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分类讨论的思想
在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法．
分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点．分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.
题型一：由概念、法则、公式引起的讨论
【例1】（1）(2023·江苏金陵中学高三模拟)已知函数f(x)＝ 若f(2－a)＝1，则f(a)等于 ( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】(1)①当2－a≥2，即a≤0时，22－a－2－1＝1，
解得a＝－1，
则f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2；
②当2－a<2即a>0时，－log2[3－(2－a)]＝1，
解得a＝－，舍去．所以f(a)＝－2．故选A．
（2）(2023·山东省实验中学高三模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.若点P运动到(1,3)处，则此时切线l的方程为____________；
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，
当l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
【方法点拨】
数学概念运算公式中常见的分类
(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论．
(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论．
(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论
【跟踪训练】
1.（2023·四川省成都第七中学高三模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为( )
A．8 B．10
C．16 D．32
【答案】D
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.
因为Sn＝2an－2，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，
两式相减得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
则数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则an＝2n，
有S5－S4＝a5＝25＝32.
2.（2023·天津南开中学高三模拟）函数的定义域是，则实数的取值范围是________．
【答案】[0，＋∞)
【解析】因为函数的定义域是，
当m＝0时，符合题意；
当m≠0时，由题意知mx2－2mx＋m＋2≥0对x∈R恒成立，
则， 解得m＞0.综上，m≥0.
所以实数的取值范围是[0，＋∞).故答案为：[0，＋∞).
题型二：由参数变化引起的分类讨论
【例2】(2023·湖南长沙长郡中学高三模拟)讨论函数f (x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
【解析】f (x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当0
f′(x)>0，故f (x)在上单调递减，在上单调递增．
综上，当a≥1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；当0【方法点拨】
几种常见的由参数变化引起的分类与整合
(1)含有参数的不等式的求解．
(2)含有参数的方程的求解．
(3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题．
(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．
(5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
【跟踪训练】
1.（2023·武汉华中师范大学第一附属中学高三模拟）已知函数f(x)＝ln x－.若f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．
【解析】(1)由题意得f(x)的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝，因为x∈[1，e]，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[[1，e]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－(舍去)．
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[[1，e]上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝1－＝，所以a＝－(舍去)．
③若－e当1所以f(x)在(1，－a)上单调递减；
当－a0，
所以f(x)在(－a，e)上单调递增，
所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，所以a＝－.
综上，a＝－.
题型三：由图形位置或形状引起的分类讨论
【例3】（1）(2023·北京人大附中高三模拟)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为 ( )
A． B．4 C． D．4或
(2)设点A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是________．
【答案】(1)A (2)(0,1]∪[9，＋∞)
【解析】(1)(1)当6是下底面周长，4是三棱柱的高时，
体积V＝2×××4＝4；
当4是下底面周长，6是三棱柱的高时，
体积V＝×××6＝.
(2)当0＜m＜3时，焦点在x轴上，若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，得0＜m≤1；当m＞3时，焦点在y轴上，依题设，则≥tan 60°＝，即≥，得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
【方法点拨】
图形位置或形状的变化中常见的分类
(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线分类讨论．
(2)求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同分类讨论．
(3)相关计算中，涉及图形问题时，常按图形的位置不同，大小差异分类讨论．
【跟踪训练】
1．（2023·重庆南开中学高三模拟）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________．
【答案】或
【解析】不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0.
若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
∴曲线C的离心率为或.
2．（2023·河北衡水中学高三模拟）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为，则a的值为________．
【答案】2或2
【解析】由三角形面积公式，得×3×1×sin A＝，
故sin A＝.因为sin2A＋cos2A＝1，
所以cos A＝±＝±＝±.
①当cos A＝时，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，
所以a＝2.
②当cos A＝－时，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12，
所以a＝2.
综上所述，a＝2或2.
1．分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的本质与思维流程
(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”．
(2)分类讨论的思维流程：
明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
一、单选题
1．（2023·陕西·西安中学模拟预测）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023·吉林省实验中学模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0)，g(x)=logax的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于本题中函数为y=xa(x>0)与y=logax.
对于选项A，没有经过（1,1）的图像，故没有幂函数的图像.故A错误;
对于选项B，由过（1,0）的图像为对数函数的图像得：00)的图象知a>1，矛盾.故B错误;
对于选项C，由y=xa(x>0)的图象知01，矛盾.故C错误;
对于选项D，由y=xa(x>0)的图象知0故选：D
3．（2023·安徽六安·一模）设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，1]∪[9，+∞） D．[9，+∞）
【答案】C
【解析】若椭圆焦点在轴上，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，
则，解得；
若椭圆焦点在轴上，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，
则，解得；
综上，m的取值范围是
故选：C.
