或315°≤β≤360°}
(4){β|－240°＋k·360°<β<－45°＋k·360°，k∈Z}1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字
(1)要明确旋转方向；
(2)要明确旋转的大小；
(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．终边相同的角的四个注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉；
(2)α是任意角；
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成－30°＋k·360°，k∈Z；
(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．相等的角终边一定相同．名师解题互动探究解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
(1)因为180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴的角．课件29张PPT。1．1.2 弧度制第一章 三角函数学习导航
(2)弧度制
长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作__________.半径长1 rad想一想
“α＝1”这种写法有意义吗？
提示：有意义，表示1弧度的角．
(3)角的弧度数的求法
正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个_______，零角的弧度数是_____.正数负数0做一做
1.下列说法正确的是________．
①1弧度是1度的圆心角所对的弧；
②1弧度是长度为半径的弧；
③度与弧度是度量角的两种不同的度量单位；
④1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．
答案：③④
2ππ做一做
2.填表：
3．扇形的弧长及面积公式
做一做跟踪训练题型二 用弧度制表示角的集合
(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，
其中0≤α≤2π.
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.【名师点评】 表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°，(k∈Z)”中，α必须是用角度制表示的角．
跟踪训练
2．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内
(不包括边界)的角的集合．
题型三 弧长、扇形面积的有关计算
跟踪训练
3．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，
求扇形的面积；
(2)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的圆心角的弧度数．
1．有关“角度”与“弧度”概念的理解规范解答 求扇形面积的最值 (本题满分12分)一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？12抓关键 促规范
首先利用条件列出关于θ和r的关系，用r表示θ，从而把S表示为关于r的一元二次函数．
利用二次函数求最值时，要注意r的取值范围，本题若忽视04．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，
扇形的周长取最小值？
课件36张PPT。1．2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数第一章 三角函数学习导航
1．任意角的三角函数的定义
在单位圆中，α是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，如图所示：sin αcos αtan α三角函数．想一想
1.sin α是不是sin与α的乘积？
提示：不是，sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”是没有意义的．
做一做2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：_________象限正，________象限负；
余弦：_________象限正，________象限负；
正切：__________象限正，_________象限负．
简记口诀：一全正，二正弦、三正切、四余弦．一二三四一四二三一三二四做一做答案：①③3．诱导公式
终边相同的角的同一三角函数的值________，即
sin(α＋k·2π)＝__________；
cos(α＋k·2π)＝___________；
tan(α＋k·2π)＝___________，其中k∈Z.
相等sin αcos αtan α做一做
3.sin 390°＝________，cos 765°＝________.
4．三角函数线
已知角α的终边位置，角α的三条三角函数线如图所示：
则sin α＝________，cos α＝_______，
tan α＝_______.MPOMAT想一想
2.三角函数线的长度和方向各表示什么？
提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
?
题型一 用三角函数的定义求三角函数值【名师点评】 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．
跟踪训练题型二 三角函数值的符号
【名师点评】 (1)对于用已知角α的终边所在象限来判断角α的相应函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来处理．
(2)由三角函数符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．跟踪训练解：(1)∵125°是第二象限角，∴tan 125°<0；
∵273°是第四象限角，∴sin 273°<0，
∴tan 125°·sin 273°>0，式子符号为正．题型三 诱导公式一的应用【名师点评】 由三角函数的定义可知，三角函数值的大小是由角的终边位置确定的．终边相同的角的同一三角函数值相等，而与角α终边相同的角总可以表示为α＋2kπ(α为弧度，k∈Z)或α＋k·360°(α为角度，k∈Z)的形式．跟踪训练(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)
－cos 360°
＝sin 90°＋tan 45°－1
＝1＋1－1＝1.
题型四 三角函数线的应用
【名师点评】 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下几点：(1)熟悉角α的正弦线、余弦线、正切线；(2)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角α的范围，然后再加上周期；(3)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练1．三角函数定义的理解
(1)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(2)三角函数是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．2．公式一的理解
(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．
(2)公式一的结构特征：
①左、右为同一三角函数；
②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.
