2022-2023学年高中物理 人教版2019必修第二册 同步教案 课时7.3 万有引力理论的成就
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高中物理 人教版2019必修第二册 同步教案 课时7.3 万有引力理论的成就 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 141.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2023-03-18 20:21:38 | ||
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文档简介
第七章 万有引力与宇宙航行
课时 7.3 万有引力理论的成就
了解万有引力定律在天文学上的应用。
掌握解决天体运动问题的基本思路。
会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
一、天体质量的计算
1.“称量”地球的质量
(1)思路：对于地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的万有引力。
(2)关系式：mg=G。
(3)结果：m地=，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
卡文迪什测出了引力常量G，当时已经知道地面的重力加速度g和地球半径R，所以卡文迪什说自己的实验是“称量地球的重量”。
(4)推广：若知道其他天体表面的重力加速度、天体的半径及G的值，利用上式可计算出该天体的质量。
2.太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳(质量为m太)做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。
(2)关系式：G=mr。
(3)结论：m太=，只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r，就可以计算出太阳的质量。
(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M=。
二、发现未知天体及预言哈雷彗星回归
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星外
“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3.预言哈雷彗星回归：英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了1531年、1607年、1682年出现的三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
基础过关练
题组一 计算天体的质量
1.(2022江苏无锡市北中学期中)“科学真是迷人”，天文学家已经测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量为G，忽略月球的自转，则月球的质量M为 ( )
A. B.
C. D.
2.(2021湖南长沙长郡中学月考)卫星绕某一行星运动的轨道可近似看成是圆轨道，观察发现每经过时间t，卫星运动所通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ。已知引力常量为G，由此可计算该行星的质量为 ( )
A. B. C. D.
3.(2022安徽合肥宏图中学期中)人造卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中甲所示；火星作为航空航天探索的热门研究对象，火星的周围有两个天然卫星和数个人造卫星，它们的运动也可视为绕火星做匀速圆周运动，它们的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中乙所示。图中m、n、p、q已知，则地球和火星的质量之比为 ( )
A. B. C. D.
4.(2022广东深圳外国语学校期中)2020年4月24日，国家航天局宣布，我国行星探测任务命名为“天问”，首次火星探测任务命名为“天问一号”。已知引力常量为G，忽略星球自转的影响，为计算火星的质量，需要测量的数据是 ( )
A.火星表面的重力加速度g和火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r
B.火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r和火星的公转周期T
C.火星表面的重力加速度g和火星的公转周期T
D.某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径r'和环绕周期T'
题组二 计算天体的密度
5.(2022北京十五中期中)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响。如果认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度ρ为 ( )
A. B. C. D.
6.(2022上海莘庄中学期中)近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数) ( )
A.ρ=kT B.ρ=
C.ρ=kT2 D.ρ=
7.(2021湖南衡阳期末)2020年10月26日，我国在西昌卫星发射中心用长征二号丙运载火箭成功将“遥感三十号”07组卫星发射送入预定轨道。若该卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度大小为v，地球半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为 ( )
A. B. C. D.
题组三 对未知天体的判断
8.下列说法不正确的是 ( )
A.海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D.哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归
题组四 天体运动中相关物理量的分析与计算
9.(2022江苏淮安期中)已知地球的质量为M，引力常量为G。设“神舟”号飞船绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，则飞船运行的速率为 ( )
A. B. C. D.
10.(2022北京陈经纶中学期中)牛顿在发现万有引力定律时曾用月球的运动来检验，物理学史上称为“月—地检验”。已经知道地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球中心与地球中心间的距离是地球半径的k倍，根据万有引力定律，可以求得月球受到地球的万有引力产生的加速度为a1。又根据月球绕地球运动周期为T，可求得月球的向心加速度为a2，两者数据代入后结果相等，定律得到验证。以下正确的是 ( )
A.a1= B.a1=
C.a2= D.a2=
11.(2022江苏常熟海虞中学期中)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响。关于航天器，下列表达式错误的是 ( )
A.线速度v=
B.角速度ω=
C.运行周期T=2π
D.向心加速度a=
12.(2021河南六市联考)我国火星探测器“天问一号”已于2021年春节期间抵达火星轨道，随后择机着陆火星，并对火星进行科学探测。已知火星直径为地球直径的P倍，火星质量为地球质量的K倍，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则“天问一号”在对火星进行近距离观测而绕火星做匀速圆周运动时的速率约为 ( )
