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8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
【学习要求】
1.理解平面的特点与基本性质；
2.掌握3个基本事实和3个推论；熟练使用空间符号；
3.会利用基本事实与推论证明共线、共点、共面问题；
4.会判断点、直线、平面的位置关系。
【思维导图】
【知识梳理】
1、平面的概念及表示方法
1）平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的
2）平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。
3）平面的画法：（1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；（2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。
4）平面的表示方法：（1）一个希腊字母：如，，等；（2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；（3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。
5）点与直线（平面）、直线与平面的位置关系
（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“ ”，（2）直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
2、平面的基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； 图形语言：如图1
应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面.
图1 图2 图3
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
图形语言：如图2； 符号语言：，，且，
应用：判断直线或点是否在平面内的依据.
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形语言：如图3；符号语言：，且
应用：判断两平面是否相交及确定交线的依据；证明三点共线；证明三线共点；作两平面的交线.
（4）三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3、空间点、直线、平面位置关系
1）直线与直线的位置关系
（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．异面直线的画法：
① ②
（2）空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
2）直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
3）两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
【高频考点】
高频考点1. 文字语言、符号语言、图形语言的相互转化
【方法点拨】
1．（2022·北京·高一校考阶段练习）点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【详解】点A在直线l上，则，l在平面内，则 故选：D
2．（2022秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，， B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，
所以用符号语言可表示为，，， 故选：A.
3．（2022秋·四川遂宁·高二校考阶段练习）如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】由图可知，，，. 故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】由图可知：，故选：B
例5．（2022·河北高一课时练习）用符号语言改写下列语句：
(1)点在平面内，点不在直线上；(2)直线在平面内，直线与平面有且只有一个公共点；(3)直线和相交于一点．
【答案】(1)，；(2)，，；(3).
(1)由点A在平面内，即；由点B不在直线l上，即.
(2)由直线l在平面内，即；
由直线m与平面有且只有一个公共点M，即且.
(3)由直线a和b相交于一点M，即.
高频考点2 . 基本事实与推论的理解
【方法点拨】根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.
1.（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）下列条件不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．直线和直线上一点
C．两条平行直线 D．两条相交直线
【答案】B
【解析】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意；
经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意；
经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意；
经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意．故选：B．
2.（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）．
A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内
【答案】B
【解析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，
因为点P在平面内，所以这条直线也应该在平面内. 故选：B
3.（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
【答案】ABC
【解析】由基本事实可知，若两个不重合的平面有一个公共点，
则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，
因此选项A正确；选项B正确；选项C符合基本事实，因此选项C正确；
若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误．故选：ABC
4.（2022·高一课时练习）已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）
A．，，，，则
B．，，，，则直线，直线
C．，，则
D．、、，、、，且、、不共线，则、重合
【答案】C
【解析】对于A选项，，，，，由基本事实2可知，A对；
对于B选项，，，则直线，同理可知，直线，B对；
对于C选项，，，则为平面、的一个公共点，
但平面、相交于过点的一条直线，而不是点，C错；
对于D选项，、、，且、、不共线，则、、可确定平面，
同理可知，、、可确定平面，故、重合，D对.故选：C.
高频考点3 . 点共面与线共面的问题
【方法点拨】证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：
(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面,重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.
1.（2023·河南·高一专题练习）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，
该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；
对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，
又，则，故、、、四点共面
对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，
而点不在该平面内，故、、、四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，
即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，
而点不在直线上，故、、、四点不共面．故选：B
2.（2022·全国·高一专题练习）（多选）以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点共面，点共面，则共面
C．若直线共面，直线共面，则直线共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【答案】BCD
【解析】选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，
则与四点不共面矛盾， 则任意三点不共线，正确；
选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误；
选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误；
选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误.故选：BCD
3.（2022·广西高一课时练习）已知、、、、是空间五个点，且线段、和两两相交，求证：、、、、这五个点在同一平面上．
【答案】证明见解析
【解析】证明：设，，
∵，∴，确定一个平面．
∵，∴，同理．∴直线即直线，∴，．
∴，，，，这五个点在同一平面上．
4.（2023·重庆·高一专题练习）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．
【答案】证明见解析
【解析】证明 方法一（纳入平面法）
∵，∴和确定一个平面．
∵，∴．又∵，∴．同理可证．
∵，，∴．∴直线，，在同一平面内．
方法二（辅助平面法）
∵，∴和确定一个平面．∵，∴，确定一个平面．
∵，，∴．∵，，∴．
同理可证，，，．
∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内，
∴平面和重合，即直线，，在同一平面内．
高频考点4. 线共点与点共线问题
【方法点拨】证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.
