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三角函数与解三角形的综合问题
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
【典例1】已知向量，，且函数.
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）在中，内角，，的对边分别为，，，角为锐角，，若，且的面积为.求的周长.
【解题指导】(1)数量积运算→解析式→求周期→对称中心
(2)条件化简得→正弦定理求a→面积公式求∠A→余弦定理求得b+c的值→求三角形的周长.
【详解】（1），
由，故最小正周期为.
由，∴，，
∴的对称中心为，.
【技巧】整体换元法求对称中心
（2）由于，
故，于是，又，解得.
，解得.故或（舍去）.
【易错题型】注意根据角的范围合理舍去.
由余弦定理，则
化简得：，∴，∴，
∴三角形的周长为.
1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.
2.与解三角形有关的交汇问题的关注点
（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.
（2）结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.
1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案
【详解】（1），
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为，所以，所以即，
由锐角可得，所以，
由正弦定理可得，
因为，所以所以，
所以的最大值为2.
2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，
(1)求的值及函数的对称轴方程；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；
（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1），
，
因为函数的两个相邻零点间的距离为，
所以函数的最小正周期为，因为，
所以，即，
令，所以对称轴为；
（2）由，
因为，所以，
因为，所以由正弦定理可知：，
所以三角形的周长为，
，
因为，所以，因此，
所以周长的取值范围为.
3．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．
(1)已知，求的值；
(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．
【分析】（1）先变形得到，再利用计算即可；
（2）先通过求出，再利用向量垂直求出，则也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周长.
【详解】（1），
，
；
（2）由（1）得，
则，
，又，
，
又向量与垂直，
，
即，又
，则，
由正弦定理，
则，
的周长为.
4．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数的最大值和最小正周期；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，为的面积.若且，求的值.
【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而根据正弦定理与面积公式得，根据得，进而代入即可得答案.
【详解】（1）解：，
所以，，
最小正周期为.
（2）解：因为，所以，
因为为锐角三角形，所以，
因为
所以，
因为，，
所以，
所以
所以，
5．（2023·上海静安·统考一模）平面向量，函数.
(1)求函数y=的最小正周期；
(2)若，求y=的值域；
(3)在△中，内角的对边分别为，已知，，求△的面积.
【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后求最小正周期即可；
（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；
（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可.
【解析】（1）
所以，
最小正周期为.
（2）设，，，
在上严格增，在上严格减，，，，所以=的值域为．
（3），即，
因为为三角形内角，所以．
，即，解得.
所以△的面积为.
6．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数的最大值和最小正周期；
(2)在锐角中，角所对的边分别为为的面积.若且求的最大值.
【分析】（1）根据三角恒等变换得，即可解决；（2）由题得，代入题中解决即可.
【详解】（1）由题知，
所以函数的最大值为，最小正周期为．
（2）由（1）得，
因为，
所以．
因为B为锐角，
所以．
因为，
所以，.
所以．
所以．
当时，原式有最大值．
所以的最大值为.
7．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，，设函数.
(1)若，求的值；
(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且________，求的取值范围.从下面两个条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答.
①；②；注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【分析】（1）结合向量坐标乘法及三角恒等变换，将化简成，再解方程求出的值即得解；
（2）结合正弦定理、三角恒等变换及三角形角的范围，可解出的值，即可求出的范围，即可求出的取值范围.
【详解】（1）解：因为，，
所以
，
当时，，
所以或.
所以或.
当，时，；
当时，.
综合得.
（2）解：若选①，
由正弦定理可得，
即，
即，
由于，所以，解得，
由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选②，
由正弦定理可得，
即，
由于，所以，由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
8．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量，定义函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数化为正弦型函数，即可求函数的最小正周期；
（2）根据函数，结合三角形解方程得角的大小，根据的面积公式结合余弦定理与基本不等式即可求长度的最大值.
【详解】（1）解：=
的最小正周期为
（2）解：
，，.
又AB，
.
由余弦定理得，当且仅当时，“=”成立，
=.
9．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数
(1)求函数的对称中心及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a，b，c，，，，D为边BC上一点，且，求AD的值．
【分析】（1）先由二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据整体代入法即可求得对称中心和单调区间；
（2）由正弦定理和余弦定理即可求解.
【详解】（1）函数
.
由，，解得，．
故对称中心为．
由，，解得，
令，有，令，有，又
所以所求的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
即
又在锐角中，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，解得，
又由余弦定理得，解得或2，
当BC=2时，，
此时为钝角三角形，与题设矛盾，
所以，又，所以，
在中，由余弦定理可得
，
故的值为.
10．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数
(1)求函数的对称中心及在上的单调递增区间；
(2)在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，，，求的值．
【分析】（1）由三角恒等变换得，再根据整体代换求解即可；
（2）结合（1）得，进而得，再根据余弦定理和已知条件得，，进而结合正弦定理求解即可.
【详解】（1）解：函数
．
由，，解得，
故所求对称中心为．
由，，解得，
令，有，令，有
又，
所以所求的单调递增区间为，
（2）解：因为，所以，即
又在中，
所以，即，
由余弦定理知，，
又
所以，解得，，
由正弦定理知，，
所以
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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三角恒等变换与解三角形综合问题
1.三角恒等变换与解三角形的综合问题是高考的热门考点，涉及的公式多、性质繁，知识点较为综合，主要涉及三角恒等变换、解三角形及三角函数与解三角形的开放、探究问题。
2.三角恒等变换与解三角形综合问题的答题模板
第一步 利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化
第二步 由三角方程或条件式求角
第三步 利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长
第四步 检验易错易混、规范解题步骤得出结论
3.常用的几个二级结论
（1）降幂扩角公式
（2）升幂缩角公式
（3）正切恒等式
若△为斜三角形，则有（正切恒等式）．
（4）射影定理
在中，．
【典例】(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]
(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]
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三角恒等变换与解三角形综合问题的一般步骤
1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求，.
2．（2023·安徽宿州·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
3．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角中，内角的对边分别为，且______．
(1)求；
(2)若，，求线段长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若．
(1)求角；
(2)若，求边上的高的取值范围．
5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的三边，若
(1)求∠C的大小；
(2)求的值．
6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在中，角所对的边分别为，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
7．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．
(1)求角C的值；
(2)若的面积，试判断的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且．
(1)求A的大小；
(2)若，求的面积．
9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
10．（2023·山东临沂·统考一模）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围．
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