分解因式[下学期]

§3.1 分解因式
教学目标
1．知识目标：了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的联系与区别。
2．能力目标：通过观察，理解分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
3．情感目标：通过分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的联系.
教学重点
识别分解因式与整式乘法的关系.
教学难点
归纳分解因式与整式乘法的关系.
教学方法
研讨法
教学过程
1.创设情境,自然引入
提问学生计算（a+b）（a－b）
即（a+b）（a－b）=a2－b2.
这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？
能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.
a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.
2.设问质疑，探究尝试
(1)讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
因为993－99
=99×992－99
=99×（992－1）
=99×9800
=99×98×100
其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.
提问：993－99还能被哪些正整数整除？
（能被99，98,980,990,9702等整除）
从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.
(2)议一议：你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
3.变式训练，巩固提高
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________;
②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=__________;
④m（a+b+c）=__________;
⑤a（a+1）（a－1）=__________.
解：①（m+4）（m－4）=m2－16;
②（y－3）2=y2－6y+9;
③3x（x－1）=3x2－3x;
④m（a+b+c）=ma+mb+mc;
⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（ ）（ ）;
②m2－16=（ ）（ ）;
③ma+mb+mc=（ ）（ ）;
④y2－6y+9=（ ）2.
⑤a3－a=（ ）（ ）.
解：①3x2－3x=3x（x－1）;
②m2－16=（m+4）（m－4）;
③ma+mb+mc=m（a+b+c）;
④y2－6y+9=（y－3）2;
⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.
4.归纳总结，概括知识
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.
提问：由a（a+1）（a－1）=a3－a的变形是什么运算？
由a3－a=a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
由a（a+1）（a－1）=a3－a的变形是整式乘法，由a3－a=a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.
由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.
下面我们一起来总结一下.
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）
ma+mb+mc=m（a+b+c） （2）
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
5.发散思维，解决问题
（1）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
①4a（a+2b）=4a2+8ab;
②6ax－3ax2=3ax（2－x）
③a2－4=（a+2）（a－2）
④x2－3x+2=x（x－3）+2
（2）请你帮忙连一连
6.总结串联，纳入系统
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
教学检测
一．请你选一选
1.下列从左到右的变形，是分解因式的为( )
A.x2－x=x(x－1) B.a(a－b)=a2－ab
C.(a+3)(a－3)=a2－9 D.x2－2x+1=x(x－2)+1
2.请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式的是（ ）
(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1
(2)(x－3)(x+2)=x2－x+6
(3)3m2n－6mn=3mn(m－2)
(4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc
(5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2
二．好好想一想……
1．计算：（1）－84×125+125×67+5×25
(2)
(3)
(4) (－2)1999+21998
2．32002－32001－32000能被5整除吗？为什么？
3．对于任意自然数n，2n+4－2n能被15整除吗？为什么？
4．9993－999能被998整除吗？能被998和1000整除吗？为什么？
5．计算：7.6×2008+4.3×2008－1.9×2008
6．已知公式V=IR1+IR2+IR3，当R1=22.8，R2=31.5，R3=33.7，I=2.5，求V的值.
参考答案
一． 请你选一选
1. A
2.（3）、（5）式中从左到右的变形是分解因式
二．好好想一想……
1．（1）原式=－84×125+67×125+125
=125×(－84+67+1)
=－125×16
=－125×8×2
=－2000
（2）原式==－2
（3）原式=
=
（4）原式=－21999+21998=21998－2×21998=－21998
2. 能被5整除 32002－32001－32000=32000·(32－3－1)=32000×5
3. 能被15整除 2n+4－2n=2n(24－1)=2n×15
4． ∵9993－999=999（9992－1）=999×（999－1）×(999+1)=999×998×1000
∴9993－999能被998整除，也能被998和1000整除
5． 20080
6． 220
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