1.（2022·成都市·高一课时练习）在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上
【答案】A
【解析】由，则平面，由，则平面，
同理可得平面，由平面平面，则.故选：A.
2.（2023·山东·高一专题练习）如图所示，在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R三点．求证：P、Q、R三点在同一直线上．
【答案】详见解析.
【解析】由及平面, 可知平面, ，
因此点P在平面ABC与平面的交线上，
同理点Q, R均在平面ABC与平面的交线上，所以P、Q、R三点共线.
3.（2022·江苏·高一专题练习）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，因为C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1
∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1
∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点
∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1交线
∵O是A1C与平面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1
∴O也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．
4.（2023·全国·高一专题练习）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．
【答案】证明见解析
【解析】如图，梯形中，因为，所以与必交于一点，
设交于点，则，又因为，所以，
又因为，所以，所以共点．
5．（2022·全国·高一专题练习）在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:（1）四边形是梯形；（2）三条直线相交于同一点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）分别是边的中点，，，
由得：，且，
且，四边形是梯形.
（2）由（1）知：相交，设，
，平面，平面，同理可得：平面，
又平面平面，，和的交点在直线上，
三条直线相交于同一点.
高频考点5 . 直线与直线的位置关系
【方法点拨】
1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.
2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.
3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的.
1.（2022春·安徽合肥·高一合肥市第六中学校联考期中）异面直线是指（ ）
A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线
【答案】A
【解析】A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确；
B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，
所以该选项错误；
C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，
也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误；
D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误.故选：A
2.（2023·全国·高一专题练习）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面
【答案】D
【解析】如图，在长方体中，所在直线为a，AB所在直线为b，
已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，
则c可以是长方体中的，，.
故a和c可以平行、相交或异面．故选：D
3．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知三条直线，，满足且，则与（ ）
A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面
【答案】B
【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）．
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线．
【答案】A
【详解】如图，易知，所以，且，
所以为梯形，故与EF相交，A正确；
因为，所以，故B错误；
因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，
所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；
因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选：A
5．（2022·高一课时练习）在正方体中，点，分别在上，且，则与的位置关系是____________．
【答案】平行
【详解】解：连接并延长，交于点M，易得，
所以，所以 M为AD中点，连接BF并延长，交AD与点N，易得，
所以，所以N为AD中点，所以M，N重合，所以，所以
故答案为：平行
6．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在长方体中，
，当是与的交点时，平面，与相交，A不是；
当点与重合时，平面，与相交，B不是；
当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是；
因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是.故选：D
高频考点6. 直线与平面的位置关系
【方法点拨】判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.
1．（2022·高一课时练习）如果直线，和平面满足，，那么．( )
【答案】错误
【详解】根据空间中线面的位置关系可得，若满足a∥α，b∥α，
则a∥b或a，b相交，或a，b异面，故原命题错误.故答案为：错误
2．（2022秋·陕西咸阳·高二校考期中）已知，且，那么直线与平面的位置关系是（ ）
A．必相交 B．必平行 C．相交或平行 D．平行或在平面内
【答案】D
【详解】因为，且，那么直线b在内或平行. 故选：D
3．（多选）（2022春·广东深圳·高一校考期中）若存在直线和直线，满足与不平行，则下列说法正确的是（ ）
A．内一定存在直线与平行 B．可能与平面平行
C．内一定存在直线与垂直 D．可能与平面垂直
【答案】BCD
【详解】依题意可得l与平面相交，则内一定不存在直线与l平行，故A错；
l可能与平面平行或l可能与平面垂直，故BD正确；
不论l与平面平行或相交，内一定存在直线与l垂直，C正确．故选：BCD
4.（2022秋·山东德州·高二校考阶段练习）如果直线平面，直线平面，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，同理，.又，则.故选：A.
5.（2023·全国·高一专题练习）若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与平面平行 B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外
【答案】D
【解析】对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误；
对于BC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，BC错误；
对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外,D正确.故选：D.
高频考点7 . 平面与平面的位置关系
【方法点拨】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.
1．（2023·湖北·高三专题练面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面
【答案】B
【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点
∵，，∴直线，没有公共点∴直线，的位置关系是平行或异面，故选：B.