4．（2023·辽宁实验中学模拟预测）若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【解析】是2和8的等比中项，或，
当时，方程为，表示椭圆，
，离心率为，
当时，方程为，表示双曲线，
，离心率为，
故选：A
5．（2023·浙江模拟预测）过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0
【答案】D
【解析】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，
解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.
综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，
故选：D.
6．（2023·湖北武汉·二模）已知，则下列结论一定不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵
若，则，即
∴成立
若，则，即
∴不成立
若，则，由题意可得，则
∴
若，则，由题意可得，则
∴
故选：C．
7．（2023·山东临沂·二模）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上(不含端点)，延长AD到P，使得AP＝9．若＋ (m为常数)，则CD的长度是（ ）
A． B．3 C． D．7
【答案】C
【解析】设，则＋，即＋，因为B、C、D三点共线，所以，解得，因为AP＝9，所以，即，所以，
在Rt中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，易知，所以，
在中，由余弦定理可得，解得.
故选：C
8．（2023·乐清市知临中学模拟预测）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B A，则实数m的取值范围是（ ）
A．(－∞，2] B．(2，4] C．[2，4] D．(－∞，4]
【答案】D
【解析】当时，由m＋1≥2m－1，∴m≤2
当时，若B A
则∴2＜m≤4
综上，m的取值范围为{m|m≤4}.
故选D.
二、多选题
9．（2023·湖北武汉模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上的最小值是
B．的最小正周期是
C．直线是图象的对称轴
D．直线与的图象恰有个公共点
【答案】ACD
【解析】对于A选项，当时，
，
且，则当时，函数取最小值，即，
A选项正确；
对于B选项，，，，则，
故函数的最小正周期不是，B选项错误；
对于C选项，若为奇数，则；
若为偶数，则.
由上可知，当时，，
所以，直线是图象的对称轴，C选项正确；
对于D选项，，
所以，为函数的周期.
当时，；
当时，.
综上可知，.
当时，，，即函数与在上的图象无交点；
当时，，，所以，函数与在上的图象也无交点.
作出函数与函数在上的图象如下图所示：
由图象可知，函数与函数在上的图象有两个交点，D选项正确.
故选：ACD.
10．（2023秋·陕西铜川·高一铜川市耀州中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若没有零点，则
B．若恰有2个零点，则
C．若恰有3个零点，则或
D．若）恰有4个零点，则
【答案】AC
【解析】当时，，所以不是的零点；
当时，由，即，得，
则的零点个数等于直线与函数图象的交点个数．
当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，，当且仅当时取等号，
作出函数的大致图象（如下图所示），
由图可知：若没有零点，则，故A正确；
若恰有2个零点，则，故B不正确；
若恰有3个零点，则或，故 C正确；
若）恰有4个零点，则，故D不正确，
故选：AC.
三、填空题
11．（2023·福建泉州模拟预测）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是
【答案】（﹣2，2]
【解析】依题意恒成立，
即恒成立，
当时，不等式化为，恒成立.
当时，需满足.
综上所述，的取值范围是.
12．（2023·南京市天印高级中学模拟预测）在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是_____________.
【答案】12
【解析】各单位名额互不相同，则8个名额的分配方式有、两种，
对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有种，
所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数为种.
故答案为：12.
四、解答题
13．（2023·胜利一中模拟预测）已知函数在定义域内存在单调递减区间，求实数的取值范围.
【解析】∵函数在定义域内存在单调递减区间，
∴在上能成立，∴.
令，即为.
∵的最大值为，∴，
∴实数的取值范围为.
14．（2023·山东泰安·模拟预测）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．
【解析】（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或，
所以直线的方程为或；
（2）设的方程为，、，
由，得，可知，，
直线、的斜率之和为
，
所以，可知、的倾斜角互补，
所以.
15．（2023·山东枣庄·一模）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).
①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.
②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.
(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.
②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，
故当且仅当a2≥0，
即0>a≥时，f(x)≥0.
综上a的取值范围是[，0].
16．（2023·安徽省芜湖市教育局模拟预测）已知函数
(1)若，判断f（x）在（，0）的单调性；
(2)在[0，]上有且只有2个零点，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，
.
