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分组转化法求和
1．分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
2．分组转化法求和的常见类型
3.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
4.四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
【典例】（2021 新高考ⅠT17）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
审题路线图
（1）由的通项公式→求，→得，→由→数列是等差数列→数列的通项公式
（2）由的通项公式→数列的奇数项为等差数列→数列的偶数项为等差数列→分组求解．
【解析】（1）因为，，
所以，，，……………………1分
所以，，……………………2分
，，……………………4分
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，……………………5分
所以．……………………6分
（2）由（1）可得，，
则，，……………………7分
当时，也适合上式，
所以，，……………………8分
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，……………………9分
则的前20项和为……………………10分
……………………12分
评分细则 第(1)问：由的通项公式求，得1分；求出，得1分；整理出得2分，说明数列是以为首项，以3为公差的等差数列得1分，利用通项公式求出得1分.
第(2)问：利用得到得1分，验证当时的情况得1分，注意这里容易丢分，说明数列的奇数项和偶数项分别为等差数列得1分，对前20项分组得一分，利用等差数列求和，计算准确得2分
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
2.若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
1．（2023·甘肃武威·统考一模）设等比数列的前项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求，即可得结果；
（2）利用分组求和可求得，再结合函数单调性证明.
【详解】（1）设数列的公比为，
∵，则，解得，
故.
（2）由（1）知，
所以
∵在上单调递增，则数列为递增数列，
∴当时，，
故当时，.
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；
（2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和．
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【分析】（1）根据等差数列的性质，结合因式分解法、等比数列的定义进行求解即可；
（2）利用分组法，结合等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】（1）∵，∴.
又∵，∴，即，
∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，
∴，即，解得.∴；
（2）由（1）可知，∴
∴
.
4．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和．
【分析】（1）用数列中前项和与项的关系求解；
（2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和.
【详解】（1）由题意
当时，；
当时，
两式相减得，
所以，当时也成立．
所以数列的通项公式.
（2）根据题意，得
所以
所以
5．（2022·上海虹口·统考一模）在等差数列中，，且，，构成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
【分析】（1）将全部用代换，结合等比性质可求的通项公式；
（2）化简得，结合分组求解法求出，由的单调性可求的最小值．
【详解】（1）设等差数列的公差为，则由，，成等比数列及，
得，即，解得．
当时，，，构成等比数列，符合条件；
当时，，，不能构成等比数列，不符合条件．
因此，于是数列的通项公式为；
（2）由（1）知，故，所以
易知在正整数集上严格递增，且，．
故满足的正整数的最小值为6．
6．（2022·四川成都·统考一模）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若__________，求数列的前项和.
（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）
【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式分析运算；（2）选①：利用裂项相消法求和；选②：根据并项求和法分析运算，注意讨论项数的奇偶性；选③：利用分组求和法，结合等差、等比数列求和运算.
【详解】（1）∵，则，即
故数列是首项和公差都为2的等差数列，
∴，即
（2）选①：∵，
∴.
选②：
∵，则有：
当时，；
当时，；
∴.
选③：∵，
∴.
7．（2022·全国·模拟预测）在①，②，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.
问题：已知等比数列的前项和为，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为，且，求的值.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【分析】（1）选条件①②：结合等比数列的通项公式将条件化为基本量和的关系，即可求解；
选条件①③：根据数列为等比数列，可结合其性质得到，再将条件化为基本量和的关系，再结合即可求解；
选条件②③：根据数列为等比数列，可结合其性质得到，与都化为基本量和的关系，解方程组即可求解.
（2）根据等比数列的求和公式可求出，再利用分组求和即可表示出，即可建立方程求解.
【详解】（1）解：选条件①②：
设数列的公比为，则，所以，
所以.
选条件①③：
设数列的公比为，因为，数列为等比数列，
所以，
得，
化简可得，得.
所以.
选条件②③：
设数列的公比为，因为数列为等比数列，
所以，
得，
化简可得，
因为，所以.
因为，所以，
所以.
（2）根据等比数列求和公式可得，
利用分组求和，可得.
所以，得.
8．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求．
【分析】（1）选①：先计算出，得到前项和公式，进而计算出方差和通项公式；
选②：得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，求出通项公式；
选③：根据等比中项，列出方程，求出公差，通项公式；
（2）在第一问的基础上，计算得到数列的通项公式，进而利用分组求和计算出前n项和.
【详解】（1）选①．易得，解得：，即，
所以，即，故，
所以．
选②．易得，所以，
所以．
选③．易得，即，解得：（舍去），
所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以
．
9．（2021·广东揭阳·校考二模）已知数列中，，．
(1)证明：数列和数列都是等比数列；
(2)若数列的前项和为，令，求数列的最大项.
【分析】（1）数列中，，，，可得，利用等比数列的定义即可得出．
（2）由（1）得，利用等比数列的求和公式、单调性即可得出．
【详解】（1）证明：数列中，，，
，
，
，，，
数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
数列是以为首项，以为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得
．
，，
，
，
．
10．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知递增数列的前项和为，且，数列满足，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据的关系，可得是等差数列，由等比中项可得为等比数列，进而根据基本量即可求解.（2）将分为奇数项和偶数项的和，根据分组求和即可得，然后代入不等式中，求最值，即可得的取值范围.
【详解】（1）解：因为，当n=1时，得，当时，，所以，即，
又因为数列为递增数列，所以，
数列为等差数列， ，d=1,
所以；
所以，
又因为
所以数列为等比数列，
所以，解得，
所以.
（2）由题意可知： ，
所以,故 ，
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为
所以
当为奇数时，
所以
当为偶数时，所以，故故，即
当为偶数时，对一切偶数成立，所以
当为奇数时，对一切奇数成立，所以此时
故对一切恒成立，则
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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分组转化法求和
1．分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
2．分组转化法求和的常见类型
3.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
4.四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
【典例】（2021 新高考ⅠT17）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
审题路线图
（1）由的通项公式→求，→得，→由→数列是等差数列→数列的通项公式
（2）由的通项公式→数列的奇数项为等差数列→数列的偶数项为等差数列→分组求解．
【解析】（1）因为，，
所以，，，……………………1分
所以，，……………………2分
，，……………………4分
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，……………………5分
所以．……………………6分
（2）由（1）可得，，
则，，……………………7分
当时，也适合上式，
所以，，……………………8分
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，……………………9分
则的前20项和为……………………10分
……………………12分
评分细则 第(1)问：由的通项公式求，得1分；求出，得1分；整理出得2分，说明数列是以为首项，以3为公差的等差数列得1分，利用通项公式求出得1分.
第(2)问：利用得到得1分，验证当时的情况得1分，注意这里容易丢分，说明数列的奇数项和偶数项分别为等差数列得1分，对前20项分组得一分，利用等差数列求和，计算准确得2分
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
2.若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
1．（2023·甘肃武威·统考一模）设等比数列的前项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，.
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
.
4．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和．
5．（2022·上海虹口·统考一模）在等差数列中，，且，，构成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
6．（2022·四川成都·统考一模）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若__________，求数列的前项和.
（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）
7．（2022·全国·模拟预测）在①，②，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.
问题：已知等比数列的前项和为，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为，且，求的值.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
8．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求．
9．（2021·广东揭阳·校考二模）已知数列中，，．
(1)证明：数列和数列都是等比数列；
(2)若数列的前项和为，令，求数列的最大项.
10．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知递增数列的前项和为，且，数列满足，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
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