A. B.
C. D.
能力提升练
题组一 天体的质量和密度的计算
1.(2022黑龙江大庆东风中学期中)假定太阳系中有一颗质量均匀、可看成球体的小行星，自转原来可以忽略。若该行星自转加快，角速度为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的。已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为 ( )
A. B.
C. D.
2.(2022江西南昌模拟)已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示(不计空气阻力)，M、N两星球的平均密度之比为 ( )
A.1∶1 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
3.(2022江苏南京大厂高级中学检测)2021年初，天问一号火星探测器进入环火轨道，我国成为世界上第一个通过一次任务实现火星环绕和着陆巡视探测的国家。假设天问一号在着陆之前绕火星做圆周运动的半径为r1、周期为T1；火星绕太阳做圆周运动的半径为r2、周期为T2，引力常量为G。根据以上条件能得出 ( )
A.天问一号的质量
B.太阳对火星的引力
C.火星的平均密度
D.关系式=
4.(2022四川成都二诊)2021年2月24日6时29分，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)。若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L1，远火点Q离火星表面的距离为L2，已知探测器在轨道上运行的周期为T，L1+L2≈18R，引力常量为G。则火星的密度约为 ( )
A. B. C. D.
5.(2021黑龙江哈尔滨六中月考)航天员站在一星球表面某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面自由落体的加速度大小；
(2)该星球的平均密度ρ。
题组二 天体运动中相关物理量的分析与计算
6.(2022湖南邵阳期中)如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则 ( )
A.a所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D.b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
7.(2022江苏徐州期中)神舟十三号的三名航天员已成为我国首批在轨飞行6个月的航天员。长时间的在轨飞行不仅为他们的人生带来一次不一样的体验，也给我国载人航天的里程碑上记下浓浓一笔。已知神舟十三号载人飞船在轨运行高度为h，地球的半径为R、自转周期为T0、地球表面的重力加速度为g。则下列说法中正确的是 ( )
A.飞船在轨运行所在高度的重力加速度大小为g
B.飞船在轨运行的周期为T0
C.飞船在轨运行的线速度为
D.飞船在轨运行的角速度为
题组三 天体运动的“双星”和“多星”模型
8.(2022江苏盐城伍佑中学测试)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，A、B两颗星球组成的双星系统，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2=3∶2。则可知 ( )
A.A、B做圆周运动的角速度之比为3∶2
B.A、B做圆周运动的向心力之比为1∶1
C.A、B做圆周运动的半径之比为3∶2
D.A、B做圆周运动的线速度之比为1∶1
9.(2021浙江宁波月考)在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星甚至多星系统。如图所示为一个简化的直线三星系统模型：三个星球的质量均为m，a、b两个星球绕处于二者中心的星球c做半径为r的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用，则下列说法正确的是 ( )
A.星球a做匀速圆周运动的向心加速度大小为
B.星球a做匀速圆周运动的线速度大小为
C.星球b做匀速圆周运动的周期为4π
D.若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a、b的线速度均将缓慢增大
答案全解全析
基础过关练
1.A 质量为m的物体在月球表面受到的重力等于月球对它的万有引力，即mg=G，解得M=，故A正确，B错误；利用月球绕地球做圆周运动的周期计算天体质量时，只能计算中心天体即地球的质量，而不能计算月球的质量，故C、D错误。
2.B 设行星的质量为M，卫星的质量为m，卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r，由万有引力提供向心力，则有G=m，其中r=，v=，联立可得M=，选项B正确。
3.C 卫星绕地球、火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有=mr，解得M=，可得∝Μ地，∝Μ火，所以地球和火星质量之比为==，C正确。
4.D 要计算火星的质量，根据=mg可得M=，可知，需要知道火星表面的重力加速度和火星的半径；根据=mr可得M=，可知，如果已知火星的公转周期和轨道半径，可求太阳的质量，不可求火星的质量，故A、B、C不符合题意。同理，根据M=可知，如果已知某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径和环绕周期，可求火星质量，故D符合题意。
5.D 忽略地球自转的影响时，物体在地球表面所受的重力等于地球对其的万有引力，有G=mg，可得地球质量为M=；地球的体积为V=πR3，所以地球的密度为ρ==，D正确。
6.D 探测器绕火星做“近地”匀速圆周运动，有G=mR，解得M=R3，故火星的平均密度为ρ===(k=为常量)，选D。
7.A 设地球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力，有G=m，解得M=，地球的体积为V=πR3，可得地球的平均密度ρ==，选项A正确。
8.B 海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星；故A、C正确，B错误。哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归，故D正确。
9.A 飞船在此圆轨道上运行时，由万有引力提供向心力，可得G=m，解得速率为v=，A正确。
