2014年八年级数学下册第2章四边形教案(20课时）

梅田中学 数学教案八年级下册
第2章 四边形
§2.1 多边形
（第1课时）
教学目标：
经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识。探索多边形内角和公式，发展学生的说理和简单推理的意识及能力。通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神；
教学重点：
多边形的内角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算。
教学难点：
如何引导学生参与到探索多边形的内角和公式过程中，通过动手实践、观察分析、归纳总结得出多边形的内角和公式。
教具准备：多边形图片，课件。
教学过程：
创设情景，引入新课
二、知识点
我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成封闭的图形叫做多边形（po1ygon）。
组成多边形的各条线段叫作多边形的边.
相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.
多连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角．
例如在图2-2中，AB是边，E是顶点，BD是对角线，∠A是内角.
（本书今后所介绍的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁.）图2-2
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图中螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形。
2．活动一：探索四边形内角和。
问题一：三角形的内角和是多少度？正方形和长方形的内角和是多少？
问题二：任意四边形的内角和是多少？你是怎么得到的？有哪些方法？
把你的做法在草稿纸上用算式记下来（小组交流）。估计学生可能有方法：
方法1：测量法。量出每个内角度数然后相加为360°
方法2：拼图法。把四个角拼在一起刚好是一个周角360°
方法3：如图1，连结AC，四边形的内角和为2×180°=360°。
方法4：如图2，在四边形内任取一点E，连结EA、EB、EC、ED，则四边形内角和为4×180°-360°=360°。
D
A D A D A D A
B B E B C
C C B E C E
图1 图2 图3 图4
方法5：如图3，在BC上任取一点E，连结EA、ED，则四边形的内角和为
3×180°-180°=360°。
方法6：如图4，在四边形外任取一点E，连结EA、EB、EC、ED，则四边形的内角和为3×180°-180°=360°。
小结：综合后四种方法，其共同点是从同一个点出发和各顶点相连，把四边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决。
3．活动二：选择方法3探索五边形、六边形、七边形、n边形的内角和。学生分组活动，并完成下表：
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
一个顶点处对角线条数 0 1 2 3 4 …… n-3
分成三角形的个数 1 2 3 4 5 … n-2
多边形的内角和 180° 360° 540° 720° 900° … （n-2）×180°
观察：（1）表中三角形的个数与边数有怎样的关系？
（2）多边形内角和的度数与三角形的个数有怎样的关系？与边数又有怎样的关系？
通过师生共同分析归纳得到如下等式：
四边形内角和为360°=2×180°=（4-2）×180°
五边形内角和为540°=3×180°=（5-2）×180°
六边形内角和为720°=4×180°=（6-2）×180°
七边形内角和为900°=5×180°=（7-2）×180°
二、归纳总结：
由活动二总结得出，n边形的内角和为：（n-2）×180° (n≥3)。
三、例题讲解：
1、八边形的内角和是 度，十边形的内角和是 度。
2、如果一个多边形的内角和是1440度，求这个多边形的边数。
解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）· 180 = 1440
(n - 2) = 8
n = 10
答：这个多边形是十边形。
3、在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B﹕∠C﹕∠D = 3﹕4﹕ 5，求∠B，∠C，∠D的度数。
解：设∠B，∠C，∠D的度数分别是3x , 4x , 5x 度，由四边形的内角和等于360度可得：
120 + 3x + 4x + 5x = 360
12x = 240
x = 20
∴ 3x = 60
4x = 80
5x = 100
答：∠B，∠C，∠D的度数分别为60，80, 100度。
4、求下列图形中χ的值。
5、经过多边形的一个顶点共有8条对角线，这个多边形是 边形，共有 条对角线，内角和是 度。
四、课堂小结：
——谈谈你这节课的收获：
（1）这节课我们主要学习了多边形的内角和公式： (n－2）．180°。
（2）从多边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，n边形对角线的总条数为：
五、课后练习：
1、有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，剩下残余桌面所有的内角和是多少？
(5-2)×180 =540 (4-2)×180 =360 (3-2)×180 =180
2、一个多边形去掉一个角后得到多边形的内角和为2520°，求剩下多边形的内角和。
§2.1 多边形
（第2课时）
教学目标：
经历探索多边形外角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识。探索多边形内角和，发展学生的说理和简单推理的意识及能力。通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神；
教学重点：
多边形的外角和的探索、归纳及运用公式进行有关计算。
教学难点：
如何引导学生参与到探索多边形的外角和过程中，通过动手实践、观察分析、归纳总结得出多边形的外角和。
教具准备：多边形图片，课件。
教学过程：
知识回顾
1、多边形的内角和公式是：
2、十边形的内角和是 ；内角和是18000的多边形是 边形
二、新授
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。
在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和
探究1：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少
分析：考虑以下问题：
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系
联系这些问题，考虑外角和的求法。
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°。6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角。这些角的总和等于6×180°。
这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°。
探究2：如果将例2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗
思路：（用计算的方法）
设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，…180°－∠n。外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋…＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°
注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想。
由上面的探究可以得到：
多边形的外角和等于360°。
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°。
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°。
例2：一个多边形的内角和等于它外角和的 5 倍， 它是几边形？
解：设多边形的边数为 ｎ， 则它的内角和为（ｎ － 2）·180°
由题意得
（ｎ － 2）·180° ＝ 360° × 5，
解得：ｎ ＝12
因此这个多边形是十二边形．
三、练习巩固
P38练习 1、2、3
四、课堂小结
多边形的外角和等于360°。
五、作业布置
P39 习题2.1A组 1、2、3、4
§2.1 多边形练习题
（第3课时）
基础巩固题
一、填空题
1.如果一个多边形的内角和等于900°,那么这个多边形是_____边形.
2.一个正多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形边数是______.
3.n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为_______.
4.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_____度.
5.在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______.
6.用正方形和正十二边形以及正_____边形可以拼地板.
二、选择题
7.用下列一种正多边形可以拼地板的是( )
A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形
8.多边形每一个内角都等于120°,则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是( )
A.5条 B.4条 C.3 D.2条
9.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( )
10.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和是2570°,则这个角是( )
A.90° B.15° C.120° D.130°
11.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
12.n边形的边数增加一倍,它的内角和增加( )
A.180° B.360° C.(n-2).180° D.n.180°
三、解答题
13.六角螺母的一个面是正六边形,求它们每一个内角的度数.
14.一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形是几边形 它的每个内角是多少度
15.试用黑白两种相同的正三角形拼地板,请你设计两种效果图.