3．三角函数线四注意
(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；
(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；
(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；
(4)书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．易错警示 已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，求α的正弦、余弦、正切值．【失误防范】 (1)含有字母参数的在化简过程中要注意符号．
(2)对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏．
(3)对三角函数的定义要把握准确．尤其是比值问题一定要记准分子和分母所代表的量．
跟踪训练课件21张PPT。1．2.2 同角三角函数的基本关系第一章 三角函数学习导航
sin2α＋cos2α＝1想一想
同角三角函数基本关系式对任意角α都成立吗？
做一做
sin22 014°＋cos22 014°＝________.
答案：1
题型一 利用同角三角函数关系求值题型二 三角函数式的化简
【名师点评】 化简三角函数式的一般要求是：
(1)尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
(2)尽量使分母不含三角函数式；
(3)根号内的三角函数式尽量开出来；
(4)能求得数值的应计算出来．
注意在对三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形．
跟踪训练题型三 三角恒等式的证明【证明】 (1)左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)
＝2sin2α－1＝右边，
∴sin4α－cos4α＝2sin2α－1.【名师点评】 证明三角恒等式常用的方法有：
(1)由繁到简，从结构复杂的一边入手，经过适当的变形、配凑，向结构简单的一边化简，或从等式两边同时入手，使它们等于同一个数(式)．
(2)从已知或已证的恒等式出发，根据定理、公式进行恒等变形，推导出求证的恒等式．
(3)比较法，证明待证等式的左、右两边之差为0.
(4)从待证的恒等式出发，利用三角恒等变形公式，找出一个显然成立的恒等式或已有的结论．跟踪训练1．解读同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，
如sin23α＋cos23α＝1.2．三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
名师解题抓信息 破难点课件25张PPT。1．3 三角函数的诱导公式
第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四第一章 三角函数学习导航
诱导公式二、三、四
k·2π＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成________时原函数值的符号，概括成一句话为“函数名不变，符号看象限”(把α视为锐角)．锐角
想一想
诱导公式中的角α只能是锐角吗？
提示：角α不仅仅是锐角，可以是任意角．
做一做题型一 给角求值问题
【名师点评】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
跟踪训练题型二 给值(式)求值问题【名师点评】 解决条件求值问题的策略：
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练题型三 三角函数式的化简问题
跟踪训练1．诱导公式的记忆方法
诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，
“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．2．公式一～四的作用
(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任意一角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题．
(2)公式三的作用在于把负角三角函数转化成正角三角函数．
(3)公式二、四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．规范解答2113抓关键 促规范123跟踪训练课件20张PPT。第2课时 诱导公式五、六第一章 三角函数学习导航
诱导公式五、六做一做
1.若cos 40°＝a，则sin 50°＝________.
解析：sin 50°＝sin(90°－40°)＝cos 40°＝a.
答案：a
答案：－cos α sin α题型一 三角函数求值互动探究题型二 三角恒等式的证明【名师点评】 证明三角恒等式，一般有两种方法：一是从等式较复杂的一边证到较简单一边；二是采用“两面夹击，中间会师”的方法．不论采用哪种方法．都要灵活运用诱导公式．
跟踪训练题型三 诱导公式在三角形中的应用
跟踪训练2．诱导公式的作用
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三或一，化为正角的三角函数．若转化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．
(2)当化成的角是90°到180°间的角，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
易错警示【答案】 －tan2α
【失误防范】 (1)对于六组诱导公式要熟记，特别注意符号和三角函数名称的变化．
(2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法．
跟踪训练课件21张PPT。1．4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象第一章 三角函数学习导航
正弦函数、余弦函数的图象(0,0)(π，0)(2π，0)想一想
1.能用哪几种方法作正弦函数的图象？
提示：(1)几何法：借助三角函数线；
(2)五点法：描点作图．
题型一 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象
画出下列函数的简图：
(1)y＝1＋cos x，x∈[0,2π]；
(2)y＝－sin x，x∈[0,2π]．【解】 (1)画法：
①列表：
②描点：③连线：用平滑曲线依次连接各点，即得所求图象．
(2)画法：①列表：
②描点：③连线：用平滑曲线依次连接各点，即可得到所求图象．跟踪训练
1．用“五点法”作出函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]的简图．
题型二 正、余弦函数的图象的简单应用【名师点评】
用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的方法：
①作出直线y＝a，作出y＝sin x(或y＝cos x)的图象；
②确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值；
③确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
跟踪训练解析：如图所示．答案：2易错警示【常见错误】 (1)在化简过程中，易忽视该函数的定义域，造成化简前后不等价，从而所画图象不正确．
(2)正、余弦函数五点坐标互混而出错．【失误防范】 (1)首先观察所给表达式是否需要化简，化简后是否与原函数等价．
(2)牢记正、余弦函数五个关键点的坐标．
(3)注意图象的平滑．
跟踪训练课件25张PPT。1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性第一章 三角函数学习导航
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_______________这个函数的周期为______.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)所有周期中存在一个最小的_______，那么这个最小_________就叫做f(x)的_______________非零常数Tf(x＋T)＝f(x)．T正数正数最小正周期．想一想
1.是否所有函数都是周期函数？
提示：不是，如y＝x.
