课件23张PPT。第三章 三角恒等变换第三章 三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1 两角差的余弦公式学习导航
两角差的余弦公式cos αcos β＋sin αsin β想一想
cos(α－β)＝cos α－cos β一定成立吗？
提示：cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立．
如：cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°.
做一做
化简：cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝________.
题型一 给角求值
计算：(1)cos(－15°)；
(2)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°.【名师点评】 (1)对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将角度化小(一般是化成锐角)．
(2)在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见的，要注意培养这种能力．
跟踪训练题型二 给值求值
【名师点评】 利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．
跟踪训练题型三 由三角函数值求角 设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A,2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)．若a，b的夹角为60°，求A－B的值．【名师点评】 解这类问题一般分三步：第一步，求角的某一三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求角．
1．两角差的余弦公式中，α、β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．如例3.
2．在两角差的余弦公式的求值应用中，一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．如例1(2)．名师解题利用角的分拆与配凑求值跟踪训练课件24张PPT。3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式第三章 三角恒等变换学习导航
1．两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝________________________.
想一想
cos αcos β与cos(α－β)及cos(α＋β)之间有什么等式关系？
提示：2cos αcos β＝cos(α－β)＋cos(α＋β)．cos αcos β－sin αsin β2．两角和与差的正弦公式
sin(α＋β)＝______________________；
?sin(α－β)＝_____________________.
sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β做一做
1.化简：sin 80°cos 20°－cos 80° sin20°＝______.
2．计算sin 105°＝________.题型一 给角求值【名师点评】 (1)两角和、差的正弦、余弦的正用应记住公式特点：正弦是异名相乘，符号相同；余弦同名相乘，符号相反．
(2)逆用应准确找出所给式子与公式右边的异同，创造条件逆用公式；其次，应抓住所给角的关系，逐一分析条件中的哪个角对应公式中的角α，β.
跟踪训练题型二 利用公式化简【名师点评】 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数的种数最少；(3)使项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含有三角函数．
跟踪训练题型三 给值求值问题【名师点评】 给值求值的解题策略
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
跟踪训练这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．2．公式的运用要“活”，体现在：顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：一是公式本身的变用，如cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β；二是角的变用，也称为角的变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
规范解答利用两角和与差的正弦、余弦公式求值123123跟踪训练课件26张PPT。第2课时 两角和与差的正切公式第三章 三角恒等变换学习导航
想一想
公式的适用条件是什么？
做一做3．六个和与差三角函数公式之间的逻辑关系
题型一 两角和与差的正切公式的应用【名师点评】 在求两角和与差的正切时，若已知的是α、β的正、余弦的值，此时求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正、余弦而后应用商数关系；②是先求tan α、tan β，而后应用α±β的正切公式，若已知的是α、β的正切，则直接应用正切公式求解即可．
跟踪训练题型二 两角和与差的正切公式活用【名师点评】 (1)解答此类题型一般要用诱导公式把角化正、化小、化切为弦(统一函数名称)，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
(2)公式的变形运用：
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活应用公式T(α±β)的意识，从而不难获得解题思路．
跟踪训练题型三 给值求角【名师点评】 对于这类问题，以下两个步骤缺一不可：
(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；
(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
跟踪训练易错警示给值求角问题的易错误区【失误防范】 (1)给值求角问题一般是先根据题设条件求角的某种三角函数值．
(2)解题中要特别注意角的范围，必要时借助三角函数值缩小角的范围．
跟踪训练课件28张PPT。3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式第三章 三角恒等变换学习导航
2sin αcos α2cos2α－11－2sin2α想一想
sin 2α＝2sin α，cos 2α＝2cos α，tan 2α＝2tan α
能成立吗？做一做题型一 运用二倍角公式化简求值【名师点评】 应用二倍角公式化简求值的三个关注点
(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值．
(2)当式子中涉及到的角较多时，要先变角，化异角为同角．
(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．
跟踪训练题型二 二倍角公式的活用【名师点评】 根据三角函数式的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时变换出特殊角，获得三角函数式的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征．跟踪训练题型三 三角函数式的证明【名师点评】 证明问题的两个原则
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
跟踪训练
3．求证：[sin θ(1＋sin θ)＋cos θ(1＋cos θ)]·[sin θ(1－sin θ)＋cos θ(1－cos θ)]＝sin 2θ.
证明：左边＝(sin θ＋sin2θ＋cos θ＋cos2θ)·(sin θ－sin2θ＋cos θ－cos2θ)＝(sin θ＋cos θ＋1)(sin θ＋cos θ－1)
＝(sin θ＋cos θ)2－1＝2sin θcos θ＝sin 2θ＝右边．
2．选择二倍角余弦公式的原则
(1)加余弦想余弦．(2)减余弦想正弦．
(3)幂升一次角减半．(4)幂降一次角翻番．
名师解题破解三角函数的综合问题 已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R.求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
(2)函数f(x)的单调递增区间．
跟踪训练课件29张PPT。3．2 简单的三角恒等变换第三章 三角恒等变换学习导航
1．和、差角公式及倍角公式
(1)sin(α＋β)＝__________________________；
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(2)sin 2α＝__________________；
(3)cos(α＋β)＝________________________；
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；sin αcos β＋cos αsin β2sin αcos αcos αcos β－sin αsin β想一想提示：不对．做一做题型一 三角函数式的求值【名师点评】 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练题型二 三角函数式的化简问题【名师点评】 解决三角问题时，要注意“三看”：
(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；
(2)看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；
(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足直接使
用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用．
跟踪训练题型三 三角恒等式的证明【名师点评】 法一是基本方法，切化弦的思路，“变形”．
法二是巧妙利用正切半角公式，“角变”．
法三是先通分构造正切的二倍角公式，再化简、证明．
跟踪训练2．利用三角公式进行化简时，应从以下几个方向进行：
(1)切化弦：当待化简式中既含弦又含切时，“切化弦”可以减少三角函数名称；
(2)正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式去根号；含有高次项时，应选用降幂公式减少运算量，注意隐含条件中角的范围；
(3)角的变换：找出已知角与未知角的关系，运用常见角的变换，消除角的差异．
规范解答与三角函数性质有关问题的求解123123跟踪训练课件25张PPT。章 末 专 题 整 合专题一 三角函数式的求值
(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．专题二 三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．专题三 三角恒等变换与三角函数性质
三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
专题四 三角函数的应用
三角函数是以角为自变量的函数也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，所以建立三角函数模型解决生活中的实际问题是十分重要的．
点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？【解】
如图所示，∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cos α，PB＝sin α.专题五 数学思想
1．数形结合思想
在解决有关三角函数的问题时，三角函数的图象是不可缺少的工具，大多数题目都要画出所涉及的三角函数的草图，然后结合图象解决问题，所以数形结合思想在解决三角函数问题上有着广泛的应用．
2．分类讨论思想
分类讨论思想与中学数学的关系较为密切，在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常常需要分类讨论，三角函数与二次函数的综合问题以及三角函数的最值等问题有时也需要分类讨论．
