第3章图形与坐标教案（7课时）

梅田中学 数学教案八年级下册
第3章 图形与坐标
§3.1 平面直角坐标系（1）
（第1课时）
教学目标:
1、知识目标:认识平面直角坐标系，知道点的坐标及象限的含义。
2、能力目标:能够在给定的直角坐标系中，根据点的坐标指出点的位置，会由点的位置写出点的坐标。
3、情感目标:经历画坐标系，由点找坐标等过程，让学生进一步感受“数形结合”的数学思想，感受“类比”和“坐标”的思想，体验将实际问题数学化的过程与方法。
教学重点:平面直角坐标系
教学难点:确定点的坐标
教学过程:
一、复习铺垫
1、什么是数轴？
2、数轴上的点与_______实数一一对应。
3、写出数轴上A、B、C各点的坐标。
　　　　
　　
二、探究活动
1、想一想：在教室里怎样确定李亮同学的位置？
2、上电影院看电影，电影票上至少要有几个数字才能确定你的位置？
想一想：
1、小亮是怎样描述他的位置的？
2、小亮可以省去“第 组”和“第 排”这几个字吗？
三、接受新知
平面上有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
水平方向的数轴称为x轴或横轴，竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，它们统称坐标轴。
公共原点O称为坐标原点。
四、确定点的位置
1、若平面内有一点P（如图），我们应该如何确定它的位置？
（过点P分别作x、y轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一对有序实数，即为点P的坐标，可表示为P（a，b））
2、若已知点Q的坐标为（m，n），该如何确定点P的位置？
（分别过x、y轴上表示m、n的点作x、y轴的垂线，两线的交点即为点Q）
例：分别在平面内确定点M(-4,5)、P(4,2)的位置，并确定点A、B、C、D、O的坐标。
在建立了平面直角坐标系后， 平面上的点与有序实数对一一对应
在平面直角坐标系中， 两条坐标轴（即横轴和
纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ， Ⅱ， Ⅲ， Ⅳ
四个区域， 我们把这四个区域分别称为第一， 二，
三， 四象限， 坐标轴上的点不属于任何一个象限.
想一想， 原点 O 的坐标是什么？ x 轴和 y 轴上
的点的坐标有什么特征？
五、例题讲解
P85 例题1
P85 例题2
试说出平面直角坐标系中四个象限的点的坐标有什么特征， 并填写下表：
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
在第一象限
在第二象限
在第三象限
在第四象限
六、练习：（判断：）
1、对于坐标平面内的任一点，都有唯 一的一对有序实数与它对应.（ 　）
2、在直角坐标系内，原点的坐标是0.（ 　）　
七、课堂小结：
今天我们学到了什么？
1、怎样建立坐标系？
2、怎样确定点的位置？
3、不同位置的点的坐标的特征。
八、作业：分别在坐标系中描出下列各点的位置：
A（－3,4）、B（5，－4）、C（－6，－3）、D（－4，２）
“坐标之父”——笛卡尔介绍
法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔(1596—1650)，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国外避难。他的著作生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“禁书目录”。但在今天，法国首都巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。
　　笛卡尔的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。《几何学》是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案. 他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方
法论》一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。在《几何》中，笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，指出：希腊人的几何过于抽象，而且过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此创立了解析几何。所以说笛卡尔是解析几何的创始人。
　　笛卡尔一生作出了多方面的贡献，他在1634年写的《宇宙学》，包含当时被教会视为“异端”的观点：他提出地球自转和宇宙无限；他提的漩涡说是当时最权威的太阳起源理论；他还提出了光的本性是粒子流的假说，并认为在广袤无垠的太空中存在着极其精细的以太。直到二三百年以后，笛卡尔的这些观点仍具有很高的研究价值。
　　笛卡尔出生于法国拉哈的律师家庭，他一出世母亲就病故了，依靠保姆照料长大。笛卡尔在当时欧洲最著名的拉夫雷士学校读书，他虽身体孱弱，但尊敬师长，勤奋刻苦。笛卡尔生活在资产阶级与封建领主、科学与神学进行激烈斗争的时代。从读书始便对僵化的说教有强烈的怀疑批判精神，坚定不移地寻找真理。笛卡尔在获得法学博士学位后，为了“读世界这本大书”，曾到荷兰服役，一边到各地旅行，一边和朋友讨论数学和科学问题。他探求正确的思想方法，创立为实践服务的哲学，“才能成为自然的主人”。退伍以后，主要居住在荷兰，也曾回到法国，从事学术研究。1649年应邀去瑞典担任女王的教师，最后因肺炎病逝在异国。
——以上资料来源于http:///200406/ca474049.htm
§3.1 平面直角坐标系（2）
（第2课时）
教学目标
1.能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置;
2.在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置.
