2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市五常市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市五常市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算一定正确的是( )
A. B. C. D.
3. 习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. “横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的题西林壁这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能会有不同的结论某物体如图所示，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知抛物线，下列结论错误的是( )
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大
6. 若关于的方程无解，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
7. 如图，为的直径，弦于点，于点，，则为( )
A.
B.
C.
D.
8. 年春节期间月日至月日，圆通速递实行“春节不打烊”某快递员在一线提供正常揽派服务，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递员揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳两条尺长和相等可测量零件的内孔直径如果：：，且量得，则零件的厚度为( )
A.
B.
C.
D.
10. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，分钟时，再打开出水管排水，分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完在整个过程中，容器中的水量升与时间分钟之间的函数关系如图所示，则图中的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 年月日，工业和信息化部负责人在“世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成基站近万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设网络的国家将数据万用科学记数法表示为 ．
12. 函数中，自变量的取值范围是______．
13. 计算：______．
14. 因式分解： ．
15. 不等式组的解集是 ．
16. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为，则______
17. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数的值为 ．
18. 一个不透明的箱子中有个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为 个
19. 观察下列图形规律，当图形中的“”的个数和“”个数差为时，的值为 ．
20. 如图，在中，，点，分别在边，上，，将线段绕点逆时针旋转，点恰好落在边的点处，则的长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
22. 本小题分
如图，网格纸中每个小正方形的边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出以为一边的等腰，使的面积为点在小正方形的顶点上；
在方格纸中画出的中线，并把线段绕点逆时针旋转，画出旋转后的线段点与对应，点与对应，连接，请直接写出的值．
23. 本小题分
首届全民阅读大会于年月日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代奋进新征程”按国务院教育督导委员会办公室印发的关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩某中学随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间：以上，：，：，：以下进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图请根据图中的信息解答下列问题：
求本次调查的学生人数；
求出，的值并补全条形统计图；
若该校有名学生，请估计该校一周课外阅读时间以上的人数．
24. 本小题分
在中，，点、分别是、的中点，点在延长线上，连接，且．
如图，求证：四边形是平行四边形；
如图，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有等于面积的倍的三角形．
25. 本小题分
年月日至日冬季奥运会在北京举行某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共个进行销售已知“冰墩墩”摆件的进价为元个，“冰墩墩”挂件的进价为元个．
若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量；
该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为元个，“冰墩墩”挂件售价定为元个，若购进的个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
26. 本小题分
已知，外接于，是上的高，．
如图，求证：；
如图，是劣弧上一点，连接交于点，连接并延长交的延长线于点，且，求的值；
如图，在的条件下，交于点，交于点，交于点，点在线段上，且，，求的长．
27. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点、，与轴交于点，过点的直线交轴于点，连接，且．
求，的值；
第一象限内的点在此抛物线上，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
在的条件下，点是第三象限内的点，连接、，且，点是中点，过点向射线作垂线，垂足为点，交的延长线于点，，点为上的一点，连接，过点作的垂线，交于，交于，连接，平分，当轴时，求的面积及的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】
【解析】解：根据俯视图的定义可知，
它的俯视图是，
故选：．
根据俯视图是从上往下看得到的视图判断即可．
本题考查了三视图，解题关键是理解三视图的定义，树立空间观念，准确识图．
5.【答案】
【解析】解：抛物线中，，抛物线开口向上，因此选项正确，不符合题意；
由解析式得，抛物线的对称轴为直线，因此选项正确，不符合题意；
由解析式得，抛物线的顶点坐标为，因此选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，因此当时，随的增大而减小，因此选项错误，符合题意；
故选：．
根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
6.【答案】
【解析】解：，
方程两边同乘得：，
整理得：，
原方程无解，
当时，即，
当时，或，此时，，
解得：或，
当时，无解，
当时，，
解得：．
综上，的值为或．
故选：．
先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，，
，
，
．
故选：．
根据邻补角得出，根据直角三角形两锐角互余得出，结合圆周角定理及三角形的外角性质进行求解即可．
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，涉及到四边形内角和定理，三角形的外角性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：设该快递员揽件日平均增长率为，根据题意得，
，
故选：．
设该快递员揽件日平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：：：，，
∽，
：，
：，
，
外径为，
，
．
故选：．
求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的长．
10.【答案】
【解析】解：依题意，分钟进水升，则进水速度为升分钟，
分钟时，再打开出水管排水，分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为升分钟，
，
解得．
故选：．
根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：万，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定时，要看把原数变成时，小数点移动了几位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，为正整数；当原数的绝对值时，为负整数．