强化提高题
16.一个多边形的最大外角为85°,其他外角依次减少10°, 求这个多边形的边数.
17.已知:如图,五边形ABCDE中,AE∥CD,∠A=107°,∠B=121°,求∠C的度数.
18.已知一个多边形的内角和与外角和之比为9:2,求边数.
课外延伸题
19.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,作出∠B和∠D的平分线, 观察它们之间的关系,作出猜想并加以说明理由.
20.已知:过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,p边形有p 条对条线.求(m-p)n.
21.一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20°, 求这个正多边形的内角和.
中考模拟题
22.如果用正三角形与正六边形拼地板,有几种可能的情形 试画出草图.
23.已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°,求这个多边形的边数.
24.已知足球是由黑色的正五边形和白色的正六边形组成的,若黑块有12块, 即有12个正五边形,那么白色的正六边形共有几块
§2.2.1平行四边形的性质
（第4课时）
教学目标：
1 使学生了解四边形及与四边形有关的一些概念.
2 掌握平行四边形的概念和性质.
重点：平行四边形的性质的理解；
难点：平四边形性质的运用.
教学过程
一、回顾知识，导入新课
1 四边形的定义
（1）上面四边形有什么特点？（有四条边，四个顶点）
（2）什么叫四边形？
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
定义中为什么要强调：“同一平面内”？你知道原因吗？（交流）
如图（最好是用四只笔代替四条线段做成这个图形）中的四条线段是首尾相接的，但他们没有组成四边形.
（3）什么叫四边形的边、顶点、对角线、内角、对角、对边？
组成四边形的各条线段叫四边形的边.每相邻两边的公共端点叫四边形的顶点.连接不相邻两顶点的线段叫四边形的对角线.四边形相邻两边组成的角叫四边形的内角，简称角.相对的两个角叫对角.相对的边叫对边.
（概念不板书，只在图上标注出来，减少记忆负担.）
（4）怎样表示四边形？
用各个顶点的字母按顺序来表示，上图中的四边形可以表示为：四边形ABCD.
考考你：上面图形中，哪些角是对角？哪些边是对边？
（5）四边形的内角和与外角和分别是多少？为什么？
二、合作交流，探究新知
平行四边形的概念
做一做：请你把纸对折，在上面画一个三角形，并剪下来，这时你就有两个三角形了.你用这两个三角形拼四边形，看看能拼出多少种形状？
这些图形只有两种类型;一种是对边不平行的，另一种是两组对边分别平行的.（你知道平行的原因吗？）
我们把两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.记作： ABCD.读作：平行四边形ABCD.
考考你：如果四边形ABCD是平行四边形，则AB与CD，AD与BC的位置有怎样的关系？如果要判断四边形ABCD是平行四边形，需要判断四边形ABCD的对边具有什么特点呢？
(2)平行四边的性质
思考：①.平行四边形的对边除了相等之外，还有怎样的关系 说说你的理由
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥DC
∴∠1=∠3, ∠2=∠4,
又∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA
∴AB=CD,AD=BC
② 平行四边形的对角有什么关系？
∵△ABC≌△CDA，
∴∠B=∠D,
∵∠1=∠3, ∠2=∠4,
∴∠1+∠2=∠3+∠4,即：∠BAD=∠BCD
由此，我们可以得到平行四边形有什么性质？
平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等.
用式子表达为：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC,AD=BC, ∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD
三、应用迁移，巩固提高
例题1：P41如图2-14，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，AD=2cm, ∠A=650, ∠E =330,求EF和∠BGC
解: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2cm，∠1=∠A=65°.
∵四边形BCEF是平行四边形， 图2-14
∴EF=BC=2cm，∠2=∠E=33°.
∴在△BGC中，∠BGC=180°-∠1-∠2=82°.
例题2：如图，直线平行，AB、CD是之间的任意两条平行线，试问：AB与CD是否相等？为什么？
∵∥，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD
你能用一句话来表达这个结论吗？
夹在两条平行线间的平行线段相等.
考考你：上图中，若AB∥CD,AD∥BC,那么你能得到什么结论？
估计学生会想到：AB=CD,极有可能忽视，AD=BC.
四、课堂练习，巩固提高
P42练习： 1、2
补充
1、一块平行四边形的草地，其中草地的一条边为5m，相邻的另一边为7m，求这块平行四边形草地的周长.
2、 如图，在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF，
求证：（1）△ABE≌△CDF, (2) AF=CE
五、反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？
这节课的重点是平行四边形的概念和性质.利用平行四边形的概念可以判定一个四边形是平行四边形.
六、作业布置：
P49 习题2.2 A组 1、2
§2.2.1平行四边形的性质
（第5课时）
教学目标
掌握平行四边形的性质-----平行四边形的对角线互相平分.
教学重点、难点：
重点：平行四边形与对角线有关的性质
难点：平行四边形性的运用
教学过程
一创设情景，导入新课
1 复习：
（1）什么叫平行四边形？
有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
（2）怎样理解这个概念呢？
从概念知道：一方面，如果一个四边形是平行四边形那么这个四边形的对边一定平行.另一方面，要判断一个四边形是平行四边形，只要判定这个四边形的两组对边分别平行就可以了.
（3） 平行四边形有什么性质？
平行四边形的对边相等，对角相等.
（4）这个性质是利用什么道理得到的？
利用全等三角形的性质得到的
A ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥DC
∴∠1=∠3, ∠2=∠4,
又∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA
∴AB=CD,AD=BC
B ∵△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D,
∵∠1=∠3, ∠2=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4,即：∠BAD=∠BCD
平行四边形还有什么性质呢 这节课我们继续学习-----平行四边形的性质
二、合作交流,探究新知
1 平行四边形对角线具有的性质
探究活动:
（1）量一量P 72 图3-10中的线段OA、OC、OB、OD的长，并比较OA、OC、OB、OD的大小,由此你能得到什么结论？
估计学生会想到：①平行四边形的对角线互相平分,
②平行四边形的对角线的交点是每条对角线的中点.
③平行四边的对角线不一定相等.
（2）你知道平行四边形的对角线为什么互相平分吗？
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥DC
∴∠1=∠3, ∠2=∠4,
又∵AC=CA,
∴△ABC≌△CDA
∴OA=OC,OB=OD
(3)请你用语言把平行四边形的这条性质叙说出来.
平行四边形的对角线互相平分.
即：如果四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC，OB=OD.