2．（2022春·河南郑州·高一校考期中），是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，,则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】C
【详解】A项：若，，则或，故选项A不正确；
B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确；
C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确；D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确.故选：C.
3．（2022·广东高一单元测试）已知直线，和平面，，若，，，，则，的位置关系是________．
【答案】平行或相交
【详解】若a∥b，则α，β相交或平行；若a，b相交，则α，β平行；故答案为：平行或相交.
4.（2023·全国·高一专题练面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行
【答案】D
【解析】如图1，若，则平面上任一点到平面距离相等，
故平面上一定存在三个不共线点到平面距离相等；
如图2，若与相交，则平面上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面距离相等；
故平面与平面的位置关系是相交或平行.故选：D.
5.（2022秋·上海长宁·高二统考阶段练面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
【答案】C
【解析】因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面，
又点C在平面上，所以平面，
因为平面，点在直线AB上，所以平面，
又平面，所以平面，所以与的交线是直线.故选：C.
高频考点8. 异面直线的夹角
【解题技巧】
(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.
(2)证明：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角度(常利用三角形的有关知识).
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
1．（2022·陕西渭南·统考一模）如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，
，，且，．为EF与AC所成的角．
又，．又，，，
为等腰直角三角形，，即EF与AC所成的角为45°．故选：B．
2．（2022春·云南昆明·高三校考阶段练习）在正方体中，异面直线与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】异面直线与夹角等于与夹角；
连接，则为异面直线AB1与BD所成的角，
为正三角形，所以，所以异面直线与夹角为.故选：B
3．（2022·高一课时练习）已知异面直线和所成的角为，为空间一定点，则过点且与，所成角都是的直线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【详解】在直线上取线段，过作，过作平面平面，且使平面平分，显然，在平面的两侧能分别取得点，使，．过作、，则直线就是满足条件的直线，所以满足条件的直线有两条，故选B．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________.
【答案】或
【详解】如图，因为、、分别为、、的中点，故，，故与所成的角即与所成的角为，且与相等或者互补，故或.
故答案为：或
5．（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图：过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，
则，所以，设正方体的棱长为，则，，
所以,当且仅当与重合时，取得等号，所以的最小值是.故选：.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2022·全国·高一专题练习）下面表述与结论都正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对，，，所以直线在平面内，即，故错误；
对，直线在平面内，应为，故错误；
对，，，，故正确；
对，，，有可能，故错误．故选：．
2．（2022秋·山东潍坊·高二统考期中）下列说法错误的是（ ）
A．空间中的三点确定一个平面 B．直线和直线外一点确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面
【答案】A
【详解】对于A，由公理2可知：过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；
对于B，由公理2的推论可知：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项B正确；
对于C，由公理2的推论可知：经过两条相交直线有且只有一个平面，故选项C正确；
对于D，由公理2的推论可知：经过两条平行直线有且只有一个平面，故选项D正确，
综上可知：说法错误的是A.故选：A.
3．（2022春·山东聊城·高一校考阶段练习）下列四个选项中的命题是真命题的是（ ）
A．若四点不共面，则其中任意三点不共线
B．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分
【答案】A
【详解】A选项，对于空间中的个点，若其中个点共线，则这个点共面，
此时与“四点不共面”矛盾，所以若四点不共面，则其中任意三点不共线，A选项正确.
B选项，空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，所以B选项错误.
C选项，空间中，两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，不是平面图形，所以C选项错误.
D选项，两个不重合的平面最多可将空间分成四个部分，D选项错误.
故选：A
4．（2022·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（ ）
A．三点，，共线，且 B．三点，，不共线，且
C．三点，，共线，且 D．三点，，不共线，且
【答案】A
【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，如图，
，连BD1，平面平面，
因M为棱D1C1的中点，则平面，而平面，即平面，又，则平面，
因AM与平面BB1D1D的交点为O，则平面，于是得，即D1，O，B三点共线，
显然D1M∥AB且，于是得OD1＝BO，即OB＝2OD1，
所以三点D1，O，B共线，且OB=2OD1.故选：A
5．（2022·上海·高二专题练习）“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若直线与平面没有公共点，那直线与平面只能平行，故充分条件成立；若直线与平面平行，则直线与平面没有公共点，故必要性也成立，所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充分必要条件.
