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与三角形有关的最值、范围问题
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
(2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
类型一：求角(函数值)的最值(范围)
【典例1】(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，故，
由题意得.
（Ⅱ）由得，
由是锐角三角形得.
由得
.
故的取值范围是.
类型二：求边(周长)的最值(范围)
【典例2】(2020·全国卷Ⅱ)中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，①
由余弦定理得，②
由①，②得.
因为，所以.
（2）由正弦定理及（1）得，
从而，.
故.
又，所以当时，周长取得最大值.
类型三：求三角形面积的最值(范围)
【典例3】(2019·全国卷Ⅲ)的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【详解】解：（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sinA0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，
故0°
由（1）知A+C=180°B＝120°，
所以30°所以，从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
1.求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．
2.求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．
3.求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【分析】（1）利用余弦定理及代入已知条件进行化简得，再根据，从而求出角A的大小；
（2）由正弦定理得，然后由公式，转化为关于得函数进行求解.
【详解】（1）因为，
所以，
则，
即
又，
所以，即
又，所以
（2）因为，
所以，
因为为锐角三角形，
所以
解得 ，则
故，
即面积的取值范围为
2．（2022秋·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求得；
（2）由锐角三角形求得的范围，利用正弦定理把用表示，利用三角函数的恒等变换及正切函数性质得的范围，从而可得三角形面积范围．
【详解】（1）∵，∴结合正弦定理有．
∵，∴，∴，即，
∴．
∵，∴，∴，∴，
∴，即．
（2）∵为锐角三角形，∴，，∴，．
．
由正弦定理，得．
∵，∴，∴，∴，
故的面积的取值范围是．
3．（2022春·云南红河·高二统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若的面积为，求b的最小值．
【分析】（1）利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，化简后可求出角，
（2）由三角形面积可求得，然后利用余弦定理结合重要不等式可求出b的最小值
【解析】（1）由及正弦定理得:
即
又，，所以
由得；
（2）由得
所以
在△中，由余弦定理得：
由重要不等式得
所以 ，
当且仅当时，取得最小值2.
4．（2022春·安徽阜阳·高一统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___．
(1)求角B的大小；
(2)若三角形ABC为锐角三角形，且，求三角形ABC周长的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）选择条件①．利用正弦定理求出，即可求出；选择条件②．利用正弦定理求出，即可求出；选择条件③．利用正弦定理和余弦定理求得，即可求出.
（2）利用正弦定理表示出，得到，利用三角函数求最值.
【解析】（1）选择条件①．
由及正弦定理，可得
因为，所以
因为，所以
选择条件②．
由及正弦定理，可得，
即，
即．
在三角形ABC中，，
所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以
选择条件③．
由及正弦定理，可得，
所以，．
由余弦定理，得．
因为，所以．
（2）由正弦定理得，
从而．
所以．
由于三角形ABC为锐角三角形，所以，
又，所以，．
从而．
因此，三角形ABC周长的取值范围是．
5．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形中，四点共圆，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
【分析】（1）由四点共圆求出，在中，由余弦定理求出，在中，由正弦定理求出；
（2）在第一问的基础上，结合余弦定理和基本不等式得到，从而得到周长的最大值.
【详解】（1）因为四点共圆，所以，
因为，所以，
因为，
故，
在中，由余弦定理得：，
故，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：；
（2）由（1）知：，，
在中，由余弦定理得：，
整理得：，故，
其中，故，
解得：，当且仅当时，等号成立，
故四边形周长的最大值为.
6．（2022秋·福建宁德·高三校考期中）的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
【分析】（1）首先利用诱导公式化简，再结合同角的三角函数关系式的求出关于的方程，即可求解.
（2）首先利用余弦定理得到，再利用基本不等式即可求解周长的最大值.
【详解】（1）因为，所以，即，
解得，又，所以；
（2）由余弦定理得：.
即.
∵（当且仅当时取等号），
∴，
解得：（当且仅当时取等号），
∴周长，∴周长的最大值为9.
7．（2022秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）的角，，的对边分别为，，，且的面积为.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【分析】（1）利用余弦定理和三角形的面积公式即可求出；（2）把转化为，利用的性质求出的范围，即可求得.
【详解】（1）由余弦定理可知：，
∴的面积.
而，∴，即.
由于，∴
（2）
，
∵，
∴，
由的性质可知：.
∴的取值范围是.
8．（2022春·河北石家庄·高一校考阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的取值范围．
【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式求出，即可求解；
（2）由余弦定理与三角形面积公式即可求解；
（3）把边化为角利用三角函数的值域求解即可
【详解】（1）∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
又，
∴，
，
；
（2）∵，
，
∴，
∴；
（3）由正弦定理可得：，
，
其中，，，为锐角，
因为为锐角三角形，则，
从而，得，
，
所以，，
所以，从而的取值范围为
9．（2023春·北京·高一北京八十中校考期中）在中，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）求的最大值．
【分析】（Ⅰ）利用及诱导公式可得，进一步可得即可得到角B；
（Ⅱ）由余弦定理得到，结合可得的范围，进一步得到b的范围；
（Ⅲ）由正弦定理可得，，，又由余弦定理及基本不等式得到，即，代入中即可得到答案.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，
所以，
即，
又，，所以，
即，因为，所以.
（Ⅱ）由余弦定理，得
，因为，所以，
即，所以的取值范围为.
（Ⅲ）由正弦定理，得，
所以，，所以，
又由余弦定理可得，当且仅当
时，等号成立，所以.
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，两角和的余弦公式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
10．（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理得，结合，求出；
（2）由正弦定理得到，从而得到，结合，求出，得到的取值范围.
【详解】（1）由，得：
由正弦定理得：
又，所以，
故，即，则；
（2）由正弦定理得：
所以
又因为，所以，又，故，
故，则，所以
故的取值范围为．
11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形中，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
【分析】（1）分析可知为等边三角形，求出的长，以及，利用正弦定理可求得的长；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得四边形周长的最大值.
【详解】（1）解：连接，
因为，，故为等边三角形，，
，则，
由正弦定理得，所以，.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，，当且仅当时，等号成立.
因此，四边形周长的最大值为.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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与三角形有关的最值、范围问题
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
(2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
类型一：求角(函数值)的最值(范围)
【典例1】(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，故，
由题意得.
（Ⅱ）由得，
由是锐角三角形得.
由得
.
故的取值范围是.
类型二：求边(周长)的最值(范围)
【典例2】(2020·全国卷Ⅱ)中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，①
由余弦定理得，②
由①，②得.
因为，所以.
（2）由正弦定理及（1）得，
从而，.
故.
又，所以当时，周长取得最大值.
类型三：求三角形面积的最值(范围)
【典例3】(2019·全国卷Ⅲ)的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【详解】解：（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sinA0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，
故0°由（1）知A+C=180°B＝120°，
所以30°所以，从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
1.求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．
2.求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．
3.求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
2．（2022秋·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
3．（2022春·云南红河·高二统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若的面积为，求b的最小值．
4．（2022春·安徽阜阳·高一统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___．
(1)求角B的大小；
(2)若三角形ABC为锐角三角形，且，求三角形ABC周长的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
5．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形中，四点共圆，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
6．（2022秋·福建宁德·高三校考期中）的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
7．（2022秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）的角，，的对边分别为，，，且的面积为.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
8．（2022春·河北石家庄·高一校考阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的取值范围．
9．（2023春·北京·高一北京八十中校考期中）在中，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）求的最大值．
10．（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范围．
11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形中，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
思路引导
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方法总结
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