三 应用迁移，巩固提高
例1如图：已知 ABCD的对角线AC和BC相交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC与F，求证：OE=OF.
先让学生独立做，做完后交流
估计学生会有下面做法：
第一种方法
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, OD=OB
∴∠1=∠2, ∵OF⊥AD,OE⊥BC, ∴∠OFD=∠OEB
∴△OFD≌△OEB, ∴OE=OF
第二种方法
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, OD=OB
∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4
∴△OFD≌△OEB, ∴OE=OF
请学生交流这两种做法是否正确？（找出第2种做法的错误：在没有证明点O,E,F在一条直线上时，是不能利用∠3=∠4的，因为还不知道这两个角是不是对顶角）
变式训练：
如图，一条直线经过 ABCD的对角线的交点O，与AD交于点F，与BC交于点E，（1）求证：OE=OF
（2）当这条直线绕点O旋转时，OE=OF吗？为什么？
例2 在 ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6,求AC=BD的值
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD=2OA,AC=2OB,
∵OA+OC=15-6=9,
∴AC+BD=2OA+2OB=2（OA+OB）=2 9=18
变式训练：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6,BD=10，CD=4.8.
试求△COD的周长.
三、课堂练习，巩固提高
P44 练习 1、2
四、反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获/
(1)平行四边形的性质--平行四边形的对角线互相平分.
五、作业布置：
P49 习题2.2 A组：3 B组 7
§2.2.2平行四边形的判定
（第6课时）
教学目标：
1 通过画图探索平行四边形的判别方法，通过对平行四边形判定方法的说理过程，培养学生的分析能力以及逻辑推理能力.
2 会利用一组对边的关系判定一个四边形是不是平行四边形.
重点、难点
重点：利用对角线的关系和一组对边的关系判定平行四边形.
难点：平行四边形判定方法的应用.
教学过程
一 创设情景，导入新课
1 复行四边形有哪些性质？
板书：
二 合作交流，探究新知
1 、考考你：只给你一块刻度尺，你能在算式格子上画出平行四边形吗？试试看.
请学生介绍方法：
画法：①在两条平行的格子上分别取线段AD=BC，
②连结AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD就是平行四边形.
这样画出的的四边形是一定是平行四边形吗？
这个问题就是：已知四边形ABCD中，AD=BC,AD∥BC,
那么四边形ABCD为什么是平行四边形？（交流讨论）
∵AD∥BC（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AC=CA(公共边)
∴△ADC≌△CBA(边角边)
∴∠3=∠4（全等三角形对应角相等）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
你能用一句话把上面的结论描述出来吗？
平行四边形的判定方法1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即：若AD=BC,AD∥BC，则 四边形ABCD是平行四边形.
三 应用迁移，巩固提高
1 平行四边形判定方法1一组对边的关系判定四边形是平行四边形的应用
例1 已知：如图，在 ABCD的边AB，DC上分别取一个点E,F，使得AE=AB，CF=CD，连结AF,CE.求证：（1）四边形AECF是平行四边形,（2）AF=CD
读题
发散思维：思考①由四边形ABCD是平行四边形你能得到什么结论？（对角线互相平分的四边形是平行四边形）②从AE=AB，CF=CD，你会得到什么结论？（AE=CF）③你认为用平行四边形那条判定方法判定四边形AECF是平行四边形最好呢？（用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
学生独立完成解题过程
（4）变式练习：如果连结BF，DE，四边形DEBF还是平行四边形吗？为什么？
四 课堂练习，巩固提高
1、练习P46 1
2、如图，AD∥BC,ED∥BF，且AF=CE,
求证：四边形ABCD是平行四边形.
五 反思小结，拓展提高 这几课你由什么收获？
平行四边形两个判定方法：
（1）利用两边关系：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（2）利用一组对边的关系：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
六 作业布置：P49习题2.2 A组 1、2、3
§2.2.2平行四边形的判定
（第7课时）
教学目标
1 使学生感受平行四边形的判定方法“有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的形成过程；
2 能综合运用平行四边形的判定方法和性质解决简单的推理问题，提高分析问题和解决问题的能力
重点、难点：
重点：“有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的形成过程和运用
难点：平行四边形的判定和性质的综合运用.
教学过程
一创设情景，导入新课
1 复习：
（1）平行四边形有什么性质？ 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.
（2）你学了哪些判定四边形是平行四边形的方法？
①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2 做一做
同桌的两位同学合作，将四只笔首尾相接，组成一个四边形.你能否拼成一个平行四边形？试试看.(有的同学能拼成平行四边形，有的同学不能)
为什么有的同学能拼成平行四边形，有的同学不能拼成平行四边形呢？
这节课我们继续学习----3.1.3 平行四边形判定（2）（板书课题）
二合作交流，探究新知
1 平行四边形的一个判定方法的形成过程
（1）交流结果：刚出有的同学能拼成的四边形是平行四边形，有的同学拼成的四边形不是平行四边形.这是为什么呢？请你们比较一下你拼成的四边形相对的两只笔的长度有什么关系？（有的同学四只笔是相等的，有的不是.）
（2）教师演示和分析：
我们发现有两只笔一样长的做对边，另两只笔也一样长做另一组对边拼成的四边形是平行四边形.
（3）大胆猜想：
从上面拼图和分析你发现了什么结论？
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
即：已知：如图AD=BC,AB=DC那么四边形ABCD为什么是平行四边形？
（4）证明结论
两组对边分别相等的四边形为什么是平行四边形呢？你能说明理由吗？
解：∵AD=BC,AB=DC(已知)，AC=CA(公共边)
∴△ABC≌△CDA(边边边)
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)
∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
（5）得出结论
有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
即：∵ AD=BC,AB=DC ∴ 四边形ABCD是平行四边形
2 平行四边形的判定方法归纳：
（1）思考：
①两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，说明理由，如果不是，画出图形.
②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，说明理由，如果不是，画出图形
（2）现在你学会了几种平行四边形的判定方法？
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
有两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
三 应用迁移，巩固提高
1 做一做
（1）把一张纸片连续对折四次，再画一个三角形，剪下来，这时你有四个全等的三角形了.你能有这四个全等三角形拼成一个大三角形吗？
方法：把四个三角形重合，先把一个三角形以AC为轴翻折再以AC的中垂线为对称轴作轴反射，得到△FAC，同样的方法得到△DAB, △EBC,这样的四个三角形就拼成了一个大三角形.
（2）图中有几个平行四边形？说明理由.