3.经历画坐标系、描点、连线,等过程,发展学生的数形结合的意识, 合作交流的意识.
重点、难点
重点：建立适当直角坐标系,描述物体的位置;
难点：建立适当直角坐标系.
教学过程
一、复习旧知,导入新课
问题:1.为什么叫做直角坐标系,画出直角坐标系.
2.写出图中点A、B、C、D,E的位置.
二、师生共同活动
如图 3-6 是某中学的校区平面示意图 （一个方格的边长代表 1 个单位长度）， 试建立适当的平面直角坐标系， 用坐标表示校门、 图书馆、 花坛、 体育场、 教学大楼、 国旗杆、 实验楼和体育馆的位置.
如图 3-7 所示， 以校门所在位置为原点， 分别以正东、 正北方向为 x 轴、y 轴的正方向， 建立平面直角坐标系.
校门的位置为（0，0）， 图书馆的位置为（3，1）， 花坛的位置为（3，4），体育场的位置为（ 4，7），教学大楼的位置为（ 0，7），国旗杆的位置为（0，3），实验楼的位置为 （- 4，6），体育馆的位置为（-3，2）
若以国旗杆所在位置为原点建立平面直角坐标系， 则校区内各建筑物的坐标会发生变化吗？ 试写出此时各点的坐标.
例题3：根据以下条件画一幅示意图， 标出学校、 书店、 电影院、 汽车站的位置
（1） 从学校向东走 500 m， 再向北走 450 m 到书店.
（2） 从学校向西走 300 m， 再向南走 300 m， 最后向东走 50 m 到电影院.
（3） 从学校向南走 600 m， 再向东走 400 m到汽车站.
解：如图 3-8， 以学校所在位置为原点，
分别以正东、 正北方向为 x 轴， y 轴的正方向，
建立平面直角坐标系， 规定 1 个单位长度代表
100 m 长.
根据题目条件， 点 A（5， 4.5） 是书店的位置，
点 B（-2.5， -3） 是电影院的位置， 点 C（4，- 6）
是汽车站的位置.
在日常生活中， 除了用平面直角坐标系刻画物体之间的位置关系外， 有时还可借助方向和距离 （或称方位） 来刻画两物体的相对位置.
（1）如图 3-9， 李亮家距学校 1 000 m，如何用方向和
距离来描述李亮家相对于学校的位置？
（2） 反过来， 学校相对于李亮家的位置怎样描述呢？
李亮家在学校的北偏西 60°的方向上， 与学校的距离为 1 000 m； 反过来，学校在李亮家南偏东 60°的方向上， 与学校的距离为 1 000 m. 我们把北偏西 60°， 南偏东 60°这样的角称为方位角.
李亮家在学校的北偏西 60°的方向上， 与学校的距离为 1 000 m； 反过来，
P88例题4讲解
如图 3-10，12时我渔政船在H岛正南方向，距H岛30海里
的A处，渔政船以每小时40 海里的速度向东航行，13时到
达B处，并测得H岛的方向是北偏西53°6′.那么此时渔政船
相对于 H 岛的位置怎样描述呢？
三、巩固练习
教科书P88练习1、2
四、作业
一、填空题.
