中心对称复习[上学期]
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中心对称
一、中心对称图形与两个图形成中心对称
同学们已经看到有一些图形绕某一定点（旋转中心）旋转一定角度后，可以与自身重合，如等边三角形、圆、国旗上的五角星等，这样的图形叫做旋转对称图形。如果旋转角度为180°，即若某个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，我们就把这样的旋转对称图形叫做中心对称图形。这个中心点叫做对称中心。如正方形、圆、平行四边形、S形等。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。例如下图将△ABC绕着A点旋转180°后得到△ADE，即△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形。点A是对称中心。点B的对称点是点D；点C的对称点是点E。点B绕着点A旋转180°到达D处，因此，B、A、D三点在同一直线上，并且AB=AD。
如果我们将这个图看成是一个图形，由于这个图形绕着点A旋转180°后，点B旋转到了点D，点C旋转到了点E，旋转后的图形恰好能与自身重合，因此也可以说这是一个中心对称图形。
二、中心对称的特征
如下图，我们将△ABC绕着任意一点O点旋转180°后得到△DEF，点A绕着点O旋转180°到达D处，因此，A、O、D三点在同一直线上，并且AO=OD。
另外，点C、O、F和点B、O、E也分别在同一条直线上，并且，BO=OE，CO=OF。
成中心对称的两个图形的特征如下：
（1）成中心对称的两个图形，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分。
（2）反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
（3）中心对称的两个图形对应线段平行且相等。
三、例题
例1．已知图中的同色三角形是成中心对称的两个图形，你能找到对称中心吗？
解：由中心对称的特征知道：成中心对称的两个图形，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分。图中连接AD、BE、CF的线段交于一点O，因此，点O就是对称中心。
例2．设D为△ABC中BC边上的中点，P是AB边上的一点。Q是AC边上一点，且PD⊥DQ，求证BP+CQ>PQ
分析：要证不等关系，应该想到三角形中两边之和大于第三边。因此要想办法将CQ和BP放到同一个三角形中。
证明：由于D为△ABC中BC边上的中点，BD=DC，因此可作△DCQ关于D点的中心对称图形△DBQ1，这时，DQ=DQ1，BQ1=CQ。
又PD⊥DQ，即PD是线段QQ1的中垂线，则PQ=PQ1。在△BPQ1中，BP+BQ1>PQ1，即BP+CQ>PQ
例3．△ABC中，D是AB边上的中点，AC=4，BC=6，
（1）作出△CDB关于点D的中心对称图形。
（2）求CD的取值范围。
解：（1）△CDB关于点D的中心对称图形是△EDA。
（2）由中心对称的特征得到CD=DE，BC=AE。在△EAC中，AC+AE>CE，AE-AC所以2则1
例4．你有多少种方法将下图长方形纸片切一刀，恰好分成面积相等的两块？
分析与解：同学们很容易想到下面三种方法
这三种切法都过同一个点，即长方形对角线的交点O，长方形不仅是轴对称图形而且还是中心对称图形，又由于点O恰好是对称中心，所以过O点的任意一条直线都把这块蛋糕分成了面积相等的两部分。
如图，沿着MN切即可。故有无数种满足要求的方法。
【同步达纲练习】
1．判断题
（1）圆是轴对称图形也是中心对称图形
（2）等边三角形是轴对称图形也是中心对称图形
（3）成中心对称的两个图形的形状和大小不变
（4）即是轴对称图形也是中心对称图形的四边形一定是正方形。
2．下图中的两个四边形是中心对称的，请你找出对称中心
3．画出下图关于A点的中心对称图形
4．一块方角形钢板（如图），如何用一条直线将其分为面积相等的两部分
*5．△ABC中，D是AB边上的中点，点E、F分别在AC、BC上，你能得到△ADE、△BDF面积之和与△DEF面积的大小关系吗？说说你的理由。
*6．△ABC是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的点，且DG=GE。请说明BD=CE。
参考答案
【同步达纲练习】
1．(1)对 (2)错 (3)对 (4)错 例如：长方形既是轴对称图形也是中心对称图形
2．提示：两个四边形中相等的角的顶点是对称点，对称点连线的交点是对称中心
3．
4．此题分法较多，答案不唯一。
5．分析：首先利用特殊的三角形下图中的（如等边三角形）猜测结论：
。下面证明这个结论
证明：D是AB边上的中点，AD=DB，因此如下图所示可作△DAE关于D点的中心对称图形△DBM，如图连结MF，则，DE=DM，且D、E、M共线。与是等底同高的三角形，则
即
由于M、B、F三点不能在同一条直线上，则不能相等。
所以
6．
解：由于DG=GE，即D、E是关于G的对称点，作点C关于G的对称点F，连结DF，即△CEG与△FDG是中心对称的。
由中心对称的特征可知：DF//CE，DF=CE
由DF//CE，则∠ACB=∠DFB