2．由于sin(30°＋120°)＝sin 30°，则120°是函数y＝sin x的一个周期吗？
提示：不是．因为对于函数y＝f(x)，使f(x＋T)＝f(x)成立的x必须取定义域内的每一个值才可以，即x的任意性．做一做
1.若函数是以2为周期的函数，且f(3)＝6，则
f(5)＝________.
答案：6
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
2π奇函数偶函数做一做
2.函数y＝－sin x是________函数(填“奇”或“偶”)．
答案：奇
3．若函数y＝sin(φ－x)是偶函数，则φ的值可能是( )
A．30° B．60°
C．90° D．180°
解析：选C.当φ＝90°时，sin(90°－x)＝cos x.
∵y＝cos x是偶函数，
∴φ的可能值是90°.
题型一 有关正、余弦函数的定义域正弦函数或单位圆如图所示，
【名师点评】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
跟踪训练题型二 正、余弦函数的周期性【名师点评】 求三角函数的周期，现阶段通常有两种方法：
①定义法；②观察法(图象法)．两种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期时要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.
跟踪训练题型三 正、余弦函数的奇偶性
【名师点评】 判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
跟踪训练易错警示【失误防范】 (1)牢记周期函数的定义，把握好定义域，若函数的周期是T，那么x＋T也必须是定义域内的取值．
(2)对于周期T，使得当x取定义域内的每一个值时，都必须有f(x＋T)＝f(x)成立才行，即x不能仅是一个特殊值．
跟踪训练
4．若f(x＋1)＝－f(x)，试判断函数f(x)是否是周期函数．
解：因f(x＋1)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．
∴f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
课件31张PPT。第2课时 正、余弦函数的单调性与最值第一章 三角函数学习导航
正弦函数、余弦函数的性质[－1,1]奇偶2π想一想
正、余弦函数在定义域内是单调函数吗？
提示：不是．只是在某个区间上是单调函数．
做一做
1.函数y＝cos 2x在[0，π]的值域为________．
答案：[－1,1]
2．函数y＝sin x在[－π，0]的增区间为________．
题型一 求正、余弦函数的单调区间【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧：
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．跟踪训练题型二 比较三角函数值的大小【名师点评】 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．跟踪训练解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，且y＝sin x在(0°，90°)上递增，
∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.题型三 正弦、余弦函数的最值问题【名师点评】 求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：
(1)可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；
(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C，利用配方法结合正、余弦函数的有界性求解．
跟踪训练(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时，要注意使用复杂函数的判断方法来判断．
2．解析正弦函数、余弦函数的最值
(1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1.