6.（2023·全国·高三专题练习）若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与平面平行 B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外
【答案】D
【解析】对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误；
对于BC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，BC错误；
对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外,D正确.故选：D.
7．（2022春·广东江门·高一校考期中）已知平面，且，，则直线a，b的关系为（ ）
A．一定平行 B．一定异面 C．不可能相交 D．相交、平行或异面都有可能
【答案】C
【详解】由平面，且，可知直线a，b没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．故选：C．
8．（2023·广西梧州·统考一模）在正方体中，，分别是线段，的中点，则异面直线，所成角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示：F是线段的中点，连接交于F，
由正方体的性质知，知异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，
故或其补角是异面直线EF与所成角.
设正方体边长为2，在直角中，，，
故 故选：C
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一期中）下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点 B．一条直线和一个点
C．两条相交的直线 D．两条平行的直线
【答案】CD
【详解】空间中任意三点，当三点共线时，不能确定一个平面，A不正确；
一条直线和一个点，如果点在直线上，不能确定一个平面，B不正确；
由平面的基本性质可知：两条相交的直线，两条平行的直线，都能确定一个平面，C，D正确.
故选：CD
10.（2022春·湖南长沙·高一校考阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
【答案】ABC
【解析】在正方体中，为的中点，直线交平面于点，
在选项中，直线交平面于点，
平面，直线，又平面，平面，
为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，
平面，且平面，
又平面，且平面，，，三点共线，故选项正确；
在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；
在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；
在选项中，直线，，
，，，四点不共面，故错误．故选：．
11．（2023·广东·高三专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AM与BN是平行直线 B．直线BN与MB1是异面直线
C．直线MN与AC所成的角为60° D．平面BMN截正方体所得的截面面积为
【答案】BCD
【详解】对于A，假设直线与是平行直线，则四边形为平面图形，
平面平面，且平面平面，平面平面，
，则，与矛盾，故A错误；
对于B，平面，平面，平面，
由异面直线的定义可得，直线与是异面直线，故B正确；
对于C，连接，，可得，为直线与所成的角，
而，可得直线与所成的角为，故C正确；
对于D，连接，可知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
棱长为2，，，，等腰梯形的高为，
，故D正确．故选：BCD．
12．（2022秋·山东东营·高二广饶一中校考阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（ ）
A．l过点 B．l不一定过点
C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上
【答案】BC
【详解】连接，在正方体中，取的中点，
连接，则，所以四边形是平行四边形，平面，平面，所以，故A正确，B错误；
如图的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，所以，故C错误，D正确.故选：BC.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2022·高二课时练习）已知点是平面外的两点,则过点与平行的平面有______个.
【答案】0或1
【解析】当两点在平面两侧时,不存在这样的平面与平行;
当两点在平面同侧时,若直线面,则存在一个平面与平面平行;
若两点在平面同侧时,直线与平面不平行,不存在这样的平面
14．（2023·上海·高二专题练习）已知直线．如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值．那么这样的直线有__________条．
【答案】无数
【详解】如图所示：
，异面，
则平面内任意一条与平行的直线都满足要求，故答案为：无数
15．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高三校考期末）如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点作的垂线交圆于点，则异面直线与所成角的大小为 °
【答案】45
【详解】由题知B在直角梯形中，因为B为的中点，，
所以，连接，易证四边形为矩形，所以，
所以为异面直线与所成的角，在中，，所以,
连接，在中，由，，得；
在中，，所以.
16．（2022秋·上海静安·高二校考阶段练习）如图，已知空间四边形两对角线和的长分别为8和10，所成的角为，依次连接各边中点所得四边形的面积是_________;
【答案】
【详解】因为，，，分别为，，，中点，
所以，，且，，
所以四边形为平行四边形，
因为与所成角为，所以平行四边形的一个内角为，
所以.故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2022·上海·高二专题练习）如图，已知，，，，；求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明:因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，
所以直线a β，点P∈β.
因为P∈b，b α，所以P∈α.
又因为a α，，所以α与β重合，所以PQ α.
18．（2022春·北京·高一101中学校考期末）如图，四边形和都是直角梯形，，，，，，，分别为，的中点.
（1）证明：四边形是平行四边形.（2），，，四点是否共面？为什么？
【答案】（1）见解析（2）C，D，F，E四点共面.见解析
【详解】（1）证明：因为分别为的中点,所以,.
又,所以,,所以四边形是平行四边形.
