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相互独立事件为背景的概率模型
求以相互独立事件为背景的概率模型的解题思路：
【典例】（2022·江苏省连云港市锦屏高级中学高三期中） 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是.甲乙丙是否击中目标相互独立.
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望.
【解题指导】（1）求出→且与→求乙、丙二人各自击中目标的概率．
（2）写出X的可能取值→求出相应的概率→求出X的分布列→E（X）．
【解析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A、B、C，则，且有
即 解得，，
所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为，；
（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，
；，
.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
，所以X的数学期望为.
考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力．
1．【跨学科融合】现有三种基本电子模块，电流能通过的概率都是p,电流能否通过各模块相互独立.已知中至少有一个能通过电流的概率为0.999.现由该电子模块组装成某预警系统M(如图所示），针对系统M而言，只要有电流通过该系统就能正常工作.
(Ⅰ)求p
(II)求预警系统M正常工作的概率
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）0.891.
【分析】（Ⅰ）根据独立事件与对立事件的概率公式列方程求解即可；
（Ⅱ）直接利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意知，解得.
（Ⅱ）设模块能正常工作为事件，电流能否通过各模块相互独立，
所以预警系统M正常工作的概率
.
预警系统M正常工作的概率为0.891.
2．【与互斥事件结合】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【答案】（1）丙；（2）
【解析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.
【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.
2．【与五育融合】冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；
（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．
【详解】（1）由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以．
3．【跨方差结合】成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示（单位：吨)：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 500 50 50
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率：
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中，.当数据a，b，c的方差最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明），并求此时的值.
注：，其中为数据，，，的平均数.
【答案】（1）；（2）0.2；（3），；.
【分析】（1）根据统计数据知共厨余垃圾600吨，投放正确的500吨，即可计算；
（2）根据对立事件，先计算生活垃圾投放正确的概率即可求解；
（3）根据且a，b，c的方差最大可知其中有两个为量为0时最大，计算即可.
【详解】（1）厨余垃圾投放正确的概率约为
.
（2）设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确.
事件得概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量，
即，所以.
（3）当，时，取取得最大值.
因为，
所以.
4．【与对立事件结合】为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：元/分．已知陈先生的家离上班公司公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为分．
（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于分钟的概率；
（2）若公司每月发放元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按天计算），并说明理由.（同一时段，用该区间的中点值作代表）
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】分析：（1）利用对立事件的概率公式求陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率.(2)比较每个月的费用和元的大小，即得解.
详解：（1）设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的事件为
则所求的概率为
所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为.
（2）每次开车所用的平均时间为
每次租用新能源租赁汽车的平均费用为
每个月的费用为，
因此公车补贴够上下班租用新能源分时租赁汽车.
【点睛】本题主要考查对立事件的概率，考查平均值的计算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析能力.
6．【决策问题】甲 乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲 乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.
（1）设每场比赛甲赢的概率为，若比赛进行了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金的分布列；
（2）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生.若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场 乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析；（2）乙不可能赢得全部奖金，理由见解析.
【分析】（1）由甲乙输赢情况确定得奖金的情况，然后计算概率得分布列；
（2）比赛继续进行场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢，分类求得或的概率，得出乙赢得全部奖金的概率，利用导数求得最大值，可得结论．
【详解】解：（1）因为进行了5场比赛，所以甲 乙之间的输赢情况有以下四种情况：甲赢4场，乙嬴1场；甲赢3场，乙赢2场；甲赢2场，乙赢3场；甲赢1场，乙赢4场.
5场比赛不同的输赢情况有种，即28种.
①若甲赢4场，乙赢1场；甲获得全部奖金8000元；
②若甲赢3场，乙赢2场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得6000元奖金；
③若甲赢2场，乙赢3场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为，所以甲分得2000元奖金；
④甲赢1场，乙赢4场.甲没有获得奖金.
设甲可能获得的奖金为x元，则甲获得奖金的所有可能取值为8000，6000，2000，0，；；
；.
