中小学教育资源及组卷应用平台
三角函数中有关w的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成．
类型一．三角函数的周期T与ω的关系
【典例1】函数的最小正周期为，则
【答案】
【解析】因为函数的最小正周期为，，所以，
得，所以．
【解题技巧】解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系.
【跟踪训练】（2022福建厦门外国语高三模拟） 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A.98π B.π C.π D.100π
【答案】B
【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，
所以T＝·≤1，所以ω≥π.故选B.
类型二．三角函数的单调性与ω的关系
【典例2】若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，令，则，
即函数的单调递减区间为，
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，所以，.故选：D.
【解题技巧】若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解
【跟踪训练】（2022山东青州一中高三模拟）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，当时，，
由，有，，
有，得.故选：B
类型三．三角函数的对称性、最值与ω的关系
【典例3】（1）（2022苏州大学附中高三模拟）函数的图像沿轴向右平移个单位()，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的图象向右平移a个单位得的图象，所得图象关于轴对称，
所以, 因此a的最小正值为，故选D.
（2）已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
【答案】
【解析】显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.
【解题技巧】(1)若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值；(2)若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
【跟踪训练】
已知直线为函数图象的一条对称轴，的图象与直线的交点中，相邻两点间的最小距离为，那么函数（ ）
A． B．
C． D．.
【答案】D
【解析】由，得或，
所以相邻的两角的差为或，
所以相邻两点中距离较小的应满足，
又由，所以，故，
因为直线为图象的一条对称轴，所以，
解得，
因为，所以，故.故选D.
1．（2023·北京·高三校考强基计划）已知函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦函数的性质结合换元法可求正实数的取值范围.
【详解】根据题意，当时，有，
而函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点，
因此．
故选：D.
2．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行求解.
【详解】当时， ，
因为函数在区间上存在零点，
根据正弦函数图象可知，，解得，
又函数在区间上的值域为，
根据正弦函数图象可知，，解得，
所以的取值范围是，故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2023·甘肃武威·统考一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得，由得，由在上恰有2个零点，得 ，即可解决.
【详解】由题可知，，
先将函数的图象向右平移个单位长度，得，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，
当时，，
因为在上恰有2个零点，
所以，解得.
所以的取值范围为，
故选：B
4．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象恰好与函数的图象重合，则（ ）
A． B．
C．直线是曲线的对称轴 D．点是曲线的对称中心
【答案】D
【分析】根据三角函数图像变化结合诱导公式得出，即可得出与，判断选项AB；
根据三角函数解析式求出其对称轴与对称中心得出，即可判断选项CD.
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
则解析式变为，
则，即，故A错误；
而，故B错误；
，令，即为的对称轴，
令，解得，即直线不是曲线的对称轴，
故C错误；
令，即为的对称中心，
令，解得，故点是曲线的对称中心，
故D正确；
故选：D.
5．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
6．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由的范围求得的范围，结合在上的最大值为，分类求解得答案．
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．
再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，
由上，得，
当，即时，则，求得，
当，即时，由题意可得，
作出函数与的图象如图：
由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点，
则有唯一解，
综上，的取值个数为2．
故选：B．
【点睛】本题考查型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．
7．（2022秋·湖南·高二校联考期中）设函数，方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，得到.若方程恰有5个实数解，只需函数在区间上恰好有5个，使得，从而确定在上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立求解即可.
【详解】当时，，
因为函数在区间上恰好有5个，使得，
故在上恰有5条对称轴．令，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
故选：B．
8．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（ ）
A．17 B．16 C．15 D．13
【答案】C
【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可.
【详解】，，的一个对称中心为，
，，的对称轴方程，
有，解得，
又，所以，，为奇数，
在上单调，则，得，
由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止，
当时，，有，
得，由得，
此时，可以验证在上不单调，不符合题意；
当时，，有，
得，由得，
此时，可以验证在上单调，符合题意；
综上，的最大值为15.
故选：C．
9．（（多选题）2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考开学考试）函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】根据相邻两个最高点之间的距离为得到函数的最小正周期，从而求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】解：因为函数相邻两个最高点之间的距离为，
即函数的最小正周期为，故A正确；
所以，解得，则，
所以为奇函数，故B正确；
又，所以函数关于点对称，即C错误；
若，则，因为在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确；
故选：ABD
10．（多选题）（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）函数在区间上单调递增，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由且，可得出，根据正弦函数的单调性可得出，其中，确定的可能取值，即可得出的取值范围.
【详解】因为且，则，
因为函数在区间上单调递增，则，其中，
所以，，其中，解得，其中，
所以，，可得，，
因为，当时，；当时，，
所以，实数的取值范围是.
故选：ACD.
11．（多选题）（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）函数，以下正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若，且，则
C．当时，在单调且在不单调，则.