又AB=AC，则∠ACB=∠ABC
即∠DFB=∠ABC
所以DB=DF
因此DB=CE
一、中心对称图形与两个图形成中心对称
同学们已经看到有一些图形绕某一定点（旋转中心）旋转一定角度后，可以与自身重合，如等边三角形、圆、国旗上的五角星等，这样的图形叫做旋转对称图形。如果旋转角度为180°，即若某个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，我们就把这样的旋转对称图形叫做中心对称图形。这个中心点叫做对称中心。如正方形、圆、平行四边形、S形等。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。例如下图将△ABC绕着A点旋转180°后得到△ADE，即△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形。点A是对称中心。点B的对称点是点D；点C的对称点是点E。点B绕着点A旋转180°到达D处，因此，B、A、D三点在同一直线上，并且AB=AD。
如果我们将这个图看成是一个图形，由于这个图形绕着点A旋转180°后，点B旋转到了点D，点C旋转到了点E，旋转后的图形恰好能与自身重合，因此也可以说这是一个中心对称图形。
二、中心对称的特征
如下图，我们将△ABC绕着任意一点O点旋转180°后得到△DEF，点A绕着点O旋转180°到达D处，因此，A、O、D三点在同一直线上，并且AO=OD。
另外，点C、O、F和点B、O、E也分别在同一条直线上，并且，BO=OE，CO=OF。
成中心对称的两个图形的特征如下：
（1）成中心对称的两个图形，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分。
（2）反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
（3）中心对称的两个图形对应线段平行且相等。
三、例题
例1．已知图中的同色三角形是成中心对称的两个图形，你能找到对称中心吗？
解：由中心对称的特征知道：成中心对称的两个图形，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分。图中连接AD、BE、CF的线段交于一点O，因此，点O就是对称中心。
例2．设D为△ABC中BC边上的中点，P是AB边上的一点。Q是AC边上一点，且PD⊥DQ，求证BP+CQ>PQ
分析：要证不等关系，应该想到三角形中两边之和大于第三边。因此要想办法将CQ和BP放到同一个三角形中。
证明：由于D为△ABC中BC边上的中点，BD=DC，因此可作△DCQ关于D点的中心对称图形△DBQ1，这时，DQ=DQ1，BQ1=CQ。
又PD⊥DQ，即PD是线段QQ1的中垂线，则PQ=PQ1。在△BPQ1中，BP+BQ1>PQ1，即BP+CQ>PQ
例3．△ABC中，D是AB边上的中点，AC=4，BC=6，
（1）作出△CDB关于点D的中心对称图形。
（2）求CD的取值范围。
解：（1）△CDB关于点D的中心对称图形是△EDA。
（2）由中心对称的特征得到CD=DE，BC=AE。在△EAC中，AC+AE>CE，AE-AC
例4．你有多少种方法将下图长方形纸片切一刀，恰好分成面积相等的两块？
分析与解：同学们很容易想到下面三种方法
这三种切法都过同一个点，即长方形对角线的交点O，长方形不仅是轴对称图形而且还是中心对称图形，又由于点O恰好是对称中心，所以过O点的任意一条直线都把这块蛋糕分成了面积相等的两部分。
如图，沿着MN切即可。故有无数种满足要求的方法。
【同步达纲练习】
1．判断题
（1）圆是轴对称图形也是中心对称图形
（2）等边三角形是轴对称图形也是中心对称图形
（3）成中心对称的两个图形的形状和大小不变
（4）即是轴对称图形也是中心对称图形的四边形一定是正方形。
2．下图中的两个四边形是中心对称的，请你找出对称中心
3．画出下图关于A点的中心对称图形
4．一块方角形钢板（如图），如何用一条直线将其分为面积相等的两部分
*5．△ABC中，D是AB边上的中点，点E、F分别在AC、BC上，你能得到△ADE、△BDF面积之和与△DEF面积的大小关系吗？说说你的理由。
*6．△ABC是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的点，且DG=GE。请说明BD=CE。
参考答案
【同步达纲练习】
1．(1)对 (2)错 (3)对 (4)错 例如：长方形既是轴对称图形也是中心对称图形
2．提示：两个四边形中相等的角的顶点是对称点，对称点连线的交点是对称中心
3．
4．此题分法较多，答案不唯一。
5．分析：首先利用特殊的三角形下图中的（如等边三角形）猜测结论：
。下面证明这个结论
证明：D是AB边上的中点，AD=DB，因此如下图所示可作△DAE关于D点的中心对称图形△DBM，如图连结MF，则，DE=DM，且D、E、M共线。与是等底同高的三角形，则
即
由于M、B、F三点不能在同一条直线上，则不能相等。
所以
6．
解：由于DG=GE，即D、E是关于G的对称点，作点C关于G的对称点F，连结DF，即△CEG与△FDG是中心对称的。
由中心对称的特征可知：DF//CE，DF=CE
由DF//CE，则∠ACB=∠DFB
又AB=AC，则∠ACB=∠ABC
即∠DFB=∠ABC
所以DB=DF
因此DB=CE