图中有三个平行四边形， FABC, ADBC, ABEC
理由：从拼图情况可以知道:
∵AB=CF,AF=BC, ∴四边形FABC是平行四边形.
同样的道理四边形ADBC, ABEC都是平行四边形.
2 正确选择平行四边形的判定方法解题.
例 如图，已知E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,且AF=CE，DF=BE，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形.
（1）独立思考
（2）交流解法
估计学生会想到下面方法：
方法1 证明△ADF≌△CBE,从而得出AD∥BC，AD=BC
利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形.
方法2 证明△DFC≌△AEB,从而得出DC∥AB,DC=AB. 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形.
四 课堂练习，巩固提高
P 46 练习2
五 反思小结，拓展提高
这节课你有何收获？
A 、平行四边形的判定方法：
①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
④两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B、平行四边形判定方法与性质有什么区别？
六、作业布置：
P 49习题2.2 A 组：4、5
§2.2.2平行四边形的判定
（第8课时）
教学目标：
1 通过画图探索平行四边形的判别方法，通过对平行四边形判定方法的说理过程，培养学生的分析能力以及逻辑推理能力.
2 会利用对角线的关系判定一个四边形是不是平行四边形.
重点、难点
重点：利用对角线的关系和一组对边的关系判定平行四边形.
难点：平行四边形判定方法的应用.
教学过程
一 创设情景，导入新课
1 复行四边形有哪些性质？
板书：
2 小明同学想用两根竹片做一个凉衣架，为了平行他需要做成平行四边形，如图所示，钉子应钉在哪里呢？（应钉在两根竹板的中点处）
钉在两根竹板的中点处就能得到平行四边形吗？这节课我们来学习 ----2.2.2 平行四边形的判定.（板书课题）
3、平行四边形学习了哪些判定？
二 合作交流，探究新知
1 利用对角线的关系判定平行四边形.
讨论上面问题：
上面问题其实是一个这样的数学问题：如图，已知：OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？
解：∵OA=OC,OB=OD,（已知） ∠AOD=∠BOC（对顶角相等） ,∴△AOD≌△BOC（边角边）
∴∠OAD=∠OCB,（全等三角形对应角相等）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.同理：AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
你能把上面的结论用语言表示吗？
平行四边形的判定方法1 ：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即：如果OA=OC,OB=OD，那么四边形ABCD是平行四边形.
考考你：给你一块刻度尺，能画一个平行四边形吗？
画法：（1）画线段AB,取线段AB的中点O.
(2) 过O画直线MN，在直线MN上取线段OB=OD.
（3）连结：AB,BC，CD，AD.
则四边形ABCD就是要画的四边形.
三 应用迁移，巩固提高
1 平行四边形判定方法1的应用
例1 已知：如图，在 ABCD的对角线AC上取两点E,F，使得点E和点F关于对角线是交点O对称，连结EB，FB，FD，求证：四边形EBFD是平行四边形.
(1)读题，
（2）发散思维:问：①从点E和点F关于对角线是交点O对称，你可以得到什么结论？（OE=OF）依据是什么？②由四边形ABCD是平行四边形你会得到什么结论？（对边相等,对角相等,对角线互相平分）
③利用什么方法来判定四边形DEBF是平行四边形最简单呢？（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
（3）学生完成解题过程.
（4）变式练习：如果连结BF，DE，四边形DEBF还是平行四边形吗？为什么？
四 课堂练习，巩固提高
1、练习 P48 1、2
补充：
①已知：如图，把△ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，
连结EB，EC，求证：四边形ABEC是平行四边形.
②如图，AD∥BC,ED∥BF，且AF=CE,
求证：四边形ABCD是平行四边形.
五 反思小结，拓展提高 这几课你由什么收获？
平行四边形四个判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（3）利用两组对边相等的四边形是平行四边形。
（4）利用对角线的关系：对角线互相平分的四边形是平行四边形,
六 作业布置：
P 50 习题A组6 B组7、10
平行四边形的识别同步练习
（满分100分，45分钟完卷）
（第9、10课时）
一、判断题(每题2分，共16分)
1．一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形一定是平行四边形。(
2．四边形ABCD中，如果AB＝BC，CD＝AD，那么四边形ABCD是平行四边形( )
3．在四边形中，有一组对边平行，还有一组对角相等，那么它是平行四边形(
4．在四边形中，有一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形(
5．对角线相等的四边形是平行四边形( )
6．有两组对角分别相等的四边形一定是平行四边形( )
7．四个角都相等的四边形一定是平行四边形( )
8．一条对角线经过另一条对角线的中点，那么这个四边形是平行四边形(
二、填空题（每题4分，共32分）
1．如图，AD∥BC，要判断四边形一定是平行四边形，应增加一个条件是
2．如图，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若AB＝6cm，则EF＝ cm
3．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，要判断这个四边形是平行四边形，则应找 ＝ ， ＝
4．在四边形ABCD中，AC是对角线，若∠DAC＝∠BCA，∠DCA＝∠BAC，且∠D＝60°，则∠B＝
5．如图，在ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图中的平行四边形共有 个，其中SABHG∶SABCD＝
6．E是△ABC的中线BD上任意一点，延长BE到F，使DF＝ED，则四边形AECF是
7．平行四边形的对角线长分别是10、16，则它的边长x的取值范围是
8．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到F，使EF＝DE，若AB＝10，BC＝8，则四边形BCFD的周长是
三、选择题（每题4分，共12分）
1．四边形ABCD中，AD∥BC，要判定四边形ABCD是平行四边形，还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
2．用两个不等边的同样大小的三角形按不同的方法拼成四边形，在这些四边形中，平行四边形有( )
A．1个 B．3个 C．6个 D．无数个
3．下列说法正确的是( )
A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
D．两条对角线的中点同为一点的四边形是平行四边形
四、解答题（每题15分，共30分）
1如图，△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，PE∥AC，
PF∥AB，试说明PE＋PF＝AB
2．如图，△ABC中，AB＝AC，E是AB上一点，以点E为圆心，EB为半径画弧交BC于点D，连结ED，并延长ED到F，使EF＝AB，连结FC，问∠F和∠A是否相等？为什么？
五（10分）在四边形ABCD中，AD∥BC，且ADBC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1 cm/S的速度由A向D运动，Q以2cm/S的速度由C向B运动，问几秒时，四边形ABQP是平行四边形？
§2.3中心对称和中心对称图形
（第11课时）
教学目标
了解中线对称的概念.