10.B 地球表面附近重力加速度为g，月球中心到地球中心的距离是地球半径的k倍，根据物体在地球表面受到的重力等于万有引力，得mg=，有g=，所以月球受到地球的引力产生的加速度为a1==；月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，根据匀速圆周运动向心加速度公式得a2=·kR=，选B。
11.B 在月球表面附近，航天器所受的重力等于月球对其的万有引力，有mg=。万有引力提供航天器做圆周运动的向心力，有G=m，解得v=，A正确；根据mg=mω2R，解得ω=，B错误；根据mg=mR，解得T=2π，C正确；根据G=ma，解得a=，D正确。
12.A 由题意，火星直径为地球直径的P倍，火星质量为地球质量的K倍，地球半径为R，则R火=PR，M火=KM地。在星球表面，根据重力等于万有引力，得mg0=G，解得g0=，可知g0∝，可得=；在星球表面附近，根据万有引力提供向心力，得G=m，解得v==，可得=，因为v地=，可得v火=，故A正确，B、C、D错误。
能力提升练
1.B 忽略行星自转的影响时，G=mg；自转角速度为ω时，G=mg+mω2R，行星的密度ρ=，解得ρ=，B正确。
2.B 由竖直上抛运动规律和题图可知=2gM·2h0、=2gN·h0，所以gM∶gN=1∶2；根据mg=、ρ=及V=πR3可得ρ=，所以ρM∶ρN=∶=(gMRN)∶(gNRM)=1∶4，选B。
3.B 天问一号绕火星做圆周运动，设火星质量为m，天问一号探测器的质量为m0，由万有引力提供向心力，可得G=m0r1，求得火星质量m=，由于火星的半径未知，所以无法求出火星的平均密度，故C不符合题意；m0在计算中消去了，所以不能求出天问一号的质量，故A不符合题意；太阳对火星的引力提供火星做圆周运动的向心力，故太阳对火星的引力为F=mr2=·r2=，B符合题意；开普勒第三定律适用于围绕同一中心天体做圆周运动的卫星，所以对火星和天问一号不适用，故D不符合题意。本题选B。
4.A 设火星的近地卫星的周期为T0，探测器运动的轨道半长轴为r=≈10R，由开普勒第三定律有=，解得T0=；对火星的近地卫星有G=mR，解得火星的质量为M=，火星的体积V=πR3，则火星的密度约为ρ==，A正确。
5.答案 (1) (2)
解析 (1)抛出点高度h、水平位移x与L之间的关系为L2=h2+x2
当初速度增加到原来的2倍时，水平位移变为2x，则有(L)2=h2+(2x)2
联立解得h=L
又h=gt2
所以g=
(2)在该星球表面上，有mg=G
得M=
所以ρ===
6.B 卫星a、卫星b质量相等，卫星a的轨道半径较小，由F=G可知卫星a所需向心力大于卫星b所需向心力，所以卫星a所需向心力不是最小的，则A错误；由G=mr=ma=m整理得T=、a=G、v=，可知，卫星b、卫星c的周期相同，且大于卫星a的周期，卫星b、卫星c的向心加速度大小相等，且小于卫星a的向心加速度，卫星b、卫星c的线速度大小相等，且小于卫星a的线速度，所以B正确，C、D错误。
7.C 由=mg'和GM=gR2解得g'=g，故A错误；由=解得T==，故B错误；由=解得v==，故C正确；飞船在轨运行的周期并不等于T0，所以角速度不等于，故D错误。
8.B A、B做圆周运动的周期相同，由ω=可知它们的角速度之比为1∶1，故A错误；A、B做圆周运动的向心力均由二者之间的万有引力提供，所以向心力之比为1∶1，故B正确；根据向心力公式有m1ω2r1=m2ω2r2，解得==，故C错误；根据v=ωr可知，A、B做圆周运动的线速度之比为==，故D错误。
9.C 对于a星球，由万有引力提供向心力，可得G+G=ma，故星球a做匀速圆周运动的向心加速度大小为a=，选项A错误；由a=，可得星球a做匀速圆周运动的线速度大小为v=，选项B错误；由a=r，可得星球a做匀速圆周运动的周期为T=4π，由题意可知a与b的运行周期相同，选项C正确；若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a、b受到的万有引力将减小，万有引力不足以提供向心力，a、b会做离心运动，a、b做圆周运动的半径缓慢增大，线速度将缓慢减小，选项D错误。
课时 7.3 万有引力理论的成就
了解万有引力定律在天文学上的应用。
掌握解决天体运动问题的基本思路。
会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
一、天体质量的计算
1.“称量”地球的质量
(1)思路：对于地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的万有引力。
(2)关系式：mg=G。
(3)结果：m地=，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
卡文迪什测出了引力常量G，当时已经知道地面的重力加速度g和地球半径R，所以卡文迪什说自己的实验是“称量地球的重量”。
(4)推广：若知道其他天体表面的重力加速度、天体的半径及G的值，利用上式可计算出该天体的质量。
2.太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳(质量为m太)做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。
(2)关系式：G=mr。
(3)结论：m太=，只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r，就可以计算出太阳的质量。
(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M=。
二、发现未知天体及预言哈雷彗星回归
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星外
“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3.预言哈雷彗星回归：英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了1531年、1607年、1682年出现的三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
基础过关练
题组一 计算天体的质量
1.(2022江苏无锡市北中学期中)“科学真是迷人”，天文学家已经测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量为G，忽略月球的自转，则月球的质量M为 ( )