（2）四点共面.理由如下：
由,,是中点知,,
所以四边形为平行四边形,所以.
由（1）知,所以,所以与共面.
又,所以四点共面.
19．（2022秋·四川乐山·高二统考期末）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】（1）连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面.
（2），所以，
又平面平面，
同理：，平面平面，
为平面与平面的一个公共点.
又平面平面，即三点共线.
20．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且，.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
【答案】证明见解析
【详解】证明：连接EF，GH，AC.
因为，，所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG，
所以EH，FG共面，且EH与FG不平行，不妨设，
则，EH 平面ABD，所以平面ABD；同理平面BCD.
又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以，
所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面.(1)若，求四棱锥的体积；(2)若直线与的夹角为，求的长.
【答案】(1)12 (2)
【详解】（1）∵ PD⊥平面ABCD，平面，
∴ 点到平面的距离为，，∵ ，,∴ ，
∵ 底面ABCD为正方形，边长为3，∴ 底面ABCD的面积为9，
∴ 四棱锥P- ABCD的体积，
（2）∵ ，∴ 直线AD与BP的夹角的平面角为，∵ 直线AD与BP的夹角为60°，
∴ ，设，则，，
在中，，，，
由余弦定理可得∴ ，∴ .
22．（2022·浙江·高一专题练习）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；（2）求的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【详解】（1）设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线，
设，则是与平面的交线，，连接，则是所要画的平面与平面的交线．
（2）正方体棱长为，
又，所以．
在中，，所以．
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8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
【学习要求】
1.理解平面的特点与基本性质；
2.掌握3个基本事实和3个推论；熟练使用空间符号；
3.会利用基本事实与推论证明共线、共点、共面问题；
4.会判断点、直线、平面的位置关系。
【思维导图】
【知识梳理】
1、平面的概念及表示方法
1）平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的
2）平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。
3）平面的画法：（1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；（2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。
4）平面的表示方法：（1）一个希腊字母：如，，等；（2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；（3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。
5）点与直线（平面）、直线与平面的位置关系
（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“ ”，（2）直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
2、平面的基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； 图形语言：如图1
应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面.
图1 图2 图3
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
图形语言：如图2； 符号语言：，，且，
应用：判断直线或点是否在平面内的依据.
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形语言：如图3；符号语言：，且
应用：判断两平面是否相交及确定交线的依据；证明三点共线；证明三线共点；作两平面的交线.
（4）三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3、空间点、直线、平面位置关系
1）直线与直线的位置关系
（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．异面直线的画法：
① ②
（2）空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
2）直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
3）两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
【高频考点】
高频考点1. 文字语言、符号语言、图形语言的相互转化
【方法点拨】
1．（2022·北京·高一校考阶段练习）点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2022秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，， B．
C． D．
3．（2022秋·四川遂宁·高二校考阶段练习）如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．， B．， C．， D．，
例5．（2022·河北高一课时练习）用符号语言改写下列语句：
(1)点在平面内，点不在直线上；(2)直线在平面内，直线与平面有且只有一个公共点；(3)直线和相交于一点．
高频考点2 . 基本事实与推论的理解
【方法点拨】根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.
1.（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）下列条件不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．直线和直线上一点
C．两条平行直线 D．两条相交直线
2.（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）．
A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内
3.（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
4.（2022·高一课时练习）已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）
A．，，，，则
B．，，，，则直线，直线
C．，，则
D．、、，、、，且、、不共线，则、重合
高频考点3 . 点共面与线共面的问题
【方法点拨】证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：
(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面,重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.
1.（2023·河南·高一专题练习）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·全国·高一专题练习）（多选）以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点共面，点共面，则共面
C．若直线共面，直线共面，则直线共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
3.（2022·广西高一课时练习）已知、、、、是空间五个点，且线段、和两两相交，求证：、、、、这五个点在同一平面上．
4.（2023·重庆·高一专题练习）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．
高频考点4. 线共点与点共线问题
【方法点拨】证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.
1.（2022·成都市·高一课时练习）在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上
2.（2023·山东·高一专题练习）如图所示，在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R三点．求证：P、Q、R三点在同一直线上．
3.（2022·江苏·高一专题练习）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
4.（2023·全国·高一专题练习）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．
5．（2022·全国·高一专题练习）在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:（1）四边形是梯形；（2）三条直线相交于同一点.
高频考点5 . 直线与直线的位置关系
【方法点拨】1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.
