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裂项相消法求和
1.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
2.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
3.四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
4.常见的裂项方式
（1）＝－；
（2）＝；
（3）＝
【典例】(2022·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；【切入点：求数列的通项公式】
(2)证明：＋＋…＋<2.【关键点：把拆成两项相减】
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1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
1．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．
2．（2023·山东日照·统考一模）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
3．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
(1)求出的表达式；
(2)求证：当时，．
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
5．（2022·云南红河·校考模拟预测）设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________．
条件①：；条件②：；条件③：．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和．
参考公式：．
6．（2023·四川内江·统考一模）数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
7．（2022·浙江·模拟预测）已知数列的通项公式为，为数列的前n项和.
(1)求；
(2)若对于，恒成立，求的取值范围.
8．（2022·四川自贡·统考一模）等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列为的前n项和，比较与的大小.
9．（2022·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
10．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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裂项相消法求和
1.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
2.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
3.四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
4.常见的裂项方式
（1）＝－；
（2）＝；
（3）＝
【典例】(2022·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；【切入点：求数列的通项公式】
(2)证明：＋＋…＋<2.【关键点：把拆成两项相减】
INCLUDEPICTURE "F:\\源文件\\2022\\二轮\\数学 新教材 人教\\专题三答题模板.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\苏德亭\\苏德亭2022\\大二轮\\数学 新教材 人教 二轮\\新建文件夹\\专题三答题模板.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\苏德亭\\苏德亭2022\\大二轮\\数学 新教材 人教 二轮\\word\\专题三 数列\\专题三答题模板.TIF" \* MERGEFORMATINET
1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
1．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．
【分析】（1）将代入已知式子可得是等差数列，进而得到的通项公式，再由与的关系求出的通项公式.
（2）由裂项相消求和可得，再由的单调性可求得其范围.
【详解】（1）因为，所以由，
得，所以，
所以，即．
在中，令n=1，得，所以a1=1．
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，即：．
当时，，
也适合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
所以，
因为bn＞0，所以随着n的增大而增大，所以，
又显然，所以，即的取值范围为．
2．（2023·山东日照·统考一模）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出的表达式，再验证的值是否满足的表达式，综合可得出数列的通项公式；
（2）计算得出，利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为，①
则当时，，即，
当时，，②
①②得，所以，
也满足，故对任意的，.
（2）证明：，
所以
．
，
，即结论成立.
3．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
(1)求出的表达式；
(2)求证：当时，．
【分析】（1）归纳得出，然后利用累加法可求得的表达式；
（2）当时，可得出，利用裂项相消法可证得原命题成立.
【详解】（1）解：根据题意，，，
，，，
由此类推：．
当且时，
，
也满足，
故对任意的，.
（2）证明：由（1）的结论，，
当时，，
则
，故原命题成立．
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【分析】(1)把化为，从而利用累加法可求；
(2)由可推，利用放缩，可证.
【详解】（1）由题意知，所以，即
从而，
，
则．
显然满足上式，所以
（2）由（1）知，
所以，所以．
又因为，
所以，
所以．
5．（2022·云南红河·校考模拟预测）设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________．
条件①：；条件②：；条件③：．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和．
参考公式：．
【分析】(1)选择①，由条件证明为等差数列，结合等差数列通项公式求的通项公式；
选择②，由条件，结合关系，证明，利用累乘法求数列的通项公式；
选择③，先证明，由此得为常数，再求数列的通项公式；
(2)求，利用裂项相消法求，由此完成证明.
【详解】（1）若选择条件①：因为，所以，又，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．
所以，所以．
若选择条件②：因为，所以．
当时，，整理得，，
所以，
累乘得，，
当时，，符合上式，
所以．
若选择条件③：因为，所以，即，
所以，所以数列为常数列，
又，所以，即．
（2）由（1）知：，结合参考公式可得
所以
所以
.
6．（2023·四川内江·统考一模）数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
【分析】（1）把递推关系式里的换成得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.
(2)裂项相消求和，然后求和的范围.
【详解】（1）当时，
①
②
②减①得：
经检验也符合
综上：
（2）
又因为，又因为恒成立，即或
所以的范围为
7．（2022·浙江·模拟预测）已知数列的通项公式为，为数列的前n项和.
(1)求；
(2)若对于，恒成立，求的取值范围.
【分析】（1）依题意可得，利用裂项相消法求和即可；
（2）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出的取值范围，依题意参变分离可得恒成立，则即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）解：因为
，
所以
.
（2）解：当为正奇数时，，且随的增加而增加，
所以，
所以，
当为正偶数时，，且随的增加而减小，
所以，
所以，
综上可得且，且，
所以的最大值为（当且仅当时取得），
因为恒成立，所以恒成立，所以，
所以的取值范围为.
8．（2022·四川自贡·统考一模）等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列为的前n项和，比较与的大小.
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由化简，可得到的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和后与－2比大小.
【详解】（1）设数列的公比为q,
由得=,
所以.由条件可知q＞0,故q=.
由得 ,所以.
故数列的通项公式为.
（2）－（1＋2＋＋n）=－.
故.
.
.
故.
9．（2022·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以
.
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.
10．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．
【分析】（1）设等差数列的公差为d，然后根据已知条件列方程可求出，从而可求出，利用可求出；
（2）由（1）可得，则，然后利用裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由得，
因为是与的等比中项，
所以．
化简得且，
解方程组得或．
故的通项公式为或（其中）；
因为，
所以，，
所以，
因为，满足上式，
所以；
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以
，
易见随n的增大而增大，从而恒成立，
所以，故的最小值为.
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