1.若点P(x,y)满足xy=0,则点P在___________.
2.在平面直角坐标系中,顺次连结A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2),D(3,4)四点, 所组成的图形是________.
3.若线段AB的中点为C,如果用(1,2)表示A,用(4,3) 表示B, 那么C 点的坐标是________.
4.若线段AB平行x轴,AB长为5,若A的坐标为(4,5),则B的坐标为________.
二、解答题.
1.在图直角坐标系中描出下列各组点,并将各组点用线段依次连结起来,观察所得到的图形,你觉得它像什么
(1)(-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3),(-6,5);
(2)(-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3);
(3)(3.5,9),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(3.5,9);
(4)(3,7),(1,5)(2,5),(5,5),(6,5),(4,7);
(5)(2,5),(0,3),(3,3),(3,0),(4,0),(4,3),(7,3),(5,5).
2.如图长方形ABCD的长和宽分别是6和4.以C为坐标原点,分别以CD、CB所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标,则长方形各顶点坐标分别是多少
教学反思
以探索活动贯穿整个课堂教学是本教学设计的一个特点．从探索各个象限内点的坐标的符号到探索同一个图形在不同的平面直角坐标系中坐标的变化，以及选择平面直角坐标系，都体现了学生的主体探究意识．在此基础上又进一步探究特殊点和它们的坐标之间的关系，这样安排的另一个目的也是为了开阔学生的思路和视野．由于本节课是建立在上一节课的基础之上的，因此在教学设计中也注意了教师的讲解与学生的自主学习之间的关系，使教师的讲解恰当、到位、有效．第三个特点是紧紧抓住了教材的重点，即在教学设计上始终突出点的位置与点的坐标之间的一一对应的关系．毛
§3.2 简单图形的坐标表示
（第3课时）
教学目标：根据图形特点和问题的需要能够灵活建立平面直角坐标系
教学重点： 有选择的建立平面直角坐标系并表示图形上点的坐标
教学难点： 如何根据图形的特点及不同问题的需要，建立恰当的平面直角坐标系
创设情景 激情导入
1、 平面直角坐标系的概念
2、 怎样表示平面直角坐标系中点的坐标？
二、 合作交流 解决探究
如图 3-11， 已知正方形 ABCD 的边长为 6.
如果以点 B 为原点， 以 BC 所在直线为 x 轴，建立
平面直角坐标系， 那么 y 轴是哪条直线？ 写出正方形的顶
点 A， B， C， D 的坐标.
（2） 如果以正方形的中心为原点， 建立平面直角坐标系，
那么 x 轴和 y 轴分别是哪条直线？ 此时正方形的顶点 A，
B， C， D 的坐标分别是多少？
例题1：如图 3-14， 矩形 ABCD 的长和宽分别为 8 和 6， 试建立适当的平面直角坐标系表示矩形 ABCD 各顶点的坐标， 并作出矩形 ABCD.
例题2：图 3-16 是一个机器零件的尺寸规格示意图， 试建立适当的平面直角坐标系表示其各顶点的坐标， 并作出这个示意图.
练习 P93 1、2
小结
作业布置
P93 习题3.2A组 1、2、
§3.3 轴对称和平移的坐标表示（1）
（第4课时）
教学目标：
1、能在平面直角坐标系中找出一点关于坐标轴的对称点
2、能正确表示出点关于坐标轴对称的点的坐标
教学重点： 用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标
教学难点： 找对称点的坐标之间的关系
教学过程：
创设情景 激情导入
在我们生活中，对称是一种很常见的现象。若把某个成轴对称的图形放在平面直角坐标系中，其对称轴为某条坐标轴，那么，图形上对称的两个点的坐标会有什么关系？
合作交流 解决探究
如图 3-18，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2）.
