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函数与方程的思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的．
函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.
题型一：求解不等式、函数零点问题
【例1】（2023·江苏南京师范大学附属中学高三模拟）已知正数，，满足，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．以上均不对
【答案】A
【解析】由，得，则，得，
所以，所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即
所以，
所以，综上，故选：A
2．（2023·山东省实验中学高三模拟）已知函数，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出的图象如下图所示：
因为，所以，
由图象可知：关于对称，所以，
又，所以，
所以，故选：B.
【方法点拨】1.第 1 题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.
2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题
1 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.
2 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.
【跟踪训练】
1．（2023·河北衡水中学高三模拟）设函数f(x)＝－cos x，则方程f(x)＝所有实根的和为________．
【答案】
【解析】由f(x)＝－cos x＝，得－＝cos x，
令y1＝－，y2＝cos x.
在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点.
∴方程f(x)＝的实根之和为.
2．（2023·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若存在x∈[－2,1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)＜0成立，则实数k的取值范围是________．
【答案】(－1，＋∞)
【解析】由题意知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数．
又f′(x)＝＋1＋cos x＞0在x∈[－2,1]上恒成立，函数f(x)在x∈[－2,1]上单调递增．
若存在x∈[－2,1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)＜0成立，
则f(x2＋x)＜－f(x－k) f(x2＋x)＜f(k－x) x2＋x＜k－x，故问题转化为存在x∈[－2,1]，k＞x2＋2x，
即k＞(x2＋2x)min，
当x∈[－2,1]时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1的最小值为－1.
故实数k的取值范围是(－1，＋∞)．
题型二：求解数列问题
【例2】（1）（2023·四川成都第七中学高三模拟）在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】因为在等比数列中，是方程的根，
所以，
所以，
由等比数列的性质得，
所以，
所以，故选：B
（2）（2023·北京人大附中高三模拟）设是等差数列的前项和，若，，则___________.
【答案】64
【解析】设的公差为.因为所以，
解得所以，故答案为：64
【方法点拨】
1.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n项和公式求出nSn，构造函数，运用单调性求最值．
2．数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n的取值为正整数，涉及的函数具有离散性特点．
【跟踪训练】
1．（2023·重庆市第一中学高三模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，an＋2an＋1＝0，则Sn－的最大值与最小值的积为________．
【答案】－
【解析】因为an＋2an＋1＝0，所以＝－，所以等比数列{an}的公比为－，
因为a1＝，所以Sn＝＝1－.
①当n为奇数时，Sn＝1＋，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝，故0＜Sn－≤；
②当n为偶数时，Sn＝1－，Sn随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn＜1，故－≤Sn－＜0.
综上，Sn－的最大值与最小值分别为，－.
故Sn－的最大值与最小值的积为×＝－.
2．（2023·武汉华中师范大学第一附属中学高三模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若对任意n∈N*，kan，Sn，－1成等差数列，求实数k的值．
【解析】 (1)∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6，
∴
∵q＞0，∴q＝3，a1＝1，∴an＝1×3n－1＝3n－1(n∈N*)，
故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)知an＝3n－1，Sn＝＝，
∵kan，Sn，－1成等差数列，∴2Sn＝kan－1，则2×＝k·3n－1－1，解得k＝3.
题型三：在解析几何中的应用
【例3】（1）（2023·天津南开中学高三模拟）已知椭圆和点，若存在过点M的直线交C于P，Q两点，满足，则椭圆C的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设是椭圆上的任一点，
，
对称轴为，所以在上单调递减，
设，由题知：只要即可，
，所以.故选：C.
（2）（2023·河北衡水中学高三模拟）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，若，，
∴，，而，
∴，即，又在椭圆上，
∴，可得.故选：C.
【方法点拨】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个 或者多个 变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值 范围 问题的基本方法.
【跟踪训练】
椭圆的左焦点为，短轴长为，右顶点为，上顶点为，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作直线与椭圆交于另一个点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.
【解析】（Ⅰ）根据短轴长知，，
则，
因为，则，
故，
则椭圆方程为．
（Ⅱ）设所在直线斜率存在时
，①
，
，．
代入①式得，
令，则，
，
当不存在时，．
故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，
则直线方程：．
函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识
(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解；
(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解；
(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决；
(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决；
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
一、单选题
1．已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
2．已知各项均为正数的等比数列的前4项为和为15，且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】设正项等比数列的公比为，由，即，即，解得或（舍去），又，解得，所以；
故选：B
3．设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为,,
令,
函数图像如下图所示:
则,
所以当时, ,即
,
则,
所以,即
综上可知,
故选:A
4．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
5．设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]
【答案】D
【解析】令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－2
要使f(x)＝b有三个根，则0故选:D.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】由题意得，所以，
又因为，所以，
所以，其中，且，
所以的取值范围为，
故选：B.
7．已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设四棱锥为 ，底面 的中心为O，
设外接球的半径为R，底面正方形的边长为2a，四棱锥的高为 ，则 ， ，
当外接球的球心在锥内时为 ，在 中， ，
即…① ，在 中， ，即 …②，
联立①②，解得 （舍）；
当外接球的球心在锥外时为 ，在 中，，
即…③，在 中， ，即 …④，
联立③④解得 ，四棱锥的体积 ；
故选：D.