∴甲获得奖金数的分布列：
8000 6000 2000 0
（2）设比赛继续进行场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢
当时，乙以赢，；
当时，乙以赢，；
所以，乙赢得全部奖金的概率为
设
因为所以所以在上单调递减，
于是.
故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件.
所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金.
【点睛】思路点睛：本题考查概率的应用，在求概率分布列时，解题关键是确定甲所得奖金的情况，种种情况下甲乙输赢场次，从而可求得概率．同样乙赢得全部奖金，可得或，分别求出概率，相加得乙得奖金的概率，然后求得此概率的最大值，比较可得．
7．【与分布列结合】双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为），若胜则获得冠军，若胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.
（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件，求的概率；
（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为，解决以下问题：
①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；
②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量，求的分布列.
【答案】（1）；（2）①；②答案见解析.
【分析】（1）先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；
（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可
②由题意可得，然后求出各自对应的概率，从而可得的分布列
【详解】（1）8人平均分成四组，共有种方法，
其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为，所以
①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，
故所求的概率为
②若甲在第一轮获胜，.
当时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即.
当时，有两种情况：
（i）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为；
（ii）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，
概率为，所以
当时，有两种情况：
（i）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为；
（ii）甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，
概率为；所以.
当时，有两种情况：
（i）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，
其概率为；
（ii）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，
其概率为；
所以.
当时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即.
所以的分布列为：
3 4 5 6 7
【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，解题的关键是正确理解题意，求出对应的概率，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题
8．【与茎叶图结合】某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20为市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下：
甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81；
乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.
检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间的为等，在区间的为等，在区间的为等，在区间为等.
（Ⅰ）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对两所学校办学的社会满意度进行比较，写出两个统计结论；
（Ⅱ）估计哪所学校的市民的评分等级为级或级的概率大，说明理由.
【答案】（1）见解析（2）市民对乙校的评分等级为级或级的概率大.
【详解】试题分析：
(1)利用题意结合平均数，众数，方差等讨论所给的数据即可；
(2)结合互斥事件的结论可得乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率为0.6.
【解析】（1）①甲校得分的中位数为71.5，众数为58,59,67,72,86，乙校得分的中位数为83.5，众数为69和86，甲校得分的中位数小于乙校得分的中位数，甲校得分的众数大多数不大于乙校得分的众数；
②甲校得分的平均数小于乙校得分的平均数；
③甲校得分有居于内，而乙校得分全部居于内，对乙校的评分要高于甲校；
④甲校得分的方差大于乙校的方差，说明对乙校的评分较集中，满意度较高，对甲校的评分较分散，满意度较低.
（2）记事件为：乙校等，甲校等或等或等；
事件为：乙校等，甲校等或等；
事件为：乙校等，甲校等三种情况，则事件“乙校得分的等级高于甲校得分的等级”为，又因为事件两两互斥，
故，
即乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率为0.6.
9．【与频率分布直方图结合】某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量
频数
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量
频数
（1）作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.
【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；
（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
10．【与函数结合】在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
(1)求样本中患病者的人数和图中，的值；
(2)在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；
(3)某研究机构提出，可以选取常数（），若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）.
【答案】(1)样本患病人数为人，，；(2)；(3)，误判概率为.
【分析】（1）根据等比例原则求患者人数，由频率和为1，列方程求a、b的值；
（2）分别求出样本中指标检测值为4的未患病者、患病者人数，应用对立事件概率求法求概率；
（3）判断且对应的误判率，即可得结果.
（1）由题设，患病者与未患病者的比例为，故患者人数为人；
由直方图知：，可得，
，可得.
（2）由题意，指标检测值为4的未患病者有人，
指标检测值为4的患病者有人；
所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这2人中有患病者的概率的概率.
（3）所以100名样本中，，，
未患病者 6 21 15 9 6 3
患病者 0 0 4 8 12 16
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、33，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、18，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为12、9，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、24，误判率为；
综上，当时误判概率最小为.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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