2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.
3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的.
1.（2022春·安徽合肥·高一合肥市第六中学校联考期中）异面直线是指（ ）
A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线
2.（2023·全国·高一专题练习）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面
3．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知三条直线，，满足且，则与（ ）
A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）．
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线．
5．（2022·高一课时练习）在正方体中，点，分别在上，且，则与的位置关系是____________．
6．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点6. 直线与平面的位置关系
【方法点拨】判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.
1．（2022·高一课时练习）如果直线，和平面满足，，那么．( )
2．（2022秋·陕西咸阳·高二校考期中）已知，且，那么直线与平面的位置关系是（ ）
A．必相交 B．必平行 C．相交或平行 D．平行或在平面内
3．（多选）（2022春·广东深圳·高一校考期中）若存在直线和直线，满足与不平行，则下列说法正确的是（ ）
A．内一定存在直线与平行 B．可能与平面平行
C．内一定存在直线与垂直 D．可能与平面垂直
4.（2022秋·山东德州·高二校考阶段练习）如果直线平面，直线平面，，则（ ）
A． B． C． D．
5.（2023·全国·高一专题练习）若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与平面平行 B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外
高频考点7 . 平面与平面的位置关系
【方法点拨】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.
1．（2023·湖北·高三专题练面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面
2．（2022春·河南郑州·高一校考期中），是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，,则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
3．（2022·广东高一单元测试）已知直线，和平面，，若，，，，则，的位置关系是________．
4.（2023·全国·高一专题练面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行
5.（2022秋·上海长宁·高二统考阶段练面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
高频考点8. 异面直线的夹角
【解题技巧】
(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角度(常利用三角形的有关知识).
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
1．（2022·陕西渭南·统考一模）如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2022春·云南昆明·高三校考阶段练习）在正方体中，异面直线与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·高一课时练习）已知异面直线和所成的角为，为空间一定点，则过点且与，所成角都是的直线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________.
5．（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2022·全国·高一专题练习）下面表述与结论都正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（2022秋·山东潍坊·高二统考期中）下列说法错误的是（ ）
A．空间中的三点确定一个平面 B．直线和直线外一点确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面
3．（2022春·山东聊城·高一校考阶段练习）下列四个选项中的命题是真命题的是（ ）
A．若四点不共面，则其中任意三点不共线
B．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分
4．（2022·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（ ）
A．三点，，共线，且 B．三点，，不共线，且
C．三点，，共线，且 D．三点，，不共线，且
5．（2022·上海·高二专题练习）“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.（2023·全国·高三专题练习）若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与平面平行 B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外
7．（2022春·广东江门·高一校考期中）已知平面，且，，则直线a，b的关系为（ ）
A．一定平行 B．一定异面 C．不可能相交 D．相交、平行或异面都有可能
8．（2023·广西梧州·统考一模）在正方体中，，分别是线段，的中点，则异面直线，所成角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一期中）下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点 B．一条直线和一个点
C．两条相交的直线 D．两条平行的直线
10.（2022春·湖南长沙·高一校考阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
11．（2023·广东·高三专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AM与BN是平行直线 B．直线BN与MB1是异面直线
C．直线MN与AC所成的角为60° D．平面BMN截正方体所得的截面面积为
12．（2022秋·山东东营·高二广饶一中校考阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（ ）
A．l过点 B．l不一定过点
C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2022·高二课时练习）已知点是平面外的两点,则过点与平行的平面有______个.
14．（2023·上海·高二专题练习）已知直线．如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值．那么这样的直线有__________条．
15．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高三校考期末）如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点作的垂线交圆于点，则异面直线与所成角的大小为 °
16．（2022秋·上海静安·高二校考阶段练习）如图，已知空间四边形两对角线和的长分别为8和10，所成的角为，依次连接各边中点所得四边形的面积是_________;
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2022·上海·高二专题练习）如图，已知，，，，；求证：.
18．（2022春·北京·高一101中学校考期末）如图，四边形和都是直角梯形，，，，，，，分别为，的中点.（1）证明：四边形是平行四边形.（2），，，四点是否共面？为什么？
19．（2022秋·四川乐山·高二统考期末）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；(2)设与交于点，求证：三点共线.
20．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且，.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面.(1)若，求四棱锥的体积；(2)若直线与的夹角为，求的长.
22．（2022·浙江·高一专题练习）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；（2）求的长．
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