(2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定．
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．规范解答13抓关键 促规范
11抓关键 促规范2233跟踪训练课件22张PPT。1．4.3 正切函数的性质与图象第一章 三角函数学习导航
函数y＝tan x的图象与性质π想一想
正切函数在整个定义域内是增函数吗？
提示：不是．
做一做
1.函数y＝3tan x－1的定义域是________．
答案：π题型一 正切函数的性质
跟踪训练题型二 比较正切值的大小跟踪训练题型三 正切函数的图象及应用作出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象求其单调区间．【名师点评】 作图时，可以先作y＝tan x的图象，然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方即可．另外，在求单调区间时，认真体会数形结合思想的应用．
跟踪训练
3．利用正切函数的图象，求使不等式tan x≤－1 成立的x的集合．
名师解题跟踪训练课件41张PPT。1．5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第一章 三角函数学习导航
1．A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向_____ (当φ>0时)或向____ (当φ<0时)平行移动_____个单位长度得到的．左右|φ|横(3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上的所有点的____坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0纵A想一想
用图象“变换法”作图主要有哪几种途径？
提示：有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
做一做答案：y＝sin 3x
振幅周期频率相位初相做一做答案：6π 2题型一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象列表：
描点连线，如图：跟踪训练解：(1)列表：题型二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【名师点评】 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪训练
题型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质【名师点评】 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
(1)应用的范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查．
(2)解决的方法：有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的运用问题，充分利用三角函数的基本性质，要特别注意整体代换的思想的运用．跟踪训练
3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，试依图写出：
(1)使f(x)取最小值时的x的取值集合；
(2)图象的对称轴方程；
(3)图象的对称中心；
(4)要使f(x)成为偶函数，应对f(x)的图象作怎样的平移变换？2．由图象求函数解析式
若已知函数的图象求它对应的解析式，一般要仔细观察图象，从它已表达出的特征，如一个或半个周期，最高点与最低点，与x轴与y轴的交点或其他的特殊点来求．
如果所求函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，此时最大值与最小值互为相反数．A由图象的最高点或最低点确定．ω由周期T确定，T由相邻的两个最高点或最低点，与x轴或y轴的交点或其他特殊点等确定，φ由已知点的坐标确定，常用五点中的一个．易错警示平移变换中的误区【答案】 D本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件24张PPT。1．6 三角函数模型的简单应用第一章 三角函数学习导航
数学应用题的解题思路想一想
现实生活中，哪些现象具有周期性规律？列举二、三例．
提示：每天24小时的循环变化；每天的日出日落；摩天轮上的某点离开地面的高度等．
题型一 函数解析式的应用【名师点评】 已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般很容易，只需将具体的值代入计算即可．
三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查．
跟踪训练题型二 三角函数模型的实际应用 某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：根据上述数据描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出y＝Asin ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?从而可知船舶在凌晨1点到5点，下午的13点到17点都可以安全进港．船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点(1点到5点都可以)进港，而下午的17点(即13点到17点之间)前离港，在港内停留的时间最长为16小时．
【名师点评】 实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：
(1)自变量的变化范围．
(2)数形结合，通过观察图形，获得本质认识．
(3)要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当的数学模型．
跟踪训练
2.
如图为一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车A点到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
解三角函数应用问题的基本步骤：规范解答三角函数模型的确定 (本题满分12分)弹簧振子以O为平衡位置，在B，C间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点．
(1)求振子的振幅、周期和频率；
(2)振子在5 s内通过的路程及5 s末相对于平衡位置的位移的大小．122抓关键 促规范
在解答过程中，正确理解题意是关键．若对振幅的意义理解错误，则 处书写错误，从而出现A＝5 cm的失误．这在考试中至少失去3分．
?在解答过程中，若对振子通过的路程与离开平衡点的位移理解不到位，则会将 处在5 s内通过的路程与5 s末振子相对于平衡位置的位移为5 cm或－5 cm而等同，从而出现失误，这在考试中最多得10分．1122跟踪训练课件22张PPT。章 末 专 题 整 合专题一 三角函数式的求值与化简
三角函数式的求值、化简的常用技巧
(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．【答案】 C专题二 三角函数的性质
三角函数性质主要包括五个方面：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性．图象和性质是三角函数特性的两个方面，是相互联系的，经常是结合图象来记忆性质、利用性质强化图象，要把它们结合在一起来理解和应用．
【解】 列表如下： 如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？
专题四 数学思想
1．数形结合思想
在本章中，数形结合思想贯穿始终，主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三角函数线画正
(余)弦及正切函数的图象．
2．转化与化归思想
在解决三角函数的相关问题时，常用到转化与化归思想，如证明三角恒等式及条件求值等，常常是化繁为简、化异为同、化切为弦，有时也逆用，这些都体现了转化与化归思想．
3．分类讨论思想
由于三角函数的值及性质受角所在象限的影响，因此在解决某些问题时，就需要对角在不同象限的情况进行分类讨论．
