江苏省无锡江阴市2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题

2013-2014学年第二学期期中考试
高二数学（文科）
命题单位：山观中学
总分：160分；考试时间：120分钟；
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。）
1．设集合，,,则 ．
2．已知复数满足（为虚数单位），则 .
3．命题“若，则（R）”否命题的真假性为 （从“真”、“假”中选填一个）．
4．已知集合 ,
若,,则的值等于　　　.
5．若是纯虚数，则实数的值是
6．“”，“”，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
7．函数的单调减区间为___________.
8．曲线在点处的切线方程是 ．
9．若命题“，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是　　　　
10．设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，
则实数的值为 　 　　
11．已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为________．
12．已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则不等式的解为 　　
13．求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解为　 　．
14．已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分。请在答题纸相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本题14分）已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16．（本题14分）设：，：关于的不等式的解集是空集，试确定实数的取值范围，使得或为真命题，且为假命题。
17．（本题15分）复数＝且，对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值．
18．（本题15分）（1）用综合法证明：()
（2）用反证法证明：若均为实数，且，，求证：中至少有一个大于0
19．（本题16分）已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．

20．（本题16分）已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)若方程有且只有一个根，求实数的取值范围．
2013-2014学年第二学期期中考试
高二数学（文科）参考答案
一、填空题：
1． 2. 3. 真 4. -7 5.2 6.
7. 8. 9. 10.
11. ∪ 12. 13. 14.
二、解答题：
15．法一：
解：（1）,------2分
当时，,------4分
∴. ------6分
（2）,------7分
①当时， 不成立；------9分
②当即时，
，解得 ------11分
③当即时，
解得 ------13分
综上，当，实数的取值范围是.------14分（缺等号扣2分）
法二：
解：（1）,------2分
当时，,------4分
∴. ------6分
（2）记
即：------10分
整理得：解得
实数的取值范围是.------14分 （缺等号扣2分）
16．解：化为，∴0≤m<3. ------4分
∵不等式x2－4x＋m2≤0的解集为?，∴Δ＝16－4m2<0，∴m<－2或m>2. ------8分
∵p或q真，p且q假，∴p与q有且仅有一真．------9分
当p成立而q不成立时，0≤m≤2. ------11分
当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3. ------13分
综上所述，m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)．------14分
17．解：z＝ (a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. ?------5分
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1. ------10分
又∵Z点在第一象限，∴a＜0，b＜0.由①②得 ------14分
故所求值为a＝－，b＝－1. ------15分
18.解：(1) ------1分

------3分
即
------5分
当且仅当时取等号
------7分
(2)证明：假设都不大于0------8分
即，，同时成立
则------11分
矛盾------14分
假设不成立
原命题成立。------15分
19．解：（1）∵，∴．------2分
∵在上是增函数，
∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．------4分
令，则≤．
∵在上是增函数，∴．
∴≤1．所以实数的取值范围为．------7分
（2）由（1）得，．
①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．
所以，解得（舍去）．------10分
②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．
所以，解得（舍去）．------13分
③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．
所以，所以．------16分
20．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.------6分
(2)依题意令log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，
即------8分
令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．
①当a＝1时，t＝－1，不合题意，舍去．------9分
②上式有一正一负根t1，t2，
即，得a>1.
此时，a·2x－a=>0， ∴a>1. ------11分
③上式有两根相等，即Δ＝0?a＝±2－2，此时t＝，
若a＝2(－1)，则有t＝<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，
故a＝2(－1)舍去；------13分
若a＝－2(＋1)，则有t＝>0，且a· 2x－a＝a(t－1)＝a＝>0，因此a＝－2(＋1)．------15分
综上所述，a的取值范围为{a|a>1或a＝－2－2}．------16分