2022-2023学年高中物理 人教版2019必修第二册 同步教案 课时8.4 机械能守恒定律

第八章 机械能守恒定律
课时 8.4 机械能守恒定律
知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。
理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。
在具体问题中，能判定物体或系统的机械能是否守恒，并能应用机械能守恒定律解决问题。
一、动能与势能的相互转化
1. 重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。
2. 弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能。
3. 机械能
(1) 定义：重力势能、弹性势能和动能的总称，表达式为E=Ek+Ep。
(2) 机械能存在形式的改变：通过重力或弹簧弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
二、机械能守恒定律
1. 推导
如图所示，物体沿光滑曲面从A滑到B。
(1)由动能定理可得WG=Ek2-Ek1。
(2)由重力做功与重力势能变化的关系，可得WG=Ep1-Ep2。
(3)由以上两式可得Ek2-Ek1=Ep1-Ep2，即Ek2+Ep2=Ek1+Ep1。
结论：在只有重力做功时，物体的机械能保持不变。
同样可证明，只有系统内弹力做功时，系统的机械能守恒。
2. 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3. 表达式：Ek2+Ep2=Ek1+Ep1，即E2=E1。
基础过关练
题组一　机械能守恒的判断
1.(2021福建福州屏东中学期中)关于物体的机械能是否守恒，下列说法正确的是 (　　 )
A.物体所受合力为零，它的机械能一定守恒
B.物体做匀速直线运动，它的机械能一定守恒
C.物体所受合力不为零，它的机械能可能守恒
D.物体所受合力对它做功为零，它的机械能一定守恒
2.(2022江苏淮安期中)如图所示，一轻弹簧的一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由下摆，不计空气阻力，在重物由A点摆到最低点的过程中 (　　 )
A.重物的机械能增加
B.重物与弹簧组成的系统的机械能减少
C.重物与弹簧组成的系统的机械能不变
D.重物与弹簧组成的系统的机械能增加
题组二　机械能守恒定律的应用
3.(2022江苏无锡期中)如图所示，将质量为m的石块从离地面高h处以初速度v0斜向上抛出，最后落回地面。最高点距离地面高度为H，以抛出点所在平面为参考平面，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法中正确的 (　　 )
A.石块落地前瞬间的动能为m-mgh
B.石头在地面处的重力势能为-mgh
C.石块在最高点的机械能为mg(H-h)
D.石头在整个过程中重力势能增加了mgh
4.(2022浙江嘉兴第五高级中学期中)将某一物体由地面开始竖直上抛，不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H。选地面为零势能面，当物体在上升过程中通过某一位置时，它的动能恰好等于重力势能的2倍，则这一位置的高度为 (　　 )
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
5.(2021江苏南通如皋质检)如图所示，把一小球放在下端固定的竖立的轻弹簧上，并把小球往下按至A位置，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态。不计空气阻力，下列说法正确的是 (　　 )
A.从A运动到B的过程中，小球的机械能守恒
B.从A运动到B的过程中，小球的机械能一直增大
C.从A运动到B的过程中，小球的动能一直增大
D.从A运动到C的过程中，小球和弹簧组成的系统势能一直增大
6.如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球(可视为质点)被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球飞出前已与弹簧分离，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(重力加速度g取10 m/s2) (　　 )
A.10 J　　　　　B.15 J　　　　　C.20 J　　　　　D.25 J
7.(2022江苏常州期中)一跳台滑雪运动员在进行场地训练。某次训练中，运动员(可视为质点)以30 m/s的速度从起跳点斜向上跳出，空中飞行后在着陆坡的K点着陆。起跳点到K点的高度差为60 m，运动员总质量为60 kg，重力加速度g取10 m/s2。试分析(结果可以保留根号)：
(1)若不考虑空气阻力，理论上运动员着陆时的速度多大？
(2)若运动员着陆时的速度为44 m/s，飞行中克服空气阻力做功为多少？
题组三　连接体的机械能守恒问题
8.(2022北京八十中期中)如图，一很长的不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b(均可视为质点)，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，离地高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a能离开地面的最大高度为 (　　 )