A. B.
C. D.
2.(2021湖南长沙长郡中学月考)卫星绕某一行星运动的轨道可近似看成是圆轨道，观察发现每经过时间t，卫星运动所通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ。已知引力常量为G，由此可计算该行星的质量为 ( )
A. B. C. D.
3.(2022安徽合肥宏图中学期中)人造卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中甲所示；火星作为航空航天探索的热门研究对象，火星的周围有两个天然卫星和数个人造卫星，它们的运动也可视为绕火星做匀速圆周运动，它们的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中乙所示。图中m、n、p、q已知，则地球和火星的质量之比为 ( )
A. B. C. D.
4.(2022广东深圳外国语学校期中)2020年4月24日，国家航天局宣布，我国行星探测任务命名为“天问”，首次火星探测任务命名为“天问一号”。已知引力常量为G，忽略星球自转的影响，为计算火星的质量，需要测量的数据是 ( )
A.火星表面的重力加速度g和火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r
B.火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r和火星的公转周期T
C.火星表面的重力加速度g和火星的公转周期T
D.某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径r'和环绕周期T'
题组二 计算天体的密度
5.(2022北京十五中期中)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响。如果认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度ρ为 ( )
A. B. C. D.
6.(2022上海莘庄中学期中)近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数) ( )
A.ρ=kT B.ρ=
C.ρ=kT2 D.ρ=
7.(2021湖南衡阳期末)2020年10月26日，我国在西昌卫星发射中心用长征二号丙运载火箭成功将“遥感三十号”07组卫星发射送入预定轨道。若该卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度大小为v，地球半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为 ( )
A. B. C. D.
题组三 对未知天体的判断
8.下列说法不正确的是 ( )
A.海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D.哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归
题组四 天体运动中相关物理量的分析与计算
9.(2022江苏淮安期中)已知地球的质量为M，引力常量为G。设“神舟”号飞船绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，则飞船运行的速率为 ( )
A. B. C. D.
10.(2022北京陈经纶中学期中)牛顿在发现万有引力定律时曾用月球的运动来检验，物理学史上称为“月—地检验”。已经知道地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球中心与地球中心间的距离是地球半径的k倍，根据万有引力定律，可以求得月球受到地球的万有引力产生的加速度为a1。又根据月球绕地球运动周期为T，可求得月球的向心加速度为a2，两者数据代入后结果相等，定律得到验证。以下正确的是 ( )
A.a1= B.a1=
C.a2= D.a2=
11.(2022江苏常熟海虞中学期中)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响。关于航天器，下列表达式错误的是 ( )
A.线速度v=
B.角速度ω=
C.运行周期T=2π
D.向心加速度a=
12.(2021河南六市联考)我国火星探测器“天问一号”已于2021年春节期间抵达火星轨道，随后择机着陆火星，并对火星进行科学探测。已知火星直径为地球直径的P倍，火星质量为地球质量的K倍，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则“天问一号”在对火星进行近距离观测而绕火星做匀速圆周运动时的速率约为 ( )
A. B.
C. D.
能力提升练
题组一 天体的质量和密度的计算
1.(2022黑龙江大庆东风中学期中)假定太阳系中有一颗质量均匀、可看成球体的小行星，自转原来可以忽略。若该行星自转加快，角速度为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的。已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为 ( )