D．当时，若对任意的有成立，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】由函数周期公式可判断A；由题意得，结合函数周期公式可判断B；
若在单调，则且，结合得，则，验证题设条件可判断C；由题意得，即，求得最小值可判断D.
【详解】，，，故A错误；
，又，且，，，，故B正确；
当时，若在单调，则，
且，，又，，则，
由，得，此时在单调且在不单调，故C正确；
当时，，又因为对任意的有成立，则，即，当时，取最小值，故D正确．
故选：BCD.
12．（多选题）（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
【答案】AC
【分析】根据函数图象得到A=2，，再根据函数图象过点 ，求得，得到函数的解析式，然后再逐项判断即可.
【详解】由函数图象得：A=2，,
所以，
又因为函数图象过点 ，
所以，即 ，
解得 ，即 ，
因为，所以，
所以，
A. ，故正确；
B. ，故错误；
C. 因为，所以，故正确；
D.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，非奇非偶函数，故错误；
故选：AC.
13．（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考开学考试）函数，若在区间内无最值，则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，
由在区间上没有最值可知，
进而可知或，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.
【详解】函数，
由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足，
解得，
由题意可知，在区间上没有最值，则
则，，
所以或，
因为，解得或，
当时，代入可得或，
当时，代入可得或，
当时，代入可得或，此时无解.
综上可得或，即的取值范围为.
故答案为：.
14．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习），使得关于的不等式函数成立，则实数的取值范围是_________
【答案】
【分析】由三角恒等变化得出，再由的范围得出实数的取值范围.
【详解】因为
所以.
因为，所以.
要使得关于的不等式函数成立，只需.
故答案为：
15．（2023秋·江苏·高三统考期末）设函数，则使在上为增函数的的值可以为__________.（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据三角函数单调性求出函数在，上单调递增，使在上为增函数，令，，解得，则取0，此时函数的单调递增为，则，即可列式得出，即可得出答案.
【详解】，
令，，
解得，
即函数在，上单调递增，
而函数在上为增函数，
令，，解得，
，则取0，
此时函数的单调递增为，
则，
则，解得，
则使在上为增函数的的值的范围为，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
16．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是___．
【答案】
【分析】将变形，求出单调递增区间，将包含于单调递增区间列式即可.
【详解】解：，
令，，所以，．即单调递增区间为，，
所以只需，，解得，，
则，解得，又，所以，所以，即的取值范围是．
思路引导
母题呈现
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
利用导数研究恒(能)成立问题
用导数解决不等式“恒成立”“能成立”或“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题．
考法1 分离参数法求参数范围
【例1】已知函数.若对恒成立，求a的取值范围.
【解题指导】分离参数→构造函数→函数求导→分析在上的单调性→求的最小值解不等式求a的范围
【例2】(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝－(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数．若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
【解题指导】移项化简→分类讨论x→当分离参数→构造函数→求导，分析单调行参数的取值范围
【解题技法】一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．
【跟踪训练】(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．当x＞0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
考法2 等价转化法求参数范围
【例3】已知函数，
证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
【解题指导】有解
令
→函数求导→的单调性→列出不等式化简→说明有解
【例4】已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)，若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
【解题指导】移项化简→构造函数→函数求导→说明有解
令→函数求导→的单调性→列出不等式化简→说明有解
【解题技巧】根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围.
【跟踪训练】
设函数f(x)＝(1－x2)ex，当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．
考点3 拆解法求参数的取值范围
【例5】设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【解题指导】函数恒成立求导
确定在上单调性求→转化为恒成立→构造函数→函数求导，→利用单调性求→列不等式求参
【例6】（2022·湖南娄底一中高三模拟）设，g(x)=x3-x2-3.
（1）如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（2）如果对于任意的，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.
【解题指导】（1）构造函数
求导数，分析单调性求→得到结论
（2）函数恒成立根据（1）求恒成立恒成立→构造函数→函数求导，利用单调性求→列不等式求参
【解题技巧】“双变量”的恒(能)成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有
(1) x1，x2∈D，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(2) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(3) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【跟踪训练】
（2022·四川广安·模拟预测）已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正实数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若 x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围．
1．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若为正整数，对任意的都有成立，求的最小值.
2．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数，.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围.
3．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若对，，求实数的取值范围.
4．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知函数的图象与x轴有两个交点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设点，满足，且恒成立，求实数的取值范围．
5．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若，，求实数a的取值范围.
6．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明函数只有一个零点.
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
7．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)当时，若存在，使，求a的取值范围.
8．（2023·四川成都·成都七中校考二模）已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在，且时，.
9．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数，．
(1)求的单调区间与最值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若，判断的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.
思路引导
母题呈现
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
