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平面几何中的解三角形问题
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
【典例】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【解析】（1）【方法一】正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
【方法二】【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）【方法一】：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
【方法二】【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
【方法三】：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
【方法四】：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
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做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
1．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，已知，点E在AB上且AE=2BE，．
(1)求的值；
(2)求的周长．
【分析】（1）在中利用正弦定理求解即可，
（2）在中利用锐角三角函数的定义求出，在中利用余弦定理求出的长，从而可求出的周长
【详解】（1）由题知，，在中，由正弦定理得，
因为，，，
所以．
（2）因为,
所以，
所以，
所以，
在中，因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以的周长为．
2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．
(1)当时，求OP的长；
(2)当面积最大时，求．
【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；
（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.
【详解】（1）由题意，
在中，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
∴，，
在中，，，
由正弦定理，
，
解得：
（2）由题意及（1）知，，，
在中，，，
由余弦定理，
，
即，
即，
∴，当且仅当时，等号成立，
又，
∴当且仅当时，的面积最大，此时，
∴．
3．（2023·山东日照·统考一模）已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且.
(1)求角B；
(2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，又，可得，结合二倍角公式可求得结果；
（2）由题意可知为等边三角形，设，则，由余弦定理得，设，所以，利用基本不等式可求得答案.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理边角互化得，
因为，所以，即，所以，
因为，所以，所以，
所以，即.
（2）因为，所以为等边三角形，即，
设，则，
所以在中，由余弦定理得，整理得，
设，所以，
由于，故，
所以，当且仅当时等号成立，此时，
所以AD的最小值为．
4．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
【分析】（1）由正弦定理可将转化为，结合角度关系转化得，即可证得；
（2）由为的角平分线，，可得，根据面积公式可求得，再由三角形为锐角三角形可得的范围，由平方公式二倍角公式可得的值，根据和差公式得的值，由余弦定理求得，再根据正弦定理的的值即可.
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得：
，又，
所以，整理得．
又，则，即.
（2）因为为的平分线，且，
所以，则，
所以，可得，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，所以，
由正弦定理得.
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，，，AC与BD相交于点E，，.
(1)求AE的长；
(2)求的面积.
【分析】（1）在中，由余弦定理求得，在中再用余弦定理求得；
（2）在中求得，从而得到，将分为和，分别求解面积，再相加.
【详解】（1）在中，，
则，
由，得，
在等腰中，，
在中， ，
故.
（2）由，得，
因为，，所以，
则,,
所以，
.
所以.
故的面积为.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在中，D为边BC上一点，，，，.
(1)求的大小；
(2)求的面积.
【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；
（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.
【详解】（1）在中，，
又，所以 ；
（2）在中，，
则 ，
因为，所以，
在中，，则 ，
，
在中，因为，所以，
则 ，
故.
7．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）如图，在梯形中，，．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；
（2）设，在和中使用正弦定理，联立得到，由正弦和角公式得到，从而得到，求出的值.
【详解】（1）在中，
，
即，解得：，当且仅当时取等号．
故周长的最大值是9．
（2）设，则，．
在中，，
在中，，两式相除得，，
因为，
∴，故．
8．（2023·湖北·校联考模拟预测）在中，，点D在边上，.
(1)若，求的值，
(2)若，且点D是边的中点，求的值.
【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；
（2）作出辅助线，得到，由余弦定理求出，从而求得答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，
所以，解得或，
经检验均符合要求；
（2）在中，过D作的平行线交于E，
因为点D是边的中点，所以点E为AC的中点，
在中，，
又，所以.
由余弦定理得：，
所以，所以或（舍去），
故.
9．（2023·全国·模拟预测）如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.
(1)若，求的长；
(2)求四边形面积的最大值.
【分析】（1）直接利用余弦定理计算求解即可；
（2）四边形面积分成两个三角形，利用三角形面积公式表示出它们的面积，然后利用辅助角公式和正弦函数性质进行求解.
【详解】（1）在中，，由余弦定理得，解得.
（2）在中，，由余弦定理得.
因为，.
所以四边形的面积.
因为，故，根据正弦函数的最值可知，所以，即当时，四边形面积取到最大值.
10．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边BC上，且．
(1)求BD；
(2)求的面积．
【分析】（1）由求出，再由正弦定理即可求出BD
（2）根据余弦定理可求出，进而求出的面积.
【详解】（1）在中，，则，，
所以，
由正弦定理可得：，则.
（2）在中，由余弦定理可得：，
解得：.
所以的面积.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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平面几何中的解三角形问题
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
【典例】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【解析】（1）【方法一】正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
【方法二】【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）【方法一】：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
【方法二】【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
【方法三】：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
【方法四】：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
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做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
1．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，已知，点E在AB上且AE=2BE，．
(1)求的值；
(2)求的周长．
2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．
(1)当时，求OP的长；
(2)当面积最大时，求．
3．（2023·山东日照·统考一模）已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且.
(1)求角B；
(2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
4．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，，，AC与BD相交于点E，，.
(1)求AE的长；
(2)求的面积.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在中，D为边BC上一点，，，，.
(1)求的大小；
(2)求的面积.
7．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）如图，在梯形中，，．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
8．（2023·湖北·校联考模拟预测）在中，，点D在边上，.
(1)若，求的值，
(2)若，且点D是边的中点，求的值.
9．（2023·全国·模拟预测）如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.
(1)若，求的长；
(2)求四边形面积的最大值.
10．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边BC上，且．
(1)求BD；
(2)求的面积．
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方法总结
模拟训练
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