当时，，所以，
又，故，从而，所以，f（x）在（，0）上单调递增；
（2）由函数，可知，
则f（x）在上有且只有1个零点.
，令，则在[0.]上恒成立.
即在[0，]上单调递，
当时，，f（x）在[0.]上单调递增.
则f（x）在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，，在[0，]上单调递减，
则在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，
则在（0，）上只有1个零点，设为.
且当时，；当时，
所以当时，在（0，）上单调递减，在（x0，）上单调递增，
又，因此只需即可，即
综上所述：
17．（2023·辽宁·东北育才学校二模）已知函数，为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：．
【解析】（1）的定义域是，
，
令，则，
当时，恒成立，单调递减，
也即在区间上单调递减；
当时，在区间单调递减；在区间递增.
（2）当时，，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
构造函数恒成立，
所以在区间上递增，，
所以.
构造函数，
，，
所以在区间递减；在区间递增.
所以，即.
所以，则，
结合可得，
从而成立.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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分类讨论的思想
在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法．
分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点．分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.
题型一：由概念、法则、公式引起的讨论
【例1】（1）(2023·江苏金陵中学高三模拟)已知函数f(x)＝ 若f(2－a)＝1，则f(a)等于 ( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
（2）(2023·山东省实验中学高三模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.若点P运动到(1,3)处，则此时切线l的方程为____________；
【方法点拨】
数学概念运算公式中常见的分类
(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论．
(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论．
(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论
【跟踪训练】
1.（2023·四川省成都第七中学高三模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为( )
A．8 B．10
C．16 D．32
2.（2023·天津南开中学高三模拟）函数的定义域是，则实数的取值范围是________．
题型二：由参数变化引起的分类讨论
【例2】(2023·湖南长沙长郡中学高三模拟)讨论函数f (x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
【方法点拨】
几种常见的由参数变化引起的分类与整合
(1)含有参数的不等式的求解．
(2)含有参数的方程的求解．
(3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题．
(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．
(5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
【跟踪训练】
1.（2023·武汉华中师范大学第一附属中学高三模拟）已知函数f(x)＝ln x－.若f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．
题型三：由图形位置或形状引起的分类讨论
【例3】（1）(2023·北京人大附中高三模拟)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为 ( )
A． B．4 C． D．4或
(2)设点A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是________．
【方法点拨】
图形位置或形状的变化中常见的分类
(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线分类讨论．
(2)求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同分类讨论．
(3)相关计算中，涉及图形问题时，常按图形的位置不同，大小差异分类讨论．
【跟踪训练】
1．（2023·重庆南开中学高三模拟）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________．
2．（2023·河北衡水中学高三模拟）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为，则a的值为________．
1．分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的本质与思维流程
(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”．
(2)分类讨论的思维流程：
明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
一、单选题
1．（2023·陕西·西安中学模拟预测）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·吉林省实验中学模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0)，g(x)=logax的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·安徽六安·一模）设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，1]∪[9，+∞） D．[9，+∞）
4．（2023·辽宁实验中学模拟预测）若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或 B． C． D．或
5．（2023·浙江模拟预测）过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0
6．（2023·湖北武汉·二模）已知，则下列结论一定不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·山东临沂·二模）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上(不含端点)，延长AD到P，使得AP＝9．若＋ (m为常数)，则CD的长度是（ ）
A． B．3 C． D．7
8．（2023·乐清市知临中学模拟预测）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B A，则实数m的取值范围是（ ）
A．(－∞，2] B．(2，4] C．[2，4] D．(－∞，4]
二、多选题
9．（2023·湖北武汉模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上的最小值是
B．的最小正周期是
C．直线是图象的对称轴
D．直线与的图象恰有个公共点
10．（2023秋·陕西铜川·高一铜川市耀州中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若没有零点，则
B．若恰有2个零点，则
C．若恰有3个零点，则或
D．若）恰有4个零点，则
三、填空题
11．（2023·福建泉州模拟预测）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是
12．（2023·南京市天印高级中学模拟预测）在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是_____________.
四、解答题
13．（2023·胜利一中模拟预测）已知函数在定义域内存在单调递减区间，求实数的取值范围.
14．（2023·山东泰安·模拟预测）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．
15．（2023·山东枣庄·一模）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
16．（2023·安徽省芜湖市教育局模拟预测）已知函数
(1)若，判断f（x）在（，0）的单调性；
(2)在[0，]上有且只有2个零点，求a的取值范围.
17．（2023·辽宁·东北育才学校二模）已知函数，为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：．
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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