A.h　　　　　B.2h　　　　　C.1.5h　　　　　D.2.5h
9.如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最低点时弹簧的长度变为2L(未超出弹性限度)，重力加速度为g，则在圆环下滑到最低点的过程中 (　　 )
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧的弹性势能增加了mgL
C.圆环下滑到最低点时，所受合力为零
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
10.(2022湖北黄冈蕲春一中月考)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定两光滑小球A和B，竖直靠墙放置。两球质量均为m，可看作质点，轻杆的长度为L。由于微小扰动，A球沿竖直墙壁向下滑动，B球沿水平地面向右滑动，则小球A、B从开始运动到A球即将离开墙面的过程中，重力加速度为g，下列说法正确的是 (　　 )
A.A、B构成的系统机械能不守恒
B.轻杆对小球A做负功，对小球B也做负功
C.轻杆与竖直墙壁的夹角为θ时，小球A的速度大小是小球B的速度大小的sin θ倍
D.轻杆与竖直墙壁的夹角为θ=时，小球A和小球B的动能之和为mgL
能力提升练
题组一　单个物体的机械能守恒问题
1.(2022湖北武汉新洲期中)如图所示，一小球(可视为质点)以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的半径的2倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为(重力加速度为g) (　　 )
A.4mg　　　　　B.5mg　　　　　C.6mg　　　　　D.7mg
2.(2021广东茂名高州二模)如图所示，光滑轨道abc固定在竖直面内，ab段水平，长度为2R，半径为R的八分之一圆弧bc与ab相切于b点。一质量为m的小球(可视为质点)，在与重力大小相等的水平外力的作用下，从a点由静止开始向右运动到c点后脱离轨道，最后落回地面。重力加速度为g，以下判断正确的是 (　　 )
A.小球在ab段运动时加速度大小为g
B.小球从c点飞出后机械能守恒
C.小球到达c点的速度大小为vc=
D.小球在bc段运动时重力做功的绝对值与水平外力做功的绝对值不相等
3.(2022江苏扬州中学期中)如图所示，ABC为一细圆管构成的圆弧轨道，轨道半径为R(比细圆管的内径大得多)，将其固定在竖直平面内，OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C，细圆管内壁光滑。在A点正上方某位置有一质量为m的小球(可视为质点)，由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动。已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1)若小球经过C点时恰与管壁没有相互作用，求小球经过C点时的速度大小；
(2)若小球刚好能到达轨道的最高点C，求小球经过最低点B时对轨道的压力大小；
(3)若小球从C点水平飞出后恰好能落回到A点，求小球刚开始下落时离A点的高度。
题组二　系统的机械能守恒问题
4.(2022江苏南通期中)如图所示，小物块套在固定竖直杆上，用轻绳跨过小定滑轮与小球相连。开始时物块与定滑轮等高。已知小球的质量是物块质量的2倍，杆与滑轮间的距离为d，重力加速度为g，定滑轮的大小忽略不计，绳及杆足够长，小物块和小球均可视为质点，不计一切摩擦。现将物块由静止释放，在物块向下运动的过程中 (　　 )
A.小物块重力的功率一直增大
B.刚释放时小物块的加速度为
C.小物块下降的最大距离为d
D.轻绳的张力总大于小球的重力
5.(2022江苏扬州中学期中)如图所示，小滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计一切摩擦，重力加速度为g。则 (　　 )
A.a落地前，轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为2
C.a下落过程中，其加速度始终小于g
D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力为mg
6.(2022天津南开中学期中)如图所示，倾角θ=30°的固定斜面上固定着挡板，轻弹簧下端与挡板相连，弹簧处于原长时上端位于D点。用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑定滑轮连接物体A和B，使滑轮左侧绳子始终与斜面平行，初始时A位于斜面上的C点，C、D两点间的距离为L，现由静止同时释放A、B，物体A沿斜面向下运动，将弹簧压缩到最短的位置为E点，D、E两点间距离为，若A、B的质量分别为4m和m，A与斜面之间的动摩擦因数μ=，不计空气阻力，重力加速度为g，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求：
(1)物体A在从C点运动至D点的过程中，加速度大小；
(2)物体A从C点运动至D点时的速度；
(3)弹簧的最大弹性势能。
题组三　用机械能守恒定律解决非质点问题
7.(2022山东威海乳山测试)如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来打开阀门让液体自由流动，当两侧液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计一切摩擦，重力加速度为g) (　　 )