教学重点、难点：
重点：理解中心对称的概念.
难点：运用中心对称的概念
教学过程
一、创设情景，新课
如图 2-30， 在平面内， 将△OAB 绕点 O 旋转180°， 所得到的像是△OCD.
从这个例子我们引出下述概念：
图 2-30 图 2-31
在平面内，把一个图形上的每一个点 P 对应到它在绕点 O 旋转180°下的像 P′，这个变换称为关于点 O 中心对称 （central symmetry）
如图 2-31，在平面内，把点 E 绕点 O 旋转180°，得到点 F，此时称点 E
和点 F 关于点 O 对称，也称点 E和点 F 是一对对应点. 由于点E，O，F在一条直线上，且OE ＝OF，因此点O是线段EF的中点.反之，如果点O是线段EF的中点，那么点E和点F关于点 O 对称.
在平面内，如果一个图形 G 绕点 O 旋转 180°，得到的像与另一个图形 G′
重合，那么称这两个图形关于点 O 中心对称，点O叫作对称中心.此时，图形G上每一个点E与它在图形 G′上的对应点F关于点O对称，从而点 O是线段EF的中点.
由此得到下述性质：
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
二 应用迁移
例：如图 2 -32已知△ABC和点 O，求作一个△A′B′C′，使它与△ABC关于点 O 成中心对称.
作法：
（1）连接 AO 并延长 AO 到 A′， 使 OA′ = OA，于是得到点 A 关于点 O 的对应点 A′.
（2） 用同样的方法作出点 B 和 C 关于点 O 的对应点B′和 C
（3） 连接 A′B′， B′C′， C′A′.
则△A′B′C′即为所求作的三角形， 如图 2-33.
三、 课堂练习
练习 P52 1、2、3
四、 反思小结
本节课主要掌握中心对称的概念及应用
五、 作业布置：
P54 习题2.3 A组1
P77 复习题2 A组5
§2.3中心对称和中心对称图形
（第12课时）
教学目标
1、 进一步了解中心对称图形的概念，会识别一个图形是不是中心对称图形；
2、 了解中心对称图形的性质.
3、 通过生活中的中心对称图形，让学生感受几何美，激发学习数学的热情.
重点：中心对称图形的识别和性质
难点：中心对称图形的识别。
教学过程
一创设情景，导入新课
1 复行四边形有什么性质？
（1）平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。
（2）平行四边形是中心对称图形。对角线的交点是它的对称中心。
2 什么叫中心对称图形？
把一个图形G绕着某一点旋转1800，如果它得到的像与原来的图形G重合，那么图形G叫做中心对称图形,点O叫对称中心。
3 欣赏下面中心对称图形：
这些图案美吗？（美极了）
中心对称图形能给人以美的享受，那么中心对称图形有什么性质呢？怎样识别一个图形是不是中心对称对称图形？这节课我们继续学习--2.3中心对称图形（板书）
二 合作交流，探究新知
1 中心对称图形的识别
观察P75图形：
（1）下图中的三个“风车”，哪个是中心对称图形？哪个不是中心对称图形？
（2） 下图中的（1）、（2）、（3）分别是三块桌布的中间图案，哪个是中心对称图形？哪个不是中心对称图形？
你根据什么来判定一个图形是不是中心对称图形？
根据定义，把一个图形绕某点旋转180 ，如果能和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。
2 中心对称图形的性质
（1）我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，现在擦掉大部分，只留下点D和点O,你能找到点B吗？
连结DO，并延长DO到B使OB=OD,则B就是要求的点。
你怎么想到这样作呢？
ABCD绕点O旋转180 后，点B的像是点D，点D的像是点B，线段OB的像是OD，线段OD的像是OB。∠BOD=180
因此B、O、D三点在一条直线上。
（2）在平面内把点D绕点O旋转180 后得到点B,此时称点D和点B关于点O对称。也称点D和点B在这个对称下的一对对应点。
（3）如果点D和点B关于点O称中心对称，你能得到什么？
估计学生知道：点B、D、O在一直线上。点O是BD的中点。
（4）如图，已知圆上有两个个点A、C、点A和点C关于圆心对称，你能用找到圆心吗？
估计学生会想到：连结AB，取AB的中的O，则点O就是圆心。
你怎么想到这样作呢？
因为圆是中心对称图形，圆心是对称中心，而点A、C是对应点，它的中点是对称中心即圆心。
（5）通过上面问题，你能说说中心对称图形有什么性质吗？
中心对称图形上，每一对对应点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。
三 应用迁移，巩固提高
1、 中心对称图形的识别
P53 说一说
字母Z,X,N是中心对称图形。
2、补充：①等边三角形是中心对称图形吗？如果是请指出对称中心。
估计有些学生会认为等边三角形是中心对称图形，两条角平分线的交点是对称中心。教师可以作一个模型演示给学生看。
②在一次游戏当中，小明将下面上图的四张扑克牌中的一张旋转180 后，得到下图图，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？
3、中心对称图形在证明问题中的应用
已知:如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F。
求证：OE=OF
解： ∵平行四边形是中心对称图形，O是对称中心，EF经过点O，分别交AB、CD于E、F。
∴点E、F是关于点O的对称点。∴OE=OF
四 课堂练习，巩固提高
P54 练习1、2
练习P54 2题 图（1）图（2）是中心对称图形。
认识线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点。
让学生知道正多边形中变数为偶数的是中心对称图形，对称中心由两条对角线的交点确定。
五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？
中心对称图形的性质：中心对称图形上，每一对对应点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。
六、作业布置
P54 习题2.3 A组2 B组3、4
§2.4三角形的中位线
（第13课时）
教学目标
1了解三角形的中位线的概念.
2探索三角形的中位线的性质，通过探索活动培养学生细心操作、大胆猜想、严格推理的好习惯.
3 会利用三角形中位线性质解决实际问题.并由此让学生感受数学的应用价值，从而提高学习数学的热情.
教学重点、难点：
重点：三角形中位线的性质及运用. 难点：三角形中位线性质的运用.
一 创设情景，导入新课
1 （1）什么叫中心对称图形？中心对称图形有什么性质？
把一个图形G绕点O旋转180 能和原来的图形重合，这个图形叫中心对称图形.
中心对称图形上一对对应点的连线段必过中心，且被中心平分.
