2022-2023学年人教A版（2019 ）第四章 指数函数与对数函数 单元测试卷（含解析）

第四章 指数函数与对数函数 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、函数的定义域为( )
A. B. C. D.
2、当时，(且)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、已知，，，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
4、函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
5、已知，，，则( )
A. B. C. D.
6、某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过.若该溶质的半成品含杂质，且每过滤一次杂质含量减少，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤( )
A.5次 B.6次 C.7次 D.8次
7、二叉树（Binarytree）是计算机中数据结构的一种，是树形结构的一个重要类型，许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，形式如图，其中节点是包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息，树中所有节点的层次最大值称为树的高度，经实验验证，节点数与树的高度呈指数关系，二叉树的高度h与节点数x的关系为，若经测算，一个二叉树的节点大约有800个，则二叉树的高度约为（，，结果保留整数）( )
A.14 B.16 C.18 D.20
8、已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、经过政府加大投入，一座老城被改建为一座朝气蓬勃的新城市.2021年该市人口约为20万人，2022年该市人口约为30万人，假设今后该市人口每年以从2021年到2022年人口数的增长率进行增长.若从2021年开始年后该市人口首次超过200万人，则( )
参考数据：，.
A.5 B.6 C.7 D.8
10、函数，若方程有两个实根，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11、若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是___________.
12、牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用.（参考数据：，）
13、用二分法研究函数的零点，第一次经计算，，则第二次计算的的值为___.
14、已知是方程的根，若，，则__________.
15、函数的所有零点之和是________.
16、已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数m的值可以为______.
三、解答题
17、已知函数(，).
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，求关于x的不等式的解集；
（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.
18、已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数有且只有一个零点，求的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：由题意得，
解得且.
故选：B.
2、答案：B
解析：由题意可得当时，的图象位于图象的下方，所以在单调递增，所以为减函数，所以，即，所以，可得：.
故选：B.
3、答案：A
解析：，，，故A错误；
，，故B正确；
由，知，故C正确；
由，知，，故D正确.
故选A
4、答案：C
解析：由题意，函数，可得函数为单调递增函数，
可得，，，
，，
所以，所以函数的零点所在区间为.故选：C.
5、答案：D
解析：因为，
所以，
故选：D
6、答案：B
解析：设原有溶质的半成品为akg，含杂质1%akg，经过n次过滤，含杂质，要使该溶质经过n次过滤后杂质含量不超过0.1%，则，即，
因为，，所以，该溶质的半成品至少应过滤6次，才能达到市场要求.
故选：B.
7、答案：D
解析：两边取对数得：，
将代入上式得：.
故选：D.
8、答案：A
解析：由得：或，因函数，由解得，
因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，
观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
9、答案：B
解析：2021年到2022年人口数的增长率为，
故从2021年开始年后该市人口数为，
令，则，故，
所以，
故n的最小值为6，
故答案为：B.
10、答案：D
解析：当时，令，解得，此时有一个实数根，
由方程有两个实根可得当时，只有一个实数根，
可转化成，
因为当时，单调递减，且，
所以，
故选：D.
11、答案：
解析：解：令，则，
当时，是增函数，由在区间上为减函数，
则在上为减函数，故，即，解得；
当时，是减函数，由在区间上为减函数，
则在上为增函数，故，即，解得，
综上，a的取值范围是.
故答案为：.
12、答案：188
解析：设经过x个周期后细菌含量超标，
即，即，
所以，
而，因此经过188分钟就不宜再饮用.
故答案为：188.
13、答案：或-0.484375
解析：因为，所以第二次应计算，
所以，
故答案为：.
14、答案：2
解析：设函数，由于，都在单调递增，
故为上增函数，故函数在至多存在一个零点，
且，，所以，所以.
故答案为：2.
15、答案：
解析：由，则，
令，则，，，，，解得，则为函数的零点，故，
故答案为：.
16、答案：-3（答案不唯一）
解析：由于函数，
若在上单调递增，则，故，
由于，整理得，解得或，
故满足的条件m的取值范围为，
故m的值可以为：（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
17、
（1）答案：
解析：当时，，
故：，解得：，
故函数的定义域为；
（2）答案：
解析：由题意知，()，定义域为，
用定义法易知为上的增函数，
由，知：，.
（3）答案：
解析：设，，
设，，
故，，
故：，
又对任意实数恒成立，
故：.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
由，
得，
即，等价于，
解得：；
（2）解：函数有且只有一个零点，
方程有且只有一个实根，
由得，
，
化简得，
解得，，
当时，，
不符题意，舍去；
若是原方程的解，
则有，
即；
若是原方程的解，
则有，
即，
等价成，
解得：；
，有且只有一个符合题意，
.