中小学教育资源及组卷应用平台
数列中的新定义问题
高考对创新能力的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念，定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖、有一定深度和广度的问题．要增加研究型、探索型、开放型的试题，考查考生发散性思维和创造性思维．
【典例1】（2022·浙江省春晖中学模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和.
【解题指导】（1）由→→两式相减得的奇数项和偶数项各自成等差数列→求通项
（2）的表达式→→求得→结合区间确定m的值→求和
【解析】（1）因为，所以当 时，，
故两式相减得： ，
【易错提醒】注意下标，的奇数项和偶数项各自成等差数列
即的奇数项和偶数项各自成等差数列，且公差为2，且，
所以奇数项 ，则为奇数时， ，
偶数项，则为偶数时， ，
故数列的通项公式为；
由（1）可得，，
所以，
设,故 ，
令，则 ，由于m是整数，故m的值取1，2，3，4，5，
【技巧】根据幸福数，确定m的取值
故区间内所有“幸福数"的和为 .
解决数列中新定义中的数列问题的一般流程:
(1)读懂定义,理解新定义数列的含义;
(2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论;
(3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案;
(4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解.
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（ ）
A．2023 B．2021 C．1011 D．1013
2．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(多选题）（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．是平方等差数列
B．若是平方等差数列，则是等差数列
C．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
D．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
秋·吉林长春·高二校考期末）设为数列的前项和，若等于同一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．则下列结论正确的是（ ）
A．存在等比数列为“和等比数列”
B．非等差、等比数列不可能为“和等比数列”
C．任意一个等比数列一定是“和等比数列”
D．若各项都是正数且公比是的等比数列，满足，则数列为“和等比数列”
5．（2022·江苏·高二期末）定义各项为正数的数列的“美数”为.若各项为正数的数列的“美数”为，且，则______.
6．（2023秋·河北保定·高三统考期末）数列的前n项和为满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，在数列中别除掉属于数列的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列，求数列的前100项和．
7．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足．记的前n项和为．
(1)求；
(2)设，若表示不小于x的最小整数，如，试判断是否存在正整数n，使得？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说出理由．
8．（2023·高二课时练习）如果有穷数列，，，…，（为正整数）满足条件，，…，，即，我们称其为“对称数列”.例如，由组合数，，…，组成的数列就是“对称数列”.
(1)设是项数为7的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，，依次写出的每一项；
(2)设是项数为（正整数）的“对称数列”，其中，，…，是首项为50，公差为的等差数列.记各项的和为，当为何值时，取得最大值？并求出的最大值.
9．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.
(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;
(2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
10．（2021秋·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知数列为等差数列，公差为，前项和为.
(1)若，求的值；
(2)若首项中恰有6项在区间内，求的范围；
(3)若首项，公差，集合，是否存在一个新数列，满足①此新数列不是常数列；②此新数列中任意一项；③此新数列从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数叫做数和数的调和平均数).
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
数列中的新定义问题
高考对创新能力的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念，定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖、有一定深度和广度的问题．要增加研究型、探索型、开放型的试题，考查考生发散性思维和创造性思维．
【典例1】（2022·浙江省春晖中学模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和.
【解题指导】（1）由→→两式相减得的奇数项和偶数项各自成等差数列→求通项
（2）的表达式→→求得→结合区间确定m的值→求和
【解析】（1）因为，所以当 时，，
故两式相减得： ，
【易错提醒】注意下标，的奇数项和偶数项各自成等差数列
即的奇数项和偶数项各自成等差数列，且公差为2，且，
所以奇数项 ，则为奇数时， ，
偶数项，则为偶数时， ，
故数列的通项公式为；
由（1）可得，，
所以，
设,故 ，
令，则 ，由于m是整数，故m的值取1，2，3，4，5，
【技巧】根据幸福数，确定m的取值
故区间内所有“幸福数"的和为 .
解决数列中新定义中的数列问题的一般流程:
(1)读懂定义,理解新定义数列的含义;
(2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论;
(3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案;
(4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解.
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（ ）
A．2023 B．2021 C．1011 D．1013
【答案】D
【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差求出通项，判断为等差数列，即可求解.
【详解】由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
当时，，即，也适合，
综上，，
因为
所以是以2为首项，公差为1的等差数列，
所以，所以.
故选：D.
2．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，利用作差法求出，则，利用错位相减法计算可得.
【详解】解：因为且，
所以①，
当可得，
当时②，
①②得，显然当时上式也成立，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
故选：D
3．(多选题）（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．是平方等差数列
B．若是平方等差数列，则是等差数列
C．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
D．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
【答案】BD
【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，当为奇数时，则为偶数，所以，
当为偶数时，则为奇数，所以，
即不符合平方等差数列的定义，故错误；
对于B，若是平方等差数列，则为常数），即是首项为，公差为的等差数列，故正确；
对于C，若是平方等差数列，则为常数），
则，
即，
当为等差数列时，，则为平方等差数列，
当不为等差数列时，则不为平方等差数列，故错误；
对于D，因为是平方等差数列，所以，
把以上的等式相加，得，
，则，即数列是平方等差数列，故正确；
故选:BD
4．(多选题）（2023秋·吉林长春·高二校考期末）设为数列的前项和，若等于同一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．则下列结论正确的是（ ）
A．存在等比数列为“和等比数列”
B．非等差、等比数列不可能为“和等比数列”
C．任意一个等比数列一定是“和等比数列”
D．若各项都是正数且公比是的等比数列，满足，则数列为“和等比数列”
【答案】AD
【分析】A选项，可举出实例；BC可举出反例；D选项，求出，利用定义得到为等差数列，公差为，利用等差数列去和公式得到，求出，得到结论.
