江苏省无锡江阴市2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题

2013-2014学年度第二学期高二期中考试
数学试卷（理科）
命题单位:山观高级中学
时间120分钟，满分160分。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 复数的共轭复数为 ▲ ．
2.有4件不同的产品排成一排，其中A、B两件产品排在一起的不同排法有_▲___种．
3.若是纯虚数，则实数的值是__ ▲___ ．
4. 若，则的值为 ▲ 　．
5. 被除所得的余数是_______▲______．
6. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数中 ▲ ”．
7. 已知复数且，则的范围为______▲_______．
8. 5名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选,一间客房为3人间,其余为2人间,则5人入住两间客房的不同方法有　▲　　　种(用数字作答).
9.已知的周长为，面积为，则的内切圆半径为 ．将此结论类比到空间，已知四面体的表面积为，体积为，则四面体的内切球的半径 ▲ ．
10.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为__▲______．(用数字作答)
11.用数学归纳法证明: 的第二步中,当时等式左边与时的等式左边的差等于　▲　　.
12.设，若函数有大于零的极值点，则的取值范围是__▲______．
13. 观察下列等式：
＋＝；
＋＋＋＝；
＋＋＋＋＋＝；
……
则当且时，
＋＋＋＋…＋＋＝__▲______(最后结果用表示)．
14.已知，,
,则的值为__ ▲___
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
15. （本小题满分14分）
⑴用综合法证明：；
⑵用反证法证明：若均为实数，且，，，求证中至少有一个大于0.
16. （本小题满分14分）已知复数，（，是虚数单位）．
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．
17. （本小题满分14分）由数字1、2、3、4、5、6组成无重复数字的数中，求：
（1）六位偶数的个数；
（2）求三个偶数互不相邻的六位数的个数；
（3）求恰有两个偶数相邻的六位数的个数；
（4）奇数字从左到右，从小到大依次排列的六位数的个数．
18.（本小题满分16分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之
比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求的值.
19. （本小题满分16分）已知，，．
（1）当时，试比较与的大小关系；
（2）猜想与的大小关系，并给出证明．
20．（本小题满分16分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
2013-2014学年第二学期高二期中考试
数学试卷（理科）参考答案
一、填空题
1、； 2、12； 3、2； 4、7； 5、1； 6、三个数都是偶数； 7、； 8、20； 9、；
10、32；11、3k+2；12、，13、；14、-1.
二、解答题
16. 【解析】（1）由条件得，…（2分）
因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 …………（4分）
∴解得 …………（6分）
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根
所以，即， …………（10分）
把代入，则，， …………（11分）
所以…………（14分）
17【解析】（1）偶数的个位数字必须是偶数。因而先排个位
满足条件的六位偶数共有=360个； ……………3分
（2）先排奇数，然后有三个空，再插空排三个偶数
满足条件的三个偶数互不相邻的六位数有=72个； ……………6分
（3）用捆绑法。先从三个偶数中选出两个捆绑在一起看作一个偶数，然后排奇数，
再从四个空里选两个空插这两个元素。满足条件的恰有两个偶数相邻的六位
数共有=432个； …………10分
（4）满足条件的奇数字从左到右从小到大依次排列的六位数共有=120个 ……………15分
注：表达式列对，答案算错扣1分
18.【解析】（1）由解得n=10………………（2分）
因为通项： ………………（3分）
当5﹣为整数，r可取0，6 ………………………………（4分）
展开式是常数项，于是有理项为T1=x5和T7=13400 ………………（6分）
（2）设第r+1项系数绝对值最大，则………………（8分）
注：等号不写扣（1分）
解得，于是r只能为7 ………………（10分）
所以系数绝对值最大的项为 ………………（11分）
（3）
……………………13分
…………….16分
19. 【解析】（1） 当时，，，所以；………1分
当时，，，所以；………2分
当时，，，所以．………4分
（2） 由（１），猜想，下面用数学归纳法给出证明：………6分
①当时，不等式显然成立．………7分
②假设当时不等式成立，即，...9分
那么，当时， ，………11分
因为，…14分
所以．………………15分
由①、②可知，对一切，都有成立．………………16分
20.【解析】函数的定义域为，．………1分
（1）当时，函数，，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．………………………4分
（2）函数的定义域为．
1.当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………5分
2.当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或； ………………6分
由，即，得．………………………7分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． ……………………………………9分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………10分
（Ⅲ））因为存在一个使得，
则，等价于.…………………………………………………12分
令，等价于“当 时，”.
对求导，得.……………………………………………13分
因为当时，，所以在上单调递增.
所以，因此. …………………………………………16分
另解：设，定义域为，
.
依题意，至少存在一个，使得成立，
等价于当 时，. ………………………………………11分
（1）当时，
在恒成立，所以在单调递减，只要，
则不满足题意.…… 12分
（2）当时，令得.
（ⅰ）当，即时，
在上，所以在上单调递增，
所以，由得，，所以.………13分
（ⅱ）当，即时，
在上，所以在单调递减，
所以，由得.………………14分
（ⅲ）当，即时， 在上，在上，
所以在单调递减，在单调递增，
，等价于或，解得，所以，.…………………15分
综上所述，实数的取值范围为.………………………………………16分