（1）分别作出点A关于x轴，y轴的对称点A′，A″，
并写出它们的坐标；
比较：点A与A′的坐标之间有什么关系？
点A与 A″呢？
坐标变化
横坐标 纵坐标
A（3，2）关于 x 轴对称 A′（3，-2） ； 不变 互为相反数
A（3，2） 关于 y 轴对称 A″（-3，2） 互为相反数 不变
一般地，在平面直角坐标系中，点（a，b）关于x 轴的对称点的坐标为（a，-b），点（a，b）关于y 轴的对称点的坐标为（-a，b）.
做一做：
如图 3-19， 在平面直角坐标系中， △ ABC 的顶点坐标分别为 A（2， 4），B（1， 2）， C（5， 2）.
（1） 作出△ ABC 关于 y 轴的轴对称图形， 并写出其顶点坐标；
（2） 作出△ ABC 关于 x 轴的轴对称图形， 并写出其顶点坐标.
例题1：如图 3-21， 求出折线 OABCD 各转折点的坐标以及它们关于 y 轴的对称点 O′， A′， B′， C′， D′的坐标， 并将点 O′， A′， B′， C′， D′依次用线段连接起来.
想一想，如果要在平面直角坐标系中画一个轴对称图形，怎样画才较简便？
练习P97
1. 填空.
（1） 点 B（2， -3） 关于 x 轴对称的点的坐标是
（2） 点 A（-5， 3） 关于 y 轴对称的点的坐标是
2. 已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（－7，-2），B（－7，－5），C（－3，－5）
D（－3，－2），以 y 轴为对称轴作轴反射， 矩形 ABCD 的像为矩形 A′B′C′D′，求矩形 A′B′C′D′的顶点坐标.
3. （１）如果点 A（-4，a）与点 A′（-4，-2）关于 x 轴对称，则 a 的值为
（２）如果点 B（-2，2b + 1）与点 B′（2，3）关于 y 轴对称，则 b 的值为
四、小结
五、作业布置
P102 A组 2
§3.3 轴对称和平移的坐标表示（2）
（第5课时）
教学目标： 理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律，以及图形上点的坐标的平移变换的作图
教学重点： 图形坐标变化与图形平移变换之间的关系
教学难点： 图新坐标变化与图形平移变换规律的探索
教学过程
创设情景 激情导入
二、合作交流 解决探究
1、坐标系中点的平移探索
如图3 - 23 ，平面直角坐标系中，A（1， 2）分别沿坐标轴方向作以下变换 ，试作点 A 的像，并写出像的坐标.
（1） 点 A 向右平移 4 个单位， 像为点 A1；
（2） 点 A 向左平移 3 个单位， 像为点 A2；
（3） 点 A 向上平移 2 个单位， 像为点 A3；
（4） 点 A 向下平移 4 个单位， 像点为 A4.
一般地，在平面直角坐标系中，将点（a， b）向右（或向左）平移 k 个单位， 其像的坐标为（a+k， b）（或 （a-k， b））；将点（a， b）向上（或向下）平移 k 个单位，其像的坐标为（a， b+k）（或 （a， b-k））.
2、坐标系中图形的平移的探索
如图 3-24， 线段 AB 的两个端点坐标分别为
A（1， 1）， B（4， 4）.
（1）将线段 AB 向上平移 2 个单位，作出它的
像 A′B′，并写出点 A′， B′的坐标；
（2）若点 C（x， y）是平面内的任一点，在上
述平移下，像点 C′（x′， y′）与点 C（x， y）
的坐标之间有什么关系？
三、例题讲解
例题2：如图:3-25，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，3），B（2，1），C（5，1）.
（1） 将△ABC 向下平移 5 个单位，作出它的像，并写出像的顶点坐标；
（2） 将△ABC 向左平移 7 个单位，作出它的像，并写出像的顶点坐标.
四、练习
P99 练习 1、2、3
五、小结
六、作业布置
P102 习题 3.3 A组 1、3
§3.3轴对称和平移的坐标表示（3）
（第6课时）
教学目标：在直角坐标系中，探索并了解多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
重点：图形顶点坐标的有规律变化引起图形的平移
难点：用坐标的变化表示平移
教学过程
探究：如图 3 - 27 ，△ ABC的顶点坐标分别为A（- 4 ，- 1 ），B（ - 5 ，- 3 ），C（-2，- 4）. 将△ABC向右平移7个单位，它的像是△A1B1C1；再向上平移5个单位， △ A1B1C1 的像是△ A2B2C2.
