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子数列问题
子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．
类型一：两数列的公共项
【典例1】(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【解题指导】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【解析】方法一 (观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
故前n项和为Sn＝＝
＝3n2－2n.
方法二 (引入参变量法)
令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，
则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.
以下同方法一．
类型二：奇数项、偶数项
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且4Sn，3Sn+1，2Sn+2成等差数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1＝0，bn+1﹣bn＝1，设cn，求数列{cn}的前2n项和.
【分析】（1）运用等差数列的中项性质可得3Sn+1＝2Sn+Sn+2，即2an+1＝an+2，根据等比数列的定义，通项公式可求；
（2）由等差数列的定义和通项公式，可得bn，求得cn，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和.
【解析】（1）由4Sn，3Sn+1，2Sn+2成等差数列，
可得6Sn+1＝4Sn+2Sn+2，即3Sn+1＝2Sn+Sn+2，
即2（Sn+1﹣Sn）＝Sn+2﹣Sn+1，
即2an+1＝an+2，又{an}为等比数列，所以等比数列{an}的公比为2，
又a1＝1，可得an＝2n﹣1，n∈N*；
（2）由b1＝0，bn+1﹣bn＝1，可得{bn}是首项为0，公差为1的等差数列，
则bn＝n﹣1，n∈N*，
cn，
所以{cn}的前2n项和为c1+c2+…+c2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
＝（1+4+16+…+22n﹣2）+（1+3+…+2n﹣1）
nn2.
类型三：分段数列
已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
解 (1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，
依题意有
解得a1＝2，q＝2或a1＝32，q＝(舍)，
所以an＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)方法一 由题意知，2n≤m，即n≤log2m，
当m＝1时，b1＝0.
当m∈[2k，2k＋1－1)时，bm＝k，k∈N*，
则S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋…＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)
＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37
＝480.
方法二 由题意知bm＝k，m∈[2k，2k＋1)，
因此，当m＝1时，b1＝0；
当m∈[2,4)时，bm＝1；
当m∈[4,8)时，bm＝2；
当m∈[8,16)时，bm＝3；
当m∈[16,32)时，bm＝4；
当m∈[32,64)时，bm＝5；
当m∈[64,128)时，bm＝6.
所以S100＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b100
＝0＋(1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(6＋6＋…＋6)
＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37
＝480.
所以数列{bn}的前100项和S100＝480.
1.数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
2.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
3.两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
4. 解决分段数列问题的关键是通过阅读、理解题意求分段数列的通项，要弄清楚为什么要分段，从什么地方开始分段．常见的题型有取整问题、求绝对值数列的和、添加部分数列或删除部分数列等．
1．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
【分析】小问1：设{an}的公比为，依题意列方程求解，即可得通项公式；
小问2：由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m<2n+1时，bm=n，即可求解{bm}的前100项和．
【解析】（1）设{an}的公比为q．由题设得a1q+a1q3=20，a1q2=8．解得q=(舍去)，或q=2，．
所以{an}的通项公式为an=2n．
（2）由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m<2n+1时，bm=n．所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.
（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.
【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）［方法一］：规律探索
由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
［方法二］【最优解】：
由题意，，即，当时，．
当时，，则
．
［方法三］：
由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，．
所以
．
所以数列的前100项和．
【整体点评】（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．
3．已知公比大于的等比数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
（3）求．
【分析】（1）由已知条件列方程组，求出，从而可求出等比数列的通项公式；
（2）由于，从而由的定义可得，，，，，，，，进而可求出的值；
（3）由于，所以利用等比数列的前项和公式可求得结果
【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，
依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为.
（2）由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个.
所以.
(2) 由于，
故
.
【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列基本量计算，考查等比数列的求和公式，考查计算能力，第2问中解题的关键是正确理解的定义，即为在区间中的项的个数，从而可求出数列的各项，进而可求出，属于中档题
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S5＝－20.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{an}与{bn}的公共项为am，记m由小到大构成数列{cn}，求{cn}的前n项和Tn.
