江苏省南京市高淳区2013-2014学年度第二学期期中质量调研检测高二文科数学试卷

高淳区2013～2014学年度第二学期期中质量调研检测
高二数学试卷（文）
2014.04
注意事项：
1．本试卷分为两大部分，第一部分填空题（1～14题），共70分；第二部分解答题（15～20题），共90分．全卷满分160分，考试时间120分钟．
2．答卷前，请考生将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷规定的地方．
3．试题答案均写在答题卷相应位置上，答在其它地方无效．
4．本场考试不得使用计算器．考试结束后，只交答题卷．
参考公式：方差公式：
数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．
1.若集合U＝{1，2，3，4，5,6}，M＝{1，2，4}， 则?UM＝ ▲ .
2．命题“(x(R，x2≥0”的否定是 ▲ .
3．设复数z满足(2＋i)z＝5i(i为虚数单位)，则|z|＝ ▲ .
4．函数f(x)＝＋lg(4－x)的定义域是 ▲ .
5．如图所示是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ .


6．如图所示是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是 ▲ .
7．“α＝β”是“sinα＝sinβ”的 ▲ 条件．
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)
8．为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如上表.根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在[10.95，11.15)范围内的矩形的高应为 ▲ .
9．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调减区间为 ▲ .
10．已知a＝()m，b＝m2，c＝log0.5m，当m＞1时，a，b，c的大小关系为 ▲ .
11．直线y＝x＋m是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数m＝ ▲ .
12．设f (x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f (x)＝x＋ex（e为自然对数的底数），则f (ln6)的值为 ▲ .
13．观察下列等式：
13＝1
13＋23＝9
13＋23＋33＝36
13＋23＋33＋43＝100
………
由此可得结论：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝ ▲ (n(N*).
14．如图，线段EF的长度为1，端点E，F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E，F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则l－S的最大值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．(本题满分14分)
某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第一组
[230，235)
8
0.16
第二组
[235，240)
①
0.24
第三组
[240，245)
15
②
第四组
[245，250)
10
0.20
第五组
[250，255]
5
0.10
合 计
50
1.00
（1）写出表中①和②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数.
16．(本题满分14分)
已知命题p：函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1有两个不同的极值点；命题q：函数f(x)＝x2－mx＋3在区间[－1，2]是单调减函数．若p且┐q为真命题，求实数m的取值范围．
17．(本题满分16分)
甲打靶射击，有5发子弹，其中有2发是空弹．
(1)求第一枪出现空弹的概率；
(2)如果把空弹换成实弹，甲前4枪在靶上留下四个弹孔A，B，C，D，且正好构成边长为4的正方形．第5枪瞄准了正方形ABCD射击，且第5个弹孔落在正方形ABCD内，求第5个弹孔与前4个弹孔的距离都超过2的概率（忽略弹孔大小）．
18．(本题满分16分)
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足
g(t)＝115－|t－15|.
(1)求该城市的旅游日收益w(t) (万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元).
19．(本题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的不平行于对称轴的弦， M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为kOM，kAB，则kOM·kAB＝－．
(1)类比椭圆的上述性质，给出一个在双曲线中也成立的性质；
(2)证明(1)中的结论．
20．(本题满分16分)
设函数f (x)＝－x2＋(a＋1)x－lnx(a∈R)．
(1)当a＝0时，求函数f (x)的极值；
(2)当a＞0时，讨论函数f(x)的单调性；
(3)若对任意a∈(2，3)及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m＋ln2＞|f (x1)－ f (x2)|成立，求实数m的取值范围．
高淳区2013－2014学年高二期中调研测试
数学（文）试卷参考答案与评分标准
一、填空题：
1．{3，5，6} 2． (x(R，x2＜0
3． 4．[－2，4)
5．14 6．
7．充分不必要 8．1.45
9．(－2，－1) 10．c＜a＜b
11．ln2－1 12．ln6－
13．  14．
二、解答题：
15．（1）①的位置为12 ---------------------------------3分
②的位置为0.30 ---------------------------------6分
（2）抽样比例为＝，
所以第三、四、五各组参加考核人数分别为3，2，1．------------------14分
（在有错误的情况下，三个答案中算对一个给3分）
16. 解：p为真时： f ((x)＝x2＋2x＋m
△＝4－4m＞0
∴m＜1 ------------------------------------------4分
q为真时： m≥4
∴┐q为真时: m＜4 ------------------------------------------8分
由 得： m＜1 ------------------------------------------12分
∴实数m的取值范围为(－∞，1). ------------------------------------------14分
17．（1）解：记“第一枪出现空弹”为事件A．
本题共有5个基本事件，事件A包含2个基本事件。且每个基本事件是等可能的。
所以P(A)＝ ……………………………………6分
（2）解：记“第5个弹孔与前4个弹孔的距离都超过2”
为事件B.
