9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习（含解析）

9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习
一、单选题
1．菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
3．如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第四个正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．四个角相等的四边形是矩形
5．如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF．以下结论中：① AP＝EF；②AP⊥EF；③ EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．10 B．20 C．48 D．24
8．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4,点E，F，G，H分别在AB、BC、CD、AD上，若∠1=∠2=∠3=∠4，四边形EFGH的周长是 （　 　）
A．5 B．7 C．10 D．14
9．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3．把它们按图2，拼摆正方形，纸片在结合部分不重叠无缝隙，则图2的中间空白部分，即四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．9 C． D．以上都不对
10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（ ）
A．先增大，后减小 B．先减小，后增大 C．始终等于2.4 D．始终等于3
二、填空题
11．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为________．
12．若平行四边形 的对角线 ，且 ，则 ___________．
13．如图，菱形ABCD 中，∠ABD=30°，AC=4，则BD的长为_______．
14．如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BC,交BC延长线于点E.若∠ABC=45°,AD=2,则DE=_______．
15．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝80°，则∠FAC＝______．
三、解答题
16．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．
17．已知平行四边形中, ,垂足为与的延长线相交于,且，连接；
(1)如图,求证:四边形是菱形；
(2)如图,连接,若,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出图中所有面积等于的面积的钝角三角形.
18．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，AB=BC，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接CE，过点B作BG⊥CE于点F，交AD于点G.
(1)如图1，CD=AB.
①求证：四边形ABCD是正方形；
②求证：G是AD中点；
(2)如图2，若CD参考答案
1．B
【详解】解：设另一条对角线长为x cm，
则×6 x=24，
解得x=8．
∴菱形的另一条对角线长为8 cm，
故选：B．
2．C
【详解】解：A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
C．四条边相等的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．A
【详解】解：可以发现，后面新得到的正方形是刚得到的正方形的面积的一半，所以第n个正方形的面积可表示为 ，第4个为＝．
故选A.
4．D
【详解】解：A：对角线互相垂直且平分的的四边形是菱形，故A错误，不符合题意
B：四条边都相等且有一个角为直角的平形四边形是正方形，故B错误，不符合题意
C：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C错误，不符合题意
D：四个角相等的四边形是矩形，说法正确，符合题意
故选D
5．C
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3，
∴AB=5cm，
∴S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH，
∴DH=．
故选C．
6．A
【详解】解：①连接PC，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正确；
②延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，
∵PF⊥CD，
∴PM⊥AB，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠MAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠MAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴∠PHF＝180°-（∠PFH+∠HPF）＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝，△ABD是等腰直角三角形，
则当AP⊥BD时，AP最小，
∴APBD＝2时，EF的最小值等于2；
故③不正确；
综上，①②正确．
故选：A．
7．D
【详解】解：∵菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴菱形的面积＝AC BD＝×8×6＝24．
故选D．
8．C
【详解】试题分析：
解：∠1=∠2=∠3=∠4且ABCD是矩形；
所以四边形EFGH是平行四边形，
又由题意分析得出，E,F,G,H分别是各边的中点，所以
EF+EH=5
故，四边形EFGH的周长是10
故，选C
9．C
【详解】解：根据图2可得AB=BC=CD=DA，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∵直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3，
根据勾股定理，可得直角三角形的另一直角边为，
∴正方形ABCD的面积为(2 1)2=9-4，
故选：C．
10．C
【详解】解：连接PO，如下图：
∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴,
，，，
，
∴,
，
，
∴；
故选C．
11．
【详解】解：∵图中阴影部分的面积之和正好等于正方形面积的一半，且正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：．
故答案为：8．
12．
【详解】解：∵平行四边形 的对角线 ，
∴平行四边形 为菱形，
∴，
故答案为：．
13．
【详解】如图：
在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点，∠ABD=30°，AC=4，
∴AC⊥BD， AO==2，
∴AB=2AO=4，
∴ ，
故答案为：
14．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC=2，AB∥DC，
∴∠ABC=∠DCE=45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=CE，
∴，
∴DE=．
15．
【详解】解：是线段AB的垂直平分线，
，
，
四边形ABCD是菱形，∠DCB＝80°，
，
，
，
，
，
故答案为：10°．
16．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，
∴在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴∠ABP＝∠ADP．
17．
【详解】（1）证明：
四边形为平行四边形
四边形为平行四边形
四边形为菱形
（2）
18．
【详解】(1)①由旋转的性质可得：AB=BC
∵CD=AB
∴AB=BC=CD
又∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形
因为∠ABC=90°，AB=BC
∴平行四边形ABCD是正方形.
②设AB与EC交于P点，
∵BG⊥CE，∠ABC=90°，
∴∠PCB+∠BPC=90°，∠ABG+∠BPC=90°
∴∠PCB=∠ABG
又∵BC=AB,∠ABC=∠BAG=90°
∴△PBC≌△GAB
∴AG=AP
又∵AE=BC,∠ABC=∠EAB=90°,ED∥BC
∴∠BCP=∠AEP
∴△PAE≌△PBC
∴AP=PB= AB
∴AG=AD
即G是AD中点
（2）G仍然是AD的中点；
证明：延长CD、BG，相交于点M，延长EA交CM于点N.
由旋转可知，
AB⊥EN，AE＝CD
∴四边形ABCN是正方形.
∴AN＝CN＝BC，AN⊥CM
易证：△BCM≌△CNE
∴CM＝NE, CM－CD＝NE－AE，即：DM＝AN
∴AB＝AN＝DM.
∴△ABG≌△DMG
∴AG＝DG.