【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）由等比数列的通项公式和数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，
由S4＝S5＝－20，得4a1＋6d＝5a1＋10d＝－20，
解得a1＝－8，d＝2，
则an＝－8＋2(n－1)＝2n－10；
（2）数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，
∴bn＝4·4n－1＝4n(n∈N*)，
又依题意2m－10＝4n，∴m＝＝5＋22n－1，
则Tn＝5n＋＝5n＋.
5．（2022·湖北·校联考模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值.
【分析】（1）根据，，即可得出答案；
（2）由（1），设，结合二项式定理可得数列的通项，再根据等比数列前项和公式即可得解.
【解析】（1）（1）由，
当时，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，
由，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以；
（2）设
，，为得正整数倍，
故当为奇数时，，故公共项为，
∴，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列，
则.
6．（2022秋·江苏南通·高三统考期末）已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）由及成等差数列建立等式求解即可；
（2）根据条件求出数列，再求和即可.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，d≠0，
由条件得
解之得
所以数列的通项公式为an＝4n－3．
（2）设4n－3＝3m，
则n＝＝＝，
当m＝2k，k∈N*时，(－1)m＋3＝4，所以N*，
当m＝2k－1，k∈N*时，(－1)m＋3＝2，所以N*，
所以，
所以．
7．（2022·高二课时练习）在①6Sn＝an2+3an﹣4；②an＝2an﹣1﹣3n+5，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}前n项和为Sn，满足a2＝2b2﹣1，a3＝b3+2，_____.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前70项和.
【分析】（1）选①利用与的关系，退一相减得到，再求；选②利用递推关系求出前2项，再根据等差数列基本量求出，然后再求；
（2）将与的大小按由小到大排列，再通过列举找到与在前70项中相等的项，从而找到满足条件的前70项，归纳出等差和等比数列各自的项数，在进行分组求和.
【解析】（1）选①6Sn＝an2+3an﹣4，
设正项等差数列{an}的公差为d（d＞0）和等比数列{bn}的公比为q，
可得n＝1时，6a1＝6S1＝a12+3a1﹣4，解得a1＝4，或a1＝-1（负的舍去），
当n≥2时，6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1﹣4，又6Sn＝an2+3an﹣4，
两式相减可得6an＝6Sn﹣6Sn﹣1＝an2+3an﹣4﹣an﹣12﹣3an+4，
化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，
由an＞0，可得an﹣an﹣1＝3，即d＝3，
由a2＝2b2﹣1，a3＝b3+2，可得a1+d＝2b1q﹣1，a1+2d＝b1q2+2，
即有b1q＝4，b1q2＝8，解得b1＝q＝2，
则an＝4+3（n﹣1）＝3n+1；bn＝22n﹣1＝2n；
选②an＝2an﹣1﹣3n+5，可得a2＝a1+d＝2a1﹣1，即a1＝d+1，
又a3＝a1+2d＝2a2﹣4＝2（a1+d）﹣4，即为a1＝4，d＝3，
由a2＝2b2﹣1，a3＝b3+2，可得a1+d＝2b1q﹣1，a1+2d＝b1q2+2，
即有b1q＝4，b1q2＝8，解得b1＝q＝2，
则an＝4+3（n﹣1）＝3n+1；bn＝22n﹣1＝2n；
（2）数列{cn}的前70项为数列{an}的前66项加上数列{bn}的前7项，
由通项公式可知；；，
故在前70项中有3项重复，所以需减去重复的4，16，64三项.
所以数列{cn}的前70项和为66×（4+198+1）84＝6869.
8．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【分析】（1）根据等差数列的性质，结合因式分解法、等比数列的定义进行求解即可；
（2）利用分组法，结合等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】（1）∵，∴.
又∵，∴，即，
∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，
∴，即，解得.∴；
（2）由（1）可知，∴
∴
.