（2）如图，平行四边形ADBC是中心对称图形吗？如果是，对称中心在哪里？
（3）如果AC的中点为F，则F的像在哪里呢？F、F的像以及点E是否在一条直线上.为什么？
2 五一放假的时候，小明和小亮去乡下老家玩，发现村头有一水塘，于是小许拿一根皮尺去测量这水塘两端点A、B之间的距离．可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了，拉不到B处，怎样才能既测出AB间的距离？小明和小亮商量了一会，他们不愧是数学高手，有办法了？你知道是什么办法吗？
我们先来学习-----2.4三角形的中位线（板书课题）
二 合作交流，探究新知
1 三角形中位线概念
（1）如上图，连结△ABC的两条边AB、AC的中点的连线段EF叫三角形的中位线.你能说说什么叫三角形的中位线吗？
连结三角形两条边中点的线段叫三角形的中位线.
（2）一个三角形有几条中位线？
（3）三角形的中位线与三角形的中线相同吗？
2 三角形中位线的性质
探究：
量一量，上图中中位线EF和边BC的长.它们有什么关系？
用三角板和直尺把边直线BC平移，看看能否和直线EF重合？
你发现了什么？
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
推理：已知：如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证：EF∥BC，EF=BC.
交流讨论：
估计学生会想到下面方法：
方法1 把△ABC绕点E旋转180 .则点A的像是点B，点B的像是点A，点C的像是点D，设点F的像是点H,H、F必经过点E,连结,AD、BD、EF、CD，则EF=EH=HF
∵CE=DE, AE=EB,
∴四边形ADBC是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴AC∥DB, AC=DB (平行四边形的对边分别平行且相等)
∵HB=DB,FC=AC
∴HB=FC ∴四边形HBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
∴HF=BC，（平行四边形的对边相等）
∴EF=BC
方法2
过点C作AB的平行线交EF的延长线于D
∵CD∥AB，(所作)
∴∠A=∠ACD（两线平行，内错角相等）
又AF=FC，∠AFE=∠CFD
∴△AFE≌△CFD (ASA)
∴ AE=CD(全等三角形的对应边相等)
又AE=EB(已知)，
∴BE=CD(等量代换)
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）方法3 ：
如图，延长EF到D使FD=EF,连接AD、EC、CD.
∵AF=FC ,EF=FD,
∴四边形AECD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∴AE=CD=BE，AB∥CD
∴四边形EBCD是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴ED=BC(平行四边形的对边相等)
∴EF=ED=BC.
(4) 形成结论：三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
即：∵EF是△ABC的中位线，∴EF=BC.
三应用迁移，巩固提高
1 实际运用
导入新课问题2
解：如图，小明和小亮取点C连结CB，CA，找到CA，CB的中点D，E，量出DE的长，就知道了AB的长.
这是因为DE是△ABC的中位线，所以AB=2DE
2几何中的运用
例 顺次连结四边形ABCD各边中点E，F,H,M，得到四边形EFHM是平行四边形吗？为什么？
解：连结AC，
∵MH是△DAC的中位线，
∴MH∥AC，MH=AC（三角形的中位线性质）
同理：EF∥AC，EF=AC
∴四边形EFHM是平行四边形(有一组对边平行是四边形是平行四边形)
四 课堂练习，巩固提高
P56 练习 1、2
五 反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
三角形中位线和三角形中线的概念别弄错了.
三角形中位线的性质.
六、作业布置：
P 57 习题 A组：1、2、3
§2.5 矩形
§2.5.1 矩形的性质
（第14课时）
教学目标：
知识与技能目标：
1．掌握矩形的概念、性质和判别条件.
2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力.
过程与方法目标：
1．经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.
2．知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化归思想.
情感与态度目标：
1．在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神.
2．通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美.
教学重点：矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握.
教学难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用.
教学方法： 分析启发法
教具准备：像框，平行四边形框架教具，多媒体课件.
教学过程设计：
一. 情境导入： 演示平行四边形活动框架，引入课题.
二． 讲授新课：
1. 归纳矩形的定义：
问题：从上面的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？（学生思考、回答.）
结论：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.也称为长方形。
2．探究矩形的性质：
（1）. 问题：像框除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质？（学生思考、回答.） 结论：矩形的四个角都是直角.
（2）. 探索矩形对角线的性质：
让学生进行如下操作后，思考以下问题：（幻灯片展示）
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
①. 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
②.当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
③.当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？
（学生操作，思考、交流、归纳.）
结论：矩形的两条对角线相等.
（3）. 议一议：（展示问题，引导学生讨论 解决.）
①. 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由.
②. 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？
（4）. 归纳矩形的性质：（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”.）
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等；
矩形的对角线互相平分；
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴。
例1如图2 -43， 矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC = 4 cm，
∠AOB = 60°. 求BC的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA = OB =AC=2cm
又 ∠AOB = 60°，
∵△AOB 是等边三角形，
∴AB = OA = 2 cm
∵∠ABC = 90°，
∴在 Rt△ABC 中， BC = = = 2（cm）
例2（性质的运用，渗透矩形对角线的“化归”功能.）
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，
AB=OA=4厘米.求BD与AD的长.
（引导学生分析、解答.）
探索矩形的判别条件：（由修理桌子引出）
（1）. 想一想：（学生讨论、交流、共同学习）
对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？
结论：对角线相等的平行四边形是矩形.
（理由可由师生共同分析，然后用幻灯片展示完整过程.）
（2）. 归纳矩形的判别方法：（引导学生归纳）
有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
三．课堂练习：（出示P60练习1、2，学生思考、解答.）
四．新课小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？
（师生共同从知识与思想方法两方面小结.）
五．作业设计：P63习题2.5A组 1.
板书设计:
4. 矩 形
矩形的定义：矩形的性质： 前面知识的小系统图示： 三.矩形的判别条件： 例1
课后反思：在平行四边形及菱形的教学后。学生已经学会自主探索的方法，自己动手猜想验证一些矩形的特殊性质。一些相关矩形的计算也学会应用转化为直角三角形的方法来解决。总的看来这节课学生掌握的还不错。当然合情推理的能力要慢慢的熟练。不可能一下就掌握熟练。
§2.5.2 矩形的判定
（第15课时）
教学目标
1 使学生掌握矩形的判定方法，及解决简单的几何问题。
2、会用这些定理进行有关的论证和计算；
3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。
教学重点：矩形的判定方法。
教学难点：定理的证明方法及运用。
教学过程
一 创设情景，导入新课
1 复习：
什么叫矩形？矩形和平行四边形对比，共同的性质是什么？矩形独特的性质是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形和平行四边形共同的性质是：对边平行、对角相等，对角线互相平分。
矩形独特的性质是：矩形的对角线相等，矩形是四个角是直角。
怎样判断一个四边形是矩形？
一个角是直角的平行四边形是矩形
二 合作交流，探究新知
1、探讨：矩形的四个角是直角， 那么， 四个角是直角的四边形是矩形吗？ 三个角是直角呢？ 两个角是直角呢？
如图 2-46， 四边形 ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”， 因此 AB∥DC， AD∥BC， 从而四边形 ABCD 是平行四边形. 所以∴ ABCD 是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.