把正方形ABCD的面积看成区域D.
每个弹孔落在正方形ABCD内是等可能的。
把图形EFGH的面积看成区域d.
P(B)＝＝＝1－ ……………………………………………13分
答：（1）第一枪出现空弹的概率为．（2）第5个弹孔与前4个弹孔的距离都超过2的概率为1－． ……………………………………………………………14分
18．解：(1)由题意得，w(t)＝f(t)·g(t)＝(4＋)(115－|t－15|) … …………………4分
＝………………6分
(2)①当1≤t≤15，t∈N时，w(t)＝(4＋)(t＋100)
＝4(t＋)＋401≥4×2＋401＝441
当且仅当t＝5时取等号． ………………………………………………………10分
②当15≤t≤30时，w(t)＝(4＋)(130－t)＝519＋(－4t)
w′(t)＝＜0
∴w(t)在[15，30]上单调递减，所以当t＝30时w(t)取最小值为403 ………13分
由于403＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元．………………15分
答：该城市旅游日收益的最小值为403万元．……………………………………… 16分
19.解：(1) 在平面直角坐标系xOy中，已知AB是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为kOM，kAB，
则kOM·kAB＝． ……………………………4分
(2)设A(x1，y1)，A(x1，y1)，M(x0，y0 )
由得：－＝0 ----------------------------------------6分
即－＝0
∵M(x0，y0)为AB的中点
∴x1＋x2＝2x0 y1＋y2＝2y0 ----------------------------------------9分
∴－＝0
∴kAB＝＝ ----------------------------------------11分
∵kOM＝ ----------------------------------------13分
∴kOM·kAB＝ ----------------------------------------16分
20.解：(1)由题，定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，f (x)＝x－lnx，∴f ′(x)＝1－＝．………………………2分
　　　　由f ′(x)＞0?x＞1； f ′(x)＜0?0＜x＜1，
　　　　∴函数f (x)在区间(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．
　　　　∴x＝1时f (x)有极小值为f (1)＝1－ln1＝1．……………………………4分
(2)a＞0时，f ′(x)＝－ax＋a＋1－＝＝．……5分
当f ′(x)＝0时，x＝1和x＝．
①当a＝1时，f ′(x)＝－≤0恒成立，此时f (x)在(0，＋∞)上递减；……6分
②当＞1即0＜a＜1时，f ′(x)＞0?1＜x＜；f ′(x)＜0?0＜x＜1或x＞；
∴f (x)在(1，)上递增，在(0，1)和(，＋∞)上递减；………………………8分
③当＜1即a＞1时，f ′(x)＞0?＜x＜1；f ′(x)＜0?0＜x＜或x＞1；
∴f (x)在(，1)上递增，在(0，)和(1，＋∞)上递减．………………………10分
（3）由（2）知当a∈(2，3)时， f (x)在区间[1，2]上单调递减，
所以|f(x1)－ f(x2)|max＝f (1)－ f (2)＝－1＋ln2， …………………………11分
要使对任意x1，x2∈[1，2]，恒有m＋ln2＞|f (x1)－ f (x2)|成立
　 则有m＋ln2＞|f(x1)－ f(x2)|max，
即m＋ln2＞－1＋ln2对任意a∈(2，3)成立，
　 亦即m＞对任意a∈(2，3)成立，…………………………………………13分
令g(a)＝，则g ′(a)＝＞0对a∈(2，3)恒成立，
所以g(a)在a∈(2，3)上单调递增，
∴ g(a)＜g(3)＝，…………………………………………………………………15分
故m的取值范围为 m≥ ．…………………………………………………………16分