A.　 B.　
C.　 D.
8.(2022江苏苏州震泽中学期中)如图所示，总长为L，质量分布均匀的细铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂，H>L，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为 (　　 )
A.　　　　　　　　　 B.
C.　　　　　　　　　 D.
答案全解全析
基础过关练
1.C　物体所受合外力为零，则合外力对它做功为零，物体可能做匀速直线运动，做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如乘降落伞沿直线匀速下降的飞行员的机械能减小，故A、B、D错误；物体所受的合外力不为零，可能仅受重力，只有重力做功，则此时机械能守恒，故C正确。
2.C　在重物下落的过程中，弹簧被拉伸，弹簧弹力做负功，故重物的机械能不守恒，A错误；对于重物和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，重物和弹簧组成的系统机械能守恒，C正确，B、D错误。
3.B　设石块落地前瞬间的动能为Ek1，根据动能定理有mgh=Ek1-Ek0=Ek1-m，解得Ek1=mgh+m，故A错误；以抛出点所在平面为参考平面，则石块在地面处的重力势能为-mgh，B正确；在最高点时，石块的重力势能为mg(H-h)，具有水平方向的速度，动能不为零，则在最高点的机械能大于mg(H-h)，故C错误；在整个过程中，重力做功为mgh，因此重力势能减少了mgh，故D错误。
4.B　选地面为零势能面，物体到达最大高度处时，动能为零，重力势能为mgH，则物体的机械能为mgH；物体在运动过程中机械能守恒，设当物体距地高度为h时，动能是重力势能的2倍，即动能为2mgh，可得mgh+2mgh=mgH，故h=，选B。
5.B　小球从A运动到B的过程中，弹簧弹力一直对小球做正功，小球的机械能一直增大，故A错误，B正确；小球从A上升到B的过程中，弹簧的弹力先大于重力，后小于重力，小球所受合力先向上后向下，则小球先加速后减速，动能先增大后减小，故C错误；小球从A上升到C的过程中，弹簧和小球组成的系统机械能守恒，小球从A到C，所受的合力先向上后向下，则小球先加速后减速，小球的动能先增大后减小，则弹簧和小球组成的系统的势能先减小后增大，故D错误。
6.A　小球从平台飞出后做平抛运动，有h=gt2，vy=gt，解得小球落地时的竖直分速度为vy= m/s；由于小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，故有tan 60°=，解得小球平抛初速度为v0== m/s= m/s；小球被弹出过程，只有弹簧弹力做功，弹簧与小球组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能转化为小球平抛的初动能，可得弹簧被压缩时具有的弹性势能为Ep=m=×2×10 J=10 J，故选A。
7.答案　(1)10 m/s　(2)4 920 J
解析　(1)不考虑空气阻力，根据机械能守恒有
m+mgh=mv2
解得v==10 m/s
(2)根据动能定理有mgh-W克=m-m
解得W克=mgh+m-m=4 920 J
8.C　设a球上升高度h时两球的速度大小为v，对a、b组成的系统机械能守恒，有3mgh=mgh+·(3m+m)v2，解得v=，此后绳子松弛，a球开始做初速度为v=的竖直上抛运动，对a球只有重力做功，机械能守恒，有mv2=mgH-mgh，解得a球能达到的最大高度H=1.5h，故C正确。
9.B　圆环下滑过程中机械能减少，弹簧的弹性势能增加，圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，即圆环的重力势能、动能和弹簧的弹性势能之和保持不变，圆环下滑到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即所受合力不为零，圆环下降的高度h==L，所以圆环的重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了mgL。由以上分析知B正确，A、C、D错误。
10.D　由于小球A和B光滑，A、B构成的系统没有机械能损失，即机械能守恒，A错误；小球A下滑过程中，小球B的机械能增加，则小球A的机械能减少，所以轻杆对小球A做负功，对小球B做正功，故B错误；轻杆与竖直墙壁的夹角为θ时，小球A和B沿杆方向的分速度大小相等，有vA cos θ=vB sin θ，可得= tan θ，故C错误；由于A、B组成的系统机械能守恒，所以小球A重力势能的减少量等于小球A和小球B的动能的增加量，又因为小球A和小球B的初动能均为零，所以轻杆与竖直墙壁的夹角为θ==30°时，小球A和小球B的动能之和为EkA+EkB=mg(L-L cos 30°)=mgL，故D正确。选D。