三个角是直角的四边形， 容易知道另一个角也是直角，
由此得到：三个角是直角的四边形是矩形.
图2-46
2、从 “矩形的两条对角线相等且互相平分” 这一性质受到启发， 你能画出一个对角线长度为 4 cm 的矩形吗？ 这样的矩形有多少个？
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？
如图 2-47， 由画法可知， 四边形ABCD的两条对角线互相平分， 因此它是平行四边形， 又已知其对角线相等， 上述问题抽象出来就是： 对角线相等的平行四边形是矩形吗？
进行证明.
在 ABCD 中， 由于AB = DC， AC = DB， BC = CB，
∴△ABC ≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
又∵∠ABC + ∠DCB = 180°，
∴∠ABC = 90°.
∴ ABCD 是矩形.
由此得到矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形
三 应用迁移，巩固提高
如图 2-48， 在 ABCD 中， 它的两条对角线相交于点 O.
（1） 如果 ABCD 是矩形， 试问： △OBC 是什么样的三角形？
（2） 如果△OBC 是等腰三角形， 其中 OB = OC， 那么ABCD 是矩形吗？
解（1）∵ ABCD 是矩形，
∴AC 与 DB 相等且互相平分.
∴OB =DB =AC = OC.
∴△OBC 是等腰三角形. 图2-48
∵△OBC是等腰三角形， 其中 OB = OC，
∴AC = 2 OC = 2 OB = BD.
∴ ABCD 是矩形.
四 课堂练习，巩固提高
练习P63 1、2
补充：
矩形ABCD的两条对称轴为EF，MN，其中E、F、M、N分别在AB、DC、AD、BC上，连结ME,EN,NF,FM,AB= cm,BC= cm,则四边形ENFM的周长和面积各是多少？
五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？
矩形的性质：（1）与平行四边形相同的性质有哪些？独特的有哪些？
（2）矩形具有哪些对称性？
矩形的判定：如果一个四边形是平行四边形，怎样判定它是矩形？
如果一个四边形的对角线互相垂直，或者邻边相等。怎样判定它是矩形，
六 作业布置：
P63 习题2.5 A组 2、3、4
§2.6菱形
§2.6.2菱形的性质
（第16课时）
教学目标：
知识与技能：了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；掌握菱形的性质，并能运用菱形的性质进行简单的计算；了解菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。
过程与方法：经历探索菱形的性质的过程，在操作活动和观察与分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会推理论证的基本方法。
情感、态度与价值观：通过对菱形与平行四边形关系的探讨，体会集合的思想，培养学生的观察能力和学习兴趣，并从中认识菱形的图形美。
重点：菱形的概念及性质。 难点：菱形的性质及应用。
教学过程：
创设问题情景，导入新课
课件展示两幅图片（中国结、建筑物），引导学生欣赏、观察、研究、发现，引入课题——菱形。
2、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
3、菱形与平行四边形的关系比较。（学生发言分析）
4、你还能举出有关菱形的生活实例吗？
二、观察分析，合作探究
你能说出平行四边形具有哪些性质吗？你认为菱形具有这些性质吗？（学生交流讨论回答）
师生共同整理：①、菱形的对边相等,对角相等,对角线互相平分；
②、菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心。
菱形是有一组邻边相等的特殊的平行四边形，它有没有不同于平行四边形的特殊性质呢？
（1）、学生动手操作：画出并裁剪一个菱形，然后折叠，感受菱形的轴对称性。
（2）、学生合作讨论：菱形的四边之间有何关系？菱形的两条对角线还有什么特点？你能说出理由吗？
（3）、老师折纸，师生共同分析。
（4）、展示推理过程和结论。
③、菱形的四边都相等；
④、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；
⑤、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
菱形的面积的求法：（课件展示）如图，菱形ABCD被它的两条对角线分成四个直角三角形，它们全等吗？为什么？如果知道了菱形ABCD的两条对角线的长度，你能算出菱形ABCD的面积吗？（让学生思考交流）然后师生共同分析并展示推演过程。并一起总结结论：
菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。
三、实际应用，巩固新知
展示书中例1：学生思考回答，然后展示解答过程。
如图 2-51， 菱形 ABCD 的两条对角线 AC， BD的长度分别为 4 cm， 3 cm， 求菱形 ABCD 的面积和周长.
解： 菱形 ABCD 的面积为
S=× 4 × 3 = 6 （cm2）.
在 Rt△ABO 中，
OA = AC =× 4 = 2 （cm）， OB = BD =× 3 = 1.5 （cm），
所以， AB = = = = 2.5 （cm）.
因此， 菱形 ABCD 的周长为 2.5 × 4 = 10 （cm）.
学生独立完成书P67练习，师生一起订正。
四、归纳小结，教学反思：
1、你对菱形知多少？请你谈一谈。
从概念上来谈——
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
从性质上来谈——
①、菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心;
②、菱形的对边相等,对角相等,对角线互相平分.
③、菱形的四边都相等；
④、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；
⑤、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
从计算上来谈——
菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。即：设菱形的两对角线长分别为a，b，则它的面积S=ab.
