2022-2023学年人教A版（2019 ）第三章 函数概念与性质 单元测试卷（含解析）

第三章 函数概念与性质 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知幂函数的图象经过点，则( )
A.3 B. C.9 D.
2、现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3、若函数的图象经过点，则( )
A. B.3 C.9 D.8
4、给出幂函数：①；②；③；④；⑤.其中满足条件的函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5、已知为幂函数，且，则( )
A. B. C. D.
6、已知定义域为R的奇函数，满足，记，下列对描述正确的是( )
A.图象关于对称 B.图象关于对称
C. D.
7、定义：函数满足（，C为常数），则称为中心对称函数，已知中心对称函数在上的最大值和最小值分别为M，m，则( )
A.-2 B.-1 C.-3 D.2
8、设函数若存在最小值，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
9、已知函数对任意都有且的图像关于点对称，则( )
A.-3 B.0 C.3 D.6
10、已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11、已知幂函数的图象经过点,那么_____________
12、已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数a的取值范围为______.
13、已知函数，是定义在R上的偶函数，，若对任意，都有，对任意且，都有，则____________.
14、设函数，若函数存在最小值，则a的最大值为___________.
15、为不超过x的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______.
16、已知集合，集合，则___________.
三、解答题
17、已知函数，且，.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.
18、已知定义在R上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④对任意的，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
参考答案
1、答案：C
解析：令，则，可得，
所以，故.
故选：C.
2、答案：B
解析：幂函数满足形式，故，满足条件，共2个，
故选：B.
3、答案：B
解析：由题意知，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：B
4、答案：A
解析：由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.
故选：A.
5、答案：B
解析：因为为幂函数，
设，则，
所以，可得，则.
故选：B.
6、答案：C
解析：由，得，
，得，
所以，即，
即，所以关于直线对称，A，B选项错误；
又为奇函数，则，
所以，即，
所以，即，C选项正确；
因为，函数关于直线对称，周期为，所以不一定，D选项错误；
故选：C.
7、答案：D
解析：函数，令，则，
函数是R上的奇函数，而，依题意，，
又，所以.
故选：D.
8、答案：B
解析：若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B.
9、答案：B
解析：因为，
所以，
两式相减后得：，
故函数的周期，，
所以，
中，令得：，
的图像关于点对称，
所以的图象关于点对称，
又的定义域为R，
所以，
中，令得：，
所以，
因为为奇函数，
所以，所以，解得：，
所以，
则.
故选：B.
10、答案：A
解析：函数是上的减函数，
，解得.
故选：A.
11、答案：2
解析：解：设，幂函数的图象经过点，，，，那么.故答案为2.
12、答案：
解析：因为函数对任意的，有，设函数，
则，
所以函数为奇函数，
又函数在区间上单调递增，
则函数在R上单调递增，
，则，
即，解得，
故答案为：.
13、答案：2
解析：因函数是R上的偶函数，且任意，都有，
则当时，，即，有，
则是以6为周期的周期函数，，
又函数是R上的偶函数，且任意且，都有，
则对，，函数是以4为周期的周期函数，
，所以.
故答案为：2.
14、答案：4
解析：当时，函数单调递减，所以有，
当时，函数在上单调递增，此时，
因为存在最小值，
所以有，而，所以，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时当时，函数有最小值为，
因为存在最小值，
所以有，而，所以，
综上所述：，所以a的最大值为4，
故答案为：4.
15、答案：4
解析：因为函数，，的值域为，
所以b最大取到3，a最小取到-1，
所以的最大值为，
故答案为：4.
16、答案：
解析：由题意，，所以集合，
恒成立，所以集合，
所以.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）单调递增，证明见解析
解析：（1）由题意，得，即，
解得：，.故.
（2）方法一：在上单调递增.
证明：，且，则.
由，得，，，
所以，即.故在上单调递增.
方法二：在上单调递增.
证明：，且，则
.
由，得，，所以.故在上单调递增.
18、答案：（1）偶函数，证明见解析
（2）单调递增，证明见解析
解析：（1）为偶函数.证明：因为是定义在R上的奇函数，所以.
所以.又因为的定义域为R，所以函数为偶函数.
（2）在上单调递增.证明：由题意知，.
任取，且，
.
因为，
所以，
所以，
即，
所以在上单调递增.