A. B.
C. D.
2.(2022江西南昌模拟)已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示(不计空气阻力)，M、N两星球的平均密度之比为 ( )
A.1∶1 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
3.(2022江苏南京大厂高级中学检测)2021年初，天问一号火星探测器进入环火轨道，我国成为世界上第一个通过一次任务实现火星环绕和着陆巡视探测的国家。假设天问一号在着陆之前绕火星做圆周运动的半径为r1、周期为T1；火星绕太阳做圆周运动的半径为r2、周期为T2，引力常量为G。根据以上条件能得出 ( )
A.天问一号的质量
B.太阳对火星的引力
C.火星的平均密度
D.关系式=
4.(2022四川成都二诊)2021年2月24日6时29分，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)。若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L1，远火点Q离火星表面的距离为L2，已知探测器在轨道上运行的周期为T，L1+L2≈18R，引力常量为G。则火星的密度约为 ( )
A. B. C. D.
5.(2021黑龙江哈尔滨六中月考)航天员站在一星球表面某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面自由落体的加速度大小；
(2)该星球的平均密度ρ。
题组二 天体运动中相关物理量的分析与计算
6.(2022湖南邵阳期中)如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则 ( )
A.a所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D.b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
7.(2022江苏徐州期中)神舟十三号的三名航天员已成为我国首批在轨飞行6个月的航天员。长时间的在轨飞行不仅为他们的人生带来一次不一样的体验，也给我国载人航天的里程碑上记下浓浓一笔。已知神舟十三号载人飞船在轨运行高度为h，地球的半径为R、自转周期为T0、地球表面的重力加速度为g。则下列说法中正确的是 ( )
A.飞船在轨运行所在高度的重力加速度大小为g
B.飞船在轨运行的周期为T0
C.飞船在轨运行的线速度为
D.飞船在轨运行的角速度为
题组三 天体运动的“双星”和“多星”模型
8.(2022江苏盐城伍佑中学测试)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，A、B两颗星球组成的双星系统，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2=3∶2。则可知 ( )
A.A、B做圆周运动的角速度之比为3∶2
B.A、B做圆周运动的向心力之比为1∶1
C.A、B做圆周运动的半径之比为3∶2
D.A、B做圆周运动的线速度之比为1∶1
9.(2021浙江宁波月考)在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星甚至多星系统。如图所示为一个简化的直线三星系统模型：三个星球的质量均为m，a、b两个星球绕处于二者中心的星球c做半径为r的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用，则下列说法正确的是 ( )
A.星球a做匀速圆周运动的向心加速度大小为
B.星球a做匀速圆周运动的线速度大小为
C.星球b做匀速圆周运动的周期为4π
D.若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a、b的线速度均将缓慢增大
答案全解全析
基础过关练
1.A 质量为m的物体在月球表面受到的重力等于月球对它的万有引力，即mg=G，解得M=，故A正确，B错误；利用月球绕地球做圆周运动的周期计算天体质量时，只能计算中心天体即地球的质量，而不能计算月球的质量，故C、D错误。
2.B 设行星的质量为M，卫星的质量为m，卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r，由万有引力提供向心力，则有G=m，其中r=，v=，联立可得M=，选项B正确。
3.C 卫星绕地球、火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有=mr，解得M=，可得∝Μ地，∝Μ火，所以地球和火星质量之比为==，C正确。
4.D 要计算火星的质量，根据=mg可得M=，可知，需要知道火星表面的重力加速度和火星的半径；根据=mr可得M=，可知，如果已知火星的公转周期和轨道半径，可求太阳的质量，不可求火星的质量，故A、B、C不符合题意。同理，根据M=可知，如果已知某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径和环绕周期，可求火星质量，故D符合题意。