二、多选题
8．已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由是递增数列，得；又，所以，
所以，所以，故选项A正确；
，故B不正确；
由是递增数列，得，又，所以，
所以，所以，故选项C正确；
所以
，
所以，又，所以，
而，
当时，；
当时，可验证，
所以对于任意的，，故选项D正确．
故选：ACD．
9．已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】，
故恒成立，转化成恒成立，
记，则在单调递增，故由得，故恒成立，
记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值，
故由恒成立，即,故，
故选：AD
三、填空题
10．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
11．定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x1，x2，当x1+x2≠0时，都有，则不等式f（x+1）【答案】
【解析】因为是奇函数，所以.
设，则，
因为，
所以，
则，
即，
故在R上单调递减.
因为，
所以，
解得.
故不等式的解集为.
故答案为：
12．已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．
【答案】0
【解析】∵数列满足，且对，有，
∴，
∵可得，
∴，有，
∴当时，，即，，
∴，
∴，
∵为递增数列，则，
当时，，解得，
当时，，即，解得：，∴，
又，则，∴整数b的最小值为0．
故答案为：
四、解答题
13．的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sinA0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，
故0°由（1）知A+C=180°B＝120°，
所以30°所以，从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
14．已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.
(2)过点A(-4，0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点 请判断并证明你的结论.
【解析】（1）设椭圆C1的半焦距为c.依题意，可得a=，则C2:y2=4ax，
代入x=c，得y2=4ac，即y=±2，所以4=4，
则有，所以a=2，b=，
所以椭圆C1的方程为=1，抛物线C2的方程为y2=8x.
（2）依题意，当直线l的斜率不为0时，设其方程为x=ty-4，
由，得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则E(x1，-y1).由Δ>0，得t<-2或t>2，
且y1+y2=，y1y2=.
根据椭圆的对称性可知，若直线EN过定点，此定点必在x轴上，设此定点为Q(m，0).
因为kNQ=kEQ，所以，(x1-m)y2+(x2-m)y1=0，
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0，2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0，
即2t·-(m+4)·=0，得(3-m-4)t=(-m-1)t=0，
由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1，所以直线EN过定点Q(-1，0).
当直线l的斜率为0时，直线EN的方程为y=0，也经过点Q(-1，0)，
所以当直线l绕点A旋转时，直线EN恒过一定点Q(-1，0).
15．已知各项都为正数的等比数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求正整数k的值．
【解析】（1）设数列的公比q，由得又，所以，解得（舍去）或
所以，所以；
（2）由（1）得，又，所以，所以
由得，整理得，解得（舍去）或.
所以.
16．已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线与线段相交于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知为点的轨迹上三个点（不在坐标轴上），且，求的值．
【解析】（1）由已知有，
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，∴，
∴点的轨迹方程
（2）由，可知为的重心，
∴，
由已知的斜率存在，设直线的方程为：，，
由，
则，
，
由，，
∴，
，
∴．
17．已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点.
（1）求点的轨迹方程.
（2），是的轨迹方程与轴的交点（点在点左边），直线过点与轨迹交于，两点，直线与交于点，求证：动直线过定点.
【解析】（1）由圆，可得圆心，半径，
因为，所以点在圆内，
又由点在线段的垂直平分线上，所以，
所以，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，，
所以点的轨迹方程为.
（2）设直线的方程为，，，，，
将代入，
得，
，，
直线的方程为，令得，即，
的直线方程为，
代入得
，
所以直线过定点．
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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函数与方程的思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的．
函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.
题型一：求解不等式、函数零点问题
【例1】（2023·江苏南京师范大学附属中学高三模拟）已知正数，，满足，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．以上均不对
2．（2023·山东省实验中学高三模拟）已知函数，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法点拨】1.第 1 题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.
2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题
1 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.
2 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.
【跟踪训练】
1．（2023·河北衡水中学高三模拟）设函数f(x)＝－cos x，则方程f(x)＝所有实根的和为________．
2．（2023·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若存在x∈[－2,1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)＜0成立，则实数k的取值范围是________．
题型二：求解数列问题
【例2】（1）（2023·四川成都第七中学高三模拟）在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
（2）（2023·北京人大附中高三模拟）设是等差数列的前项和，若，，则___________.
【方法点拨】
1.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n项和公式求出nSn，构造函数，运用单调性求最值．
2．数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n的取值为正整数，涉及的函数具有离散性特点．
【跟踪训练】
1．（2023·重庆市第一中学高三模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，an＋2an＋1＝0，则Sn－的最大值与最小值的积为________．
题型三：在解析几何中的应用
【例3】（1）（2023·天津南开中学高三模拟）已知椭圆和点，若存在过点M的直线交C于P，Q两点，满足，则椭圆C的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·河北衡水中学高三模拟）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【方法点拨】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个 或者多个 变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值 范围 问题的基本方法.
【跟踪训练】
椭圆的左焦点为，短轴长为，右顶点为，上顶点为，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作直线与椭圆交于另一个点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.
函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识
(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解；
(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解；
(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决；
(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决；
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
一、单选题
1．已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知各项均为正数的等比数列的前4项为和为15，且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
5．设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
11．定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x1，x2，当x1+x2≠0时，都有，则不等式f（x+1）12．已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．
四、解答题
13．的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
14．已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.
(2)过点A(-4，0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点 请判断并证明你的结论.
15．已知各项都为正数的等比数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求正整数k的值．
16．已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线与线段相交于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知为点的轨迹上三个点（不在坐标轴上），且，求的值．
17．已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点.
（1）求点的轨迹方程.
（2），是的轨迹方程与轴的交点（点在点左边），直线过点与轨迹交于，两点，直线与交于点，求证：动直线过定点.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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