本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题的关键是确定、的值．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
根据分式的意义和二次根式的意义，列不等式组求解．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
本题考查了因式分解，解题根据是熟练掌握运用提取公因式和平方差公式进行因式分解．
15.【答案】
【解析】解：，
解得：，
解得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别解两个不等式得到和，然后利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
16.【答案】
【解析】
【分析】
根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数性质确定得值．
本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
【解答】
解：轴，
，
，
．
故答案为：．
17.【答案】或或
【解析】解：当二次函数的图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足，
解得：，
当二次函数的图象与轴只有一个交点且与坐标轴轴也有一个交点时，
此时满足，
解得：，
当时，函数为与坐标轴有两个公共点；
综上可得，或或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点，
故答案为：或或．
函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分二次函数和一次函数两种情况，当为二次函数时，分函数图象过原点和函数图象与轴只有一个交点且与坐标轴轴也有一个交点，分别计算即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】设这个箱子中黄球的个数为个．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
所以这个箱子中黄球的个数为个．
故答案为：．
设这个箱子中黄球的个数为个，再根据概率公式求出的值即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】
【解析】解：设第个图形中““的个数为个，““的个数为个，
观察图形，可知：，，，，
，
；
，，，，，
．
，
，
解得：可舍．
故答案为：．
设第个图形中““的个数为个，““的个数为个，根据图形中““和“”个数的变化，可找出变化规律；“，令即可得出关于的方程，解之即可得出结论．
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形形中“”和““”个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：连接，作于点，作于点，如图，
，，
，，，
线段绕点逆时针旋转，点恰好落在边的点处，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
在中，，，
，
由勾股定理得，，
在中，，
，即，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求得，，，推出是等边三角形，作于点，作于点，证明≌，利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理，列式计算即可求解．
本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质以及勾股定理，三角形内角和定理，证明≌是解题的关键．
21.【答案】解：原式
，
，
．
【解析】先根据分式的除法运算法则和减法法则，结合乘法公式计算括号内的，再根据分式乘法运算法则化简原式，再求得值代入化简式子中求解即可．
本题考查分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值、分母有理化，熟记平方差公式和完全平方公式，熟练掌握分式的运算法则和运算顺序是解答的关键．
22.【答案】解：如图，即为所作，为的中线，；
如图，的中线以及线段即为所作，，，，，
，
．
【解析】根据等腰三角形的性质作图即可；
根据中线的性质，旋转的性质即可作出线段、，，，得，根据三角函数即可求得结果．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：名，
答：本次调查名学生．
，
答：的值是，的值是，补全条形图如图所示．
用样本频率估计总体频率得：名．
答：估计该校一周课外阅读时间以上的人数是名．
【解析】根据类的人数除以占比即可求解；
用，的人数除以，乘以，即可求解，用乘以的占比得出的人数，然后补全统计图即可求解．
根据样本估计总体即可求解，用乘以，即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】证明：，点是中点，
，
，
，
，
，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，
由得，，，
，，，，的面积都是面积的倍．
【解析】根据直角三角形斜边的中线的性质求得，推出，证明，再由三角形中位线定理推出，即可证明四边形是平行四边形；
本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握三角形中位线定理的运用，直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定是解题的关键．
25.【答案】解：设购进“冰墩墩”摆件件，“冰墩墩”挂件的件，
依题意得：，
解得：，
答：购进“冰墩墩”摆件件，“冰墩墩”挂件的件；
设购买“冰墩墩”挂件个，则购买“冰墩墩”摆件个，
依题意得：，
解得：，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过个．
【解析】设购进“冰墩墩”摆件件，“冰墩墩”挂件的件，再根据“总价单价数量”和“购买“冰墩墩”摆件和“冰墩墩”挂件共个且共花费元”列关于、的二元一次方程组求解即可；
设购买“冰墩墩”挂件个，则购买“冰墩墩”摆件个，利用“总价单价数量”和“至少盈利元”列于的不等式求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解答本题的关键．
26.【答案】证明：是上的高，
，
，，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：作，，延长交于，连接．
，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
又
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
设，，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
，，
，
，
又，，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
在上取点，使，连接，≌，
，，
，
又，
解得：，
，
，
又，
解得：，
，
．
【解析】由，，代入计算即可求解；
通过角的计算，得出，即可求解；
作，，延长交于，连接设，，求得，解、、即可求解．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，综合性质强，难度较大，解题关键是能够综合运用各方面的知识，作出适当的辅助线，通过构造等腰三角形、直角三角形等以达到解决问题的目的．
27.【答案】解：令，
则或，
，，，，
在直线上，
，
，
令中，
则，
，
，
轴轴，
，
，，，
，
，
，
作的平分线交于，作于，
则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在抛物线上，
，
；
作轴交于，
第一象限内点的横坐标为，
，，
，
即；
作于，作轴于．
，，，
，
，，
，，
，
≌，
，
，点是中点，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
轴，
，
，
作交的延长线于点，
则，
，，
，，
，
，，
≌，
，，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
．
【解析】令，得出，，，，根据在直线上得出，继而得出，，勾股定理得出，根据已知得出，作的平分线交于，作于根据得出，继而得出，根据得出，代入抛物线解析式即可求解；
依题意，，，根据三角形面积公式即可求解；
作于，作轴于证明≌，设，导角得出，根据三角形面积公式得出，作交的延长线于点，则，证明≌，≌，进而得出，根据，，则，继而得出，即可求解．
本题考查二次函数的综合应用，掌握解直角三角形，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
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