5.D 忽略地球自转的影响时，物体在地球表面所受的重力等于地球对其的万有引力，有G=mg，可得地球质量为M=；地球的体积为V=πR3，所以地球的密度为ρ==，D正确。
6.D 探测器绕火星做“近地”匀速圆周运动，有G=mR，解得M=R3，故火星的平均密度为ρ===(k=为常量)，选D。
7.A 设地球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力，有G=m，解得M=，地球的体积为V=πR3，可得地球的平均密度ρ==，选项A正确。
8.B 海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星；故A、C正确，B错误。哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归，故D正确。
9.A 飞船在此圆轨道上运行时，由万有引力提供向心力，可得G=m，解得速率为v=，A正确。
10.B 地球表面附近重力加速度为g，月球中心到地球中心的距离是地球半径的k倍，根据物体在地球表面受到的重力等于万有引力，得mg=，有g=，所以月球受到地球的引力产生的加速度为a1==；月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，根据匀速圆周运动向心加速度公式得a2=·kR=，选B。
11.B 在月球表面附近，航天器所受的重力等于月球对其的万有引力，有mg=。万有引力提供航天器做圆周运动的向心力，有G=m，解得v=，A正确；根据mg=mω2R，解得ω=，B错误；根据mg=mR，解得T=2π，C正确；根据G=ma，解得a=，D正确。
12.A 由题意，火星直径为地球直径的P倍，火星质量为地球质量的K倍，地球半径为R，则R火=PR，M火=KM地。在星球表面，根据重力等于万有引力，得mg0=G，解得g0=，可知g0∝，可得=；在星球表面附近，根据万有引力提供向心力，得G=m，解得v==，可得=，因为v地=，可得v火=，故A正确，B、C、D错误。
能力提升练
1.B 忽略行星自转的影响时，G=mg；自转角速度为ω时，G=mg+mω2R，行星的密度ρ=，解得ρ=，B正确。
2.B 由竖直上抛运动规律和题图可知=2gM·2h0、=2gN·h0，所以gM∶gN=1∶2；根据mg=、ρ=及V=πR3可得ρ=，所以ρM∶ρN=∶=(gMRN)∶(gNRM)=1∶4，选B。
3.B 天问一号绕火星做圆周运动，设火星质量为m，天问一号探测器的质量为m0，由万有引力提供向心力，可得G=m0r1，求得火星质量m=，由于火星的半径未知，所以无法求出火星的平均密度，故C不符合题意；m0在计算中消去了，所以不能求出天问一号的质量，故A不符合题意；太阳对火星的引力提供火星做圆周运动的向心力，故太阳对火星的引力为F=mr2=·r2=，B符合题意；开普勒第三定律适用于围绕同一中心天体做圆周运动的卫星，所以对火星和天问一号不适用，故D不符合题意。本题选B。
4.A 设火星的近地卫星的周期为T0，探测器运动的轨道半长轴为r=≈10R，由开普勒第三定律有=，解得T0=；对火星的近地卫星有G=mR，解得火星的质量为M=，火星的体积V=πR3，则火星的密度约为ρ==，A正确。
5.答案 (1) (2)
解析 (1)抛出点高度h、水平位移x与L之间的关系为L2=h2+x2
当初速度增加到原来的2倍时，水平位移变为2x，则有(L)2=h2+(2x)2
联立解得h=L
又h=gt2
所以g=
(2)在该星球表面上，有mg=G
得M=
所以ρ===
6.B 卫星a、卫星b质量相等，卫星a的轨道半径较小，由F=G可知卫星a所需向心力大于卫星b所需向心力，所以卫星a所需向心力不是最小的，则A错误；由G=mr=ma=m整理得T=、a=G、v=，可知，卫星b、卫星c的周期相同，且大于卫星a的周期，卫星b、卫星c的向心加速度大小相等，且小于卫星a的向心加速度，卫星b、卫星c的线速度大小相等，且小于卫星a的线速度，所以B正确，C、D错误。
7.C 由=mg'和GM=gR2解得g'=g，故A错误；由=解得T==，故B错误；由=解得v==，故C正确；飞船在轨运行的周期并不等于T0，所以角速度不等于，故D错误。
8.B A、B做圆周运动的周期相同，由ω=可知它们的角速度之比为1∶1，故A错误；A、B做圆周运动的向心力均由二者之间的万有引力提供，所以向心力之比为1∶1，故B正确；根据向心力公式有m1ω2r1=m2ω2r2，解得==，故C错误；根据v=ωr可知，A、B做圆周运动的线速度之比为==，故D错误。
9.C 对于a星球，由万有引力提供向心力，可得G+G=ma，故星球a做匀速圆周运动的向心加速度大小为a=，选项A错误；由a=，可得星球a做匀速圆周运动的线速度大小为v=，选项B错误；由a=r，可得星球a做匀速圆周运动的周期为T=4π，由题意可知a与b的运行周期相同，选项C正确；若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a、b受到的万有引力将减小，万有引力不足以提供向心力，a、b会做离心运动，a、b做圆周运动的半径缓慢增大，线速度将缓慢减小，选项D错误。