五、作业布置：
1、P70 习题2.6 A组 1、2
2、操作题：你能把有一个内角为72°的菱形ABCD分成4个等腰三角形。
§2.6.2菱形判定（1）
（第17课时）
教学目的：
1、理解并掌握菱形的定义及性质；会判定一个四边形或平行四边形是菱形；
2、会用这些定理进行有关的论证和计算；
3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。
教学重点：菱形的判定方法。 教学难点：定理的证明方法及运用。
教学程序
一、复习提问：
1．什么样的平行四边形是菱形？
2．菱形有什么性质？
3．有哪几个方法来判定一个四边形是矩形？
二．新课讲解
设问：
（1）菱形的定义能否作为菱形的判定？有哪两个条件？
（2）有什么方法来判定一个四边形是菱形？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，
求证：平行四边形ABCD是菱形。
分析：我们可根据定义来证明这个四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90 及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD，得平行四边形ABCD是菱形。（I板书证明过程。）
四边相等的四边形的菱形。
设问：如何证明这个命题呢？（让学生思考并证明）
几何证言表达：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形。
小结：菱形判定方法，填写下表。
应具备两个条件
菱形的定义
菱形判定方法一（定义）
判定方法1
判定方法2
练习：
P70 练习 1、2
补充
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
（2）对角线互相平分的四边形是菱形。（ ）
（3）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形。
（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
综合应用练习
如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
设问：菱形除了用平行四边形的方法求面积外，还有没有其它办法呢？（简间写出推理的过程。）
菱形的面积公式：
例题讲解：（补充例题）分析解题过程并板书。
如图 2-54，在四边形 ABCD 中，线段 BD垂直平分 AC，且相交于点 O，∠1 = ∠2.
求证： 四边形 ABCD 是菱形
证明：∵线段 BD 垂直平分 AC，
∴BA＝ BC，DA＝ DC， OA ＝ OC.
在△AOB 和△COD 中，
∵∠1 = ∠2， ∠AOB ＝ ∠COD， OA＝ OC，
∴△AOB ≌△COD
∴AB = CD.
∴AB = BC = CD = DA.
∴四边形 ABCD 是菱形 （四条边都相等的四边形是菱形）.
三．本课小结：
填写下表。矩形、菱形各具有哪些性质和判定？填写下表、填图
矩 形 菱 形
性 质
判 定
四．作业布置
P71 习题 A组 3、4、5
§2.7 正方形(1)
（第18课时）
教学目标:：
能说出正方形的定义和性质。会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算。
通过一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系。
在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情。
教学重点：正方形的定义和性质。
教学难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题。
教学过程：
创设问题情境，搭建研究平台
在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已学了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，同学们能说出它的哪些性质？
正方形四条边相等；正方形四个角是直角；正方形的面积等于边长的平方；正方形是轴对称图形，也是中心称图形。
生活中有很多地方用到正方形，我们感到正方形很熟悉，但对已学过的平行四边形，矩形、菱形比较，对正方形还没有深入地研究，同学们不想知道它其中的奥妙吗？
讲授新课
把平行四边形的一个角变成直角，再移动一条短边，让一组邻边相等，此时平行四边形变成一个正方形的变化的全过程；同时再展现先移动一条短边，截成一组邻边相等的平行四边形，而把一个角变成直角，此时平行四边形变成正方形。
请同学们给出正方形的定义：
一组邻边相等的矩形叫做正方形；一个角为直角的菱形叫做正方形；一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形叫正方形。
我们从它的定义可以发现，正方形是特殊的矩形，即邻边相等的矩形；也是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形；而矩形、菱形又是特殊的平行四边形，所以正方形也是特殊的平行四边形，即一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形。
做一做：把一个长方形纸片如图那样折一下，即可折出一个正方形纸片。请你说明其中的道理。
学生活动：通过折叠裁剪，得出正方形，并观察其图形特征，明白制作原理：邻边相等的矩形是正方形。
类比平行四边形、矩形、菱形、的性质我们来研究正方形的性质，可以从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结。
学生活动：（讨论后发现）
边：正方形四条边都相等；对边平行；
角：正方形四个角都是直角；
对角线：正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
由此发现正方形的性质概括了平行四边形、矩形、菱形关于边、角、对角线的全部性质。
在利用这些性质解决问题时，要根据需要选择相应的结论，做到“对症下药”。
应用举例：
例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
师生共析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形。
已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相互交于点O。
求证：△ABO.△BCO.△CDO.△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC﹦BD,AC⊥BD
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴△ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三角形.
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 。
拓展讨论：1、图中有多少个等腰直角三角形。
正方形ABCD有多少条对称轴？请分别写出这些对称轴。
解析：图中共有八个等腰直角三角形，它们分别是△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABD、△BCD、△ABC、△ADC。且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO；△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC。
连接正方形对边中点的连线是对称轴，这样的对称轴有两条；两条对角线也分别是正方形的对称轴，所以正方形共有四条对称轴。这进一步体现了它既有矩形的性质，同时也具有菱形的性质。
补充题：已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F。
求证：DECF是正方形。
证明：DE⊥AC ∠DEC=90°
DF⊥BC ∠DFC=90° 四边形DECF是矩形
∠ACB=90°
CD平分∠ACB
DE⊥AC DE=DF
DF⊥BC
四边形DECF是正方形
随堂练习 课本 P74练习1
课时小结
图 形性 质 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
课后作业
P74 习题2.7 1
§2.7 正方形(2)
（第19课时）
教学目标:：
知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。
经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法。
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。
教学重点：掌握正方形的判定条件。
教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。
教学过程：
创设问题情景，引入新课
我们学行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。
1、怎样判断一个四边形是矩形？
2、怎样判断一个四边形是菱形？
3、怎样判断一个四边形是平行四边形？
4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、讲授新课
1、探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。
（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
归纳：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
2、正方形判定条件的应用
例1判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。
四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
师生共析：
是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。
真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。
假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形。
假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形。
真命题。
方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。
方法二，对角线平分 平行四边形
对角线垂直
平行四边形
对角线相等
方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。
总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。
例2如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。
师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。
像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。
解：将△ADF旋转到△ABC，
则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
例3画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。
画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。
2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。
3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA.
则四边形ABCD就是所要画的正方形.
证明：∵AO=CO,BO=DO
四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形。
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形。
∴四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。
说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识.
三、随堂练习 课本P74 练习2。
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。
四、课时小结
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。
课后作业
P74习题2.7A组 2、 B组 3
补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB
解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
　　　∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
证明：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB.
　∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.
　∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.
　又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.
　∴ △AEF≌△AEH.
练习课
（第20课时）
驻足“双基”
1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．
3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
4．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．
提升“学力”
6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．
聚焦“中考”
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
8题图 7题图
8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？
9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
答案:1．2+2-1 2．112.5° 3．A 4．B
5．提示：证△ADM≌△AKB 6．不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果
7．（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）
8． 9．叙述有道理即可．
三角形
长方形
正方形
内角和是180
内角和是360
内角和是360
对角线公式：
D
C
A
A
B
C
D
F
E
135°
150°
80°
χ
B
χ
140°
χ
n(n－3）
2
A
B
C
D
O
C
B
）72°
D
A
菱 形
正方形
矩 形
第 60页