能力提升练
1.B　小球通过轨道2的最高点B时有mg=，小球在轨道1上经过其最高点A时有F+mg=，从B点到A点过程中，根据机械能守恒定律有mg·2R=m-m，解得小球在轨道1上经过其最高点A时受到的压力大小为F=5mg，由牛顿第三定律可知，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为5mg，选B。
2.D　小球在ab段运动时，对小球受力分析，受重力、支持力和水平外力，合外力F=mg，由牛顿第二定律可知F=ma，则小球的加速度大小为g，故A错误；小球离开c点后水平外力仍对其做功，机械能不守恒，故B错误；小球从a点到c点过程，由动能定理得F×(2R+R·sin 45°)-mg×(R-R·cos 45°)=m，且F=mg，解得vc=，故C错误；小球在bc段运动时，竖直方向与水平方向的位移大小不相等，重力做功的绝对值与水平外力做功的绝对值不相等，故D正确。
3.答案　(1)　(2)5mg　(3)1.25R
解析　(1)小球经过C点时与管壁无相互作用力，重力恰好提供向心力，有mg=m
解得vC=
(2)若小球恰好到达最高点C，则到达C点时速度为零，小球由B到C过程中机械能守恒，有mg·2R=m
解得vB=2
小球经过B点时，由牛顿第二定律可得FN-mg=m
解得FN=5mg
根据牛顿第三定律可知小球经过最低点B时对轨道的压力大小为5mg。
(3)小球从C点飞出后做平抛运动，则R=gt2、R=v'Ct
解得v'C=
设小球开始下落时离A点的高度为h，从开始下落到经过C点，由机械能守恒定律可得
mg(h-R)=mv'
解得h=1.25R
4.C　刚释放时物块的速度为0，物块下落到最低点时速度也为0，可知物块在下落过程中速度先增大后减小，由重力的瞬时功率表达式P=mgv可知，小物块重力的功率先增大后减小，故A错误。刚释放时，小物块水平方向受力平衡，竖直方向只受重力作用，根据牛顿第二定律可知此时小物块的加速度为g，故B错误。设物块下降的最大距离为h，物块的质量为m，根据系统机械能守恒有mgh-2mg·(-d)=0，解得h=d，故C正确。小球在上升过程中，先加速后减速，故绳子的张力先大于小球的重力，后小于小球的重力，故D错误。
5.D　a刚开始运动时b的速度为零，当a落地时，b的速度为零，整个运动过程，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，整个过程只有轻杆对b做功，由动能定理可知，轻杆对b先做正功后做负功，A错误；a、b组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统的机械能守恒，a落地时，b的速度为零，根据系统机械能守恒有mgh=m，解得va=，B错误；轻杆对b先做正功后做负功，则杆先处于压缩状态，后处于拉伸状态，则轻杆对a的作用力先斜向上后斜向下，轻杆对a的作用力在竖直方向的分力先竖直向上后竖直向下，a所受合力先小于重力后大于重力，由牛顿第二定律可知，a的加速度先小于g后大于g，C错误；a、b组成的系统，机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到杆的作用力为零，b只受到重力的作用，所以b对地面的压力大小为mg，D正确。
6.答案　(1)g　(2)　(3)mgL
解析　(1)从C点运动到D点的过程，对A、B整体有4mg sin 30°-mg-4μmg cos 30°=5ma
解得a=g
(2)对A、B整体应用动能定理有
4mgL sin 30°-mgL-4μmgL cos 30°=·5mv2
解得v=
(3)当A的速度为零时，弹簧被压缩到最短，此时弹簧弹性势能最大，整个过程中对A、B整体应用动能定理有
4mg(L+) sin 30°-mg(L+)-μ×4mg cos 30°(L+)-W弹=0-0
解得W弹=mgL
则弹簧具有的最大弹性势能Ep=W弹=mgL
7.A　如图所示，当两侧液面高度相等时，相当于右侧上方高的液体移到左侧液面上方，重心下降的高度为，减少的重力势能转化为管中所有液体的动能，根据机械能守恒定律有mg·h=mv2，解得v=，A正确。
8.D　设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律有(L-a)mgH+amg(H-)=Lmv2+Lmg·，解得v=，故D正确。
方法技巧
对于整体不能看成质点的物体的机械能守恒问题可分段讨论，找出每段的等效重心，利用机械能守恒定律列方程求解。