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错位相减求和
1.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
2.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
掌握解题“三步骤”
4.四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
【典例】(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式； [切入点：设基本量q]
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. [关键点：bn＝n·]
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1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
2.错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
1．（2023·陕西安康·统考二模）已知公比大于1的等比数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据等比数列的通项公式列方程求解的值，即可得数列的通项公式；
（2）求得，直接按照错位相减法的步骤计算的前项和即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，又，，
所以，两式相除得，解得或（舍），则，
所以的通项公式为
（2）由（1）可得，所以
则
两式相减
∴
2．（2023·四川·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程
问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且__________
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和
【答案】(1)条件选择见解析，；(2)
【分析】（1）分别选①，②，利用基本量代换列方程组，求出公差，即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法求解.
【详解】（1）选①：设的通项公式为.
因为，，
所以，解得：，所以；
选②：依题意可得解得
故
（2）由（）知，，
则，
所以，
所以
，
故
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记为数列的前n项和，求，并证明：当时，．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)利用递推式相减得出，并验证首项符合通项，最后得出答案；
(2)错位相减法求前n项和
【详解】（1），①
则，②
①-②得 ，则，
当n=1时，由①得 ，
∴，
∴.
（2）易得，
，①
，②
②-①得
，
故，
当时，
4．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列 的前 项和为 ， 且 ， __________．请在 成等比数列; ， 这三个条件中任选一个补充在上面题干中， 并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和 ， 求证： ．
【答案】(1)任选一条件，都有 ；(2)证明见解析
【分析】（1）根据得到数列 是首项为 ， 公差为 1 的等差数列，然后利用等差数列的通项公式或前项和公式列方程求解即可；
（2）利用错位相减法得到，即可得到，然后根据得到数列是递增数列，即可得到.
【详解】（1）因为， 所以 ， 即 ，
所以数列 是首项为 ， 公差为 1 的等差数列， 其公差 ．
若选，
由， 得 ， 即，
所以， 解得 ，
所以， 即数列 的通项公式为；
若选，，成等比数列，
由，，成等比数列， 得 ，
则， 所以 ， 所以；
若选，
因为，所以 ， 所以 ，
所以.
（2）由题可知，所以，
，
两式相减得
，
所以，
所以，又，
所以数列是递增数列，，故.
5．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）由已知可得当时，，进而得，可求数列的通项公式；
（2）若选①：．错位相减法可求．若选②：，可求．若选③：，分组求和可求．
【详解】（1）当时，，，
，，，
当时，．．，
，数列是以，3为公比的等比数列，
．
（2）若选①：，
，
，
，
．
若选②：，
．
若选③：，
．
6．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）已知数列中，前n项的和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)如果恒成立，求最小值.
【答案】(1)；(2)3
【分析】（1）由得，两式相减将转化为可得到数列是等比数列；
（2）使用错位相减求和法求出，解不等式即可.
【详解】（1）①，②，
①-②得，即
所以数列是以为公比的等比数列，
又，即，
所以
（2），
则
所以，
两式相减，得
得
所以，
解不等式得
7．（2023·湖南株洲·统考一模）数列满足，.
(1)若，求证：是等比数列.
(2)若，的前项和为，求满足的最大整数.
【答案】(1)证明见解析；(2)98
【分析】（1）由已知得，可得，进而得证；
（2）利用错位相减结合分组求和可得，结合二项式定理进行放缩，进而得解.
【详解】（1），，，
由已知可得，
，
，
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
所以，
设，数列的前项和为，
则①，
②，
①②得，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
即，
所以，
所以，，
所以满足的最大整数为
8．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；；(2).
【分析】（1）利用与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即得；
（2）利用错位相减法求出，然后分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由有，两式相减可得，
即是以为首项，以为公比的等比数列，
所以．
（2）由得，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
由，得，
即恒成立．
当时，，所以；
当时，不等式恒成立；
当时，，所以；
综上，．
9．（2022·山东烟台·统考三模）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）将代入化简可得为等差数列，进而可得结果；
（2）利用错位相减法求出，再利用分离参数的思想即可得结果.
（1）当时，，所以，，整理得：，即.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以，即.
（2）由（1）知，，所以，①所以，②①-②得，，所以，，所以，，所以，即，即，因为，当且仅当时，等号成立，所以.
10．（2022·陕西西安·西安中学校考一模）已知数列的前项和是，且，数列的前项和是，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，证明：．
【答案】(1)；；(2)证明见解析
【分析】（1）由，结合，求得的通项公式；又由，得到，两式相减得到，结合等比数列的定义，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）知，结合乘公比错位相减法求和，求得，即可得到结论.
【解析】由，得，
所以，
当时，满足上式，所以；
由，可得，
两式相减可得：，所以，即，
令，可得，所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，可得，
故数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
设，
则，
，
两式相减可得
，
所以，因为，可得
即．
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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错位相减求和
1.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
2.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
掌握解题“三步骤”
4.四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
【典例】(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式； [切入点：设基本量q]
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. [关键点：bn＝n·]
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1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
2.错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
1．（2023·陕西安康·统考二模）已知公比大于1的等比数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求的前项和.
2．（2023·四川·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程
问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且__________
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记为数列的前n项和，求，并证明：当时，．
4．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列 的前 项和为 ， 且 ， __________．请在 成等比数列; ， 这三个条件中任选一个补充在上面题干中， 并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和 ， 求证： ．
5．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）已知数列中，前n项的和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)如果恒成立，求最小值.
7．（2023·湖南株洲·统考一模）数列满足，.
(1)若，求证：是等比数列.
(2)若，的前项和为，求满足的最大整数.
8．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围．
9．（2022·山东烟台·统考三模）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
10．（2022·陕西西安·西安中学校考一模）已知数列的前项和是，且，数列的前项和是，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，证明：．
思路引导
母题呈现
方法总结
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