【详解】A选项，当等比数列公比为1时，不妨设，则，
故，为同一个非零常数，故存在等比数列为“和等比数列”，A正确；
B选项，例如循环数列，非等差、等比数列，满足，为“和等比数列”，B错误；
C选项，如，为等比数列，但，故不是同一个非零常数，不是“和等比数列”，C错误；
D选项，，故，
则，所以为等差数列，公差为，
故，，
则，为同一个非零常数，数列为“和等比数列”，D正确.
故选：AD
5．（2022·江苏·高二期末）定义各项为正数的数列的“美数”为.若各项为正数的数列的“美数”为，且，则______.
【答案】
【分析】首先利用“美数”的定义，得到，再求数列的通项公式，并得到，最后利用裂项相消法求和.
【详解】因为各项为正数的数列的“美数”为，
所以.
设数列的前项和为，
则，
所以.
当时，，
所以，满足式子，
所以.
又，所以，
所以
.
故答案为：.
6．（2023秋·河北保定·高三统考期末）数列的前n项和为满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，在数列中别除掉属于数列的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列，求数列的前100项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)根据前项和求的通项;
(2)根据和的项,把剩余的项从小到大排列,新的数列前100项和可以由前105项的和减去前5项和得出.
【详解】（1）在中令，得，
∵，∴当时，，
两式相减得，∴，
∴数列是以1为首项，以3为公比为的等比数列，
∴．
（2）∵，
∴数列中的项都在数列中．
数列前5项： 3，9，27，81，243,在数列前105项中,这五项和为363
数列前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，
它们的和为
所以数列的前100项和为数列前105项的和减去3、9、27、81、243的和，
得：．
7．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足．记的前n项和为．
(1)求；
(2)设，若表示不小于x的最小整数，如，试判断是否存在正整数n，使得？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)；(2)存在，
【分析】（1）令n为偶数，得到，即可得到，，然后根据求即可；
（2）分为奇数和为偶数两种情况求，，然后根据新定义和求即可.
【详解】（1）当n为偶数时，，
∴，，
∴，
解得．
（2）当n为奇数时，，，两式相减得，
又，∴n为奇数时，；
当n为偶数时，，∴，
综上，，
∴，，
法一：，令，得，解得．
因此，存在正整数n，使得，n的取值集合为．
法二：令，则，即，
∴，∴．
因此，存在正整数n，使得，n的取值集合为．
8．（2023·高二课时练习）如果有穷数列，，，…，（为正整数）满足条件，，…，，即，我们称其为“对称数列”.例如，由组合数，，…，组成的数列就是“对称数列”.
(1)设是项数为7的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，，依次写出的每一项；
(2)设是项数为（正整数）的“对称数列”，其中，，…，是首项为50，公差为的等差数列.记各项的和为，当为何值时，取得最大值？并求出的最大值.
【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2；(2)当时，最大值为626
【分析】（1）根据等差数列通常公式得，解出即可得到数列的每一项；
（2）首先求出，而，代入即可.
【详解】（1）设的前4项公差为,则,
解得,数列为2,5,8,11,8,5,2.
（2）是首项为50,公差为的等差数列,
，
当时,取得最大值，其最大值为626.
9．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.
(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;
(2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)数列为“紧密”数列；理由见详解；(3)
【分析】（1）根据题意，得到，且，求解，即可得出结果；
（2）根据，求出，计算的范围，即可得出结论；
（3）先讨论，易得满足题意；再讨论，得到，，根据为“紧密”数列，得到或，分别根据这两种情况，计算的范围，即可得出结果.
【详解】（1）若数列为“紧密”数列，
则，且，
解得：，
即的取值范围为.
（2）数列为“紧密”数列；理由如下：
数列的前项和，
当时，；
当时，，
又，即满足，
因此，
所以对任意，，
所以，
因此数列为“紧密”数列；
（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，
当时，有，，
所以，，满足题意；
当时，，，
因为为“紧密”数列，
所以，
即或，
当时，
，
，
所以，满足为“紧密”数列；
当时，，不满足为“紧密”数列；
综上，实数的取值范围是.
10．（2021秋·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知数列为等差数列，公差为，前项和为.
(1)若，求的值；
(2)若首项中恰有6项在区间内，求的范围；
(3)若首项，公差，集合，是否存在一个新数列，满足①此新数列不是常数列；②此新数列中任意一项；③此新数列从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数叫做数和数的调和平均数).
【答案】(1)9900；(2)；(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由等差数列前n项和公式可得答案；
（2）由题可得为递增等差数列，设在中的6项为，则，据此可得答案；
（3）由题可得，.由所给信息可得，可得若存在，则为无穷数列，且为等差数列，后讨论两种情况下的存在性即可.
【详解】（1）因为，，又因为，
所以；
（2）由题可得为递增等差数列，设在中的6项为，则.
若，则，得不存在.
若，则，则，解得，
因，则，得.
（3）由题可得，.
假设存在，因从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数，
则为无穷数列，又由③，当，
，
得为等差数列，又，则.
若，其中，则此时为常数列，得是常数列.
这与不是常数列矛盾，则时，不存在这样的数列.
若，，其中.
则.
若，可得，又，则.
则，这与矛盾，
故时，不存在这样的数列；
若，可得，又，则.
则，这与矛盾，
故时，不存在这样的数列.
综上，不存在这样的数列.
【点睛】关键点点睛：本题涉及等差数列与数列新定义，难度较大.
问较为基础；（2）问关键在于由题目条件找到关于与d的不等式；（3）问首先由题目定义确定为无穷数列及为等差数列，再结合不是常数列与导出矛盾·
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