9．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列满足：，求数列的前项和.
【分析】（1）首先判断数列为等比数列，数列是等差数列，求数列的通项公式，再根据条件求数列的首项，即可求得数列的通项公式；
（2）根据（1）的结果，利用分组转化法，利用等差，等比求和公式求和.
【详解】（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列.
所以由可得即，数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式：.
由，，成等差数列，得：，，，有.
（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.
.
10．（2022·四川乐山·统考一模）已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由条件可知，，得，，
所以，
等比数列中，，则，，
所以；
（2）,
对数列为奇数时，，
所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，
对数列为偶数，，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的前20项和为：
.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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子数列问题
子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．
类型一：两数列的公共项
【典例1】(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【解题指导】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【解析】方法一 (观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
故前n项和为Sn＝＝
＝3n2－2n.
方法二 (引入参变量法)
令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，
则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.
以下同方法一．
类型二：奇数项、偶数项
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且4Sn，3Sn+1，2Sn+2成等差数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1＝0，bn+1﹣bn＝1，设cn，求数列{cn}的前2n项和.
【分析】（1）运用等差数列的中项性质可得3Sn+1＝2Sn+Sn+2，即2an+1＝an+2，根据等比数列的定义，通项公式可求；
（2）由等差数列的定义和通项公式，可得bn，求得cn，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和.
【解析】（1）由4Sn，3Sn+1，2Sn+2成等差数列，
可得6Sn+1＝4Sn+2Sn+2，即3Sn+1＝2Sn+Sn+2，
即2（Sn+1﹣Sn）＝Sn+2﹣Sn+1，
即2an+1＝an+2，又{an}为等比数列，所以等比数列{an}的公比为2，
又a1＝1，可得an＝2n﹣1，n∈N*；
（2）由b1＝0，bn+1﹣bn＝1，可得{bn}是首项为0，公差为1的等差数列，
则bn＝n﹣1，n∈N*，
cn，
所以{cn}的前2n项和为c1+c2+…+c2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
＝（1+4+16+…+22n﹣2）+（1+3+…+2n﹣1）
nn2.
类型三：分段数列
已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
解 (1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，
依题意有
解得a1＝2，q＝2或a1＝32，q＝(舍)，
所以an＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)方法一 由题意知，2n≤m，即n≤log2m，
当m＝1时，b1＝0.
当m∈[2k，2k＋1－1)时，bm＝k，k∈N*，
则S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋…＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)
＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37
＝480.
方法二 由题意知bm＝k，m∈[2k，2k＋1)，
因此，当m＝1时，b1＝0；
当m∈[2,4)时，bm＝1；
当m∈[4,8)时，bm＝2；
当m∈[8,16)时，bm＝3；
当m∈[16,32)时，bm＝4；
当m∈[32,64)时，bm＝5；
当m∈[64,128)时，bm＝6.
所以S100＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b100
＝0＋(1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(6＋6＋…＋6)
＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37
＝480.
所以数列{bn}的前100项和S100＝480.
1.数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
2.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
3.两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
4. 解决分段数列问题的关键是通过阅读、理解题意求分段数列的通项，要弄清楚为什么要分段，从什么地方开始分段．常见的题型有取整问题、求绝对值数列的和、添加部分数列或删除部分数列等．
1．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
3．已知公比大于的等比数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
（3）求．
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S5＝－20.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{an}与{bn}的公共项为am，记m由小到大构成数列{cn}，求{cn}的前n项和Tn.
5．（2022·湖北·校联考模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值.
6．（2022秋·江苏南通·高三统考期末）已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
7．（2022·高二课时练习）在①6Sn＝an2+3an﹣4；②an＝2an﹣1﹣3n+5，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}前n项和为Sn，满足a2＝2b2﹣1，a3＝b3+2，_____.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前70项和.
8．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
9．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列满足：，求数列的前项和.
10．（2022·四川乐山·统考一模）已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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