（1） 分别写出△A1B1C1，△A2B2C2 的顶点坐标；
（2） 将 △ABC作沿射线AA2 的方向的平移，移动的距离等于线段AA2 的长度，则△ABC的像是△A2B2C2 吗？
因此在这个平移下， 平面内任一点P（x， y） 与其像点 P′（x′， y′） 的坐标有如下关系：
x′ = x + 7，
y′ = y + 5.
例题讲解
例题3：如图3-29，四边形ABCD 四个顶点的坐标分别为A（1，2）， B（3，1） ，C（5，2）， D（3，4）.
将四边形 ABCD 先向下平移5个单位，再向左平移6个单 位 ，它的像是四边形A′B′C′D′. 写出四边形A′B′C′D′的顶点坐标，并作出该四边形.
四边形ABCD先向下平移5个单位，再向左平移6个单位，在这个平移下，平面内任一点P（x，y）与其像点P′（x′，y′） 的坐标有如下关系：
x′ = x - 6，
y′ = y - 5.
按照这个关系，由点A，B，C，D 的坐标可知其像的坐标分别是 A′（-5，-3），
B′（-3，-4）， C′（-1，-3）， D′（-3，-1）. 依次连接点 A′， B′， C′， D′，
即得四边形 A′B′C′D′， 如图
练习P101
小结
作业布置：
P102 A组4、 B组5
小结与复习
（第7课时）
一、回顾
1. 画一个平面直角坐标系，试说明如何确定给定点的坐标.
2. 在平面直角坐标系中，四个象限中的点与坐标轴上的点的坐标有什么特征？
3. 举例说明如何用方位角和距离来刻画两个物体的相对位置.
4. 画一个正方形，建立适当的平面直角坐标系， 写出它的顶点坐标.
5. 写出点 P（x，y）关于x轴，y轴的对称点的坐标.
6. 将点P（x， y）向左（或右）平移 k 个单位，它的像点 P′（x′，y′）的坐标是多
少？将点 Q（x，y）向上（或下）平移 k 个单位，它的像点 Q′（x′，y′）的坐标是多少？
7. 将平面内一点 P（x，y）先向左平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位，它的像点 P′的坐标为（x′， y′），写出 x′，y′与 x，y 的关系式.
二、本章知识结构
P104
三、注意：
1.同一个点，在不同的平面直角坐标系中，其坐标也不相同，所以，我们说一个点的坐标， 都是对某一个确定的坐标系来说的
2. 确定一个点 P（x， y）关于坐标轴对称的点的坐标或是沿坐标轴方向平移后的点的坐标，可以通过画图来帮助理解. 数形结合将帮助我们更好地理解变
四、典型例题
例1.点A（-3，4）关于轴的对称点的坐标是_____,关于轴的对称点的坐标是_____,关于原点的对称点的坐标是_____。
例2.与点（3，-2）关于轴对称的点的坐标是（ ）
A.（-3，-2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，-3）
例3.在直角坐标系中，将P（4，-3）向右平移2个单位后的点的坐标是______,再向上平移3个单位所得点的坐标是_______.
例4.直角坐标系中，点A（2-1,3）与B（,-3）关于y轴对称，那么=_____,=_____
例5.同一坐标系中，已知点P（3，-2）通过图形变换到点Q（-1，2），步骤可以是______________________
例6.如图，矩形PMON的边OM，ON分别在坐标轴上，且点P的坐标为（-2，3）。将矩形PMON沿轴正方向平移4个单位，得到矩形请在下图的直角坐标系中画出平移后的像。
五、课堂小结
六、作业布置
P105 复习题A组4、6、7
B
C
A
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
y
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