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数形结合的思想
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：
以形助数 以数助形
借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于解析几何方法 借助于数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.
题型一：数学结合思想在函数（方程）中的应用
【例1】（1）（2023·天津南开中学高三模拟）已知函数，它们的零点的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，则函数的所有零点之和等于________.
【方法点拨】
1.第 1 题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第 2 题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.
2.探究方程解的问题应注意两点
1 讨论方程的解 或函数的零点 一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.
2 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.
【跟踪训练】
1.【多选】（2023·四川省成都第七中学高三模拟）函数，的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在区间，上单调递增
D．函数关于点，中心对称
2.（2023·江苏南京外国语中学高三模拟）已知函数，若存在三个互不相同的实数，，，满足，则的取值范围是__________．
题型二：数学结合思想在不等式与平面向量中的应用
【例2】（1）（2023·山东省实验中学高三模拟）已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
（2）（2023·清华大学附属中学高三模拟）设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是________．
【方法点拨】
1．平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解．
2．求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题．
【跟踪训练】
1．（2023·重庆南开中学高三模拟）若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为( )
A． B．
C． D．
2．（2023·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C． D．
题型三：数学结合思想在解析几何中的应用
[例3] （1）（2023·辽宁本溪高级中学高三模拟）已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
（2）（2023·深圳中学高三模拟）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，为半径的圆交的一条渐近线于两点，且线段被的另一条渐近线平分，则的离心率为_______；若的焦距为，为上一点，且，直线交于另一点，则_______．
【方法点拨】
1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.
2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
【跟踪训练】
1.（2023·山东济南外国语中学高三模拟）已知抛物线的焦点为，定点，在此抛物线上求一点，使最小，则点坐标为
A． B． C． D．
2．（2023·河北衡水中学高三模拟）过直线x＋y－2＝0上一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明；
(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的；
(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
一、单选题
1．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
2．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．设函数满足，，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．在三棱锥中，底面，，，，动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上 下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的偶函数满足，且当时，有，已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
8．已知是边长为2的等边三角形，点是所在平面内的一点，且，则当取得最小值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、多选题
10．是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．已知函数，则不等式的解集是___________．
12．已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．
14．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
15．已知直线与函数的图象有两个交点.则实数m的取值范围是________.
16．已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为___________．
17．已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为_____________．
18．1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A的坐标为，点满足，，则的最小值是___________.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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数形结合的思想
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：
以形助数 以数助形
借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于解析几何方法 借助于数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.
题型一：数学结合思想在函数（方程）中的应用
【例1】（1）（2023·天津南开中学高三模拟）已知函数，它们的零点的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，，
，，
作出函数，，的图象及直线，由图象可得
，，，所以．故选：B．
（2）（2023·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，则函数的所有零点之和等于________.
【答案】12
【解析】，则，
，所以，，则在上单调递减，
且，，所以，
代入，可得，又，所以，即.
令，画出的图像如图：
当时，，，即，在上共有六个根，
即，
则.故答案为：12
【方法点拨】
1.第 1 题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第 2 题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.
2.探究方程解的问题应注意两点
1 讨论方程的解 或函数的零点 一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.
2 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.
【跟踪训练】
1.【多选】（2023·四川省成都第七中学高三模拟）函数，的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在区间，上单调递增
D．函数关于点，中心对称
【答案】
【解析】根据函数，的图象，
可得，且，，．
把代入，可得，，或．
再把根据图象经过最高点，，可得，．
当时，，，求得，不满足条件，，
故，故错误．
此时，由，，求得，
令，可得，满足条件，，故．
把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得到函数的图象，
故的最小正周期为，故正确．
当，，，，故单调递增，故正确．
令，求得，故的图象不关于点，中心对称，故错误，故选：．
2.（2023·江苏南京外国语中学高三模拟）已知函数，若存在三个互不相同的实数，，，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图示：
记，在坐标系内作出和的图像，三个交点的横坐标从左到右依次记为a、b、c，则有，且，
所以，所以，即，所以.
所以
故答案为：
题型二：数学结合思想在不等式与平面向量中的应用
【例2】（1）（2023·山东省实验中学高三模拟）已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系
设 ，
则
所以
所以最小值为所以选B
（2）（2023·清华大学附属中学高三模拟）设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是________．
【答案】，或
【解析】由图象可知：当时，的解为，
因为是偶函数，图象关于y轴对称，
所以当时，的解为．
所以的解是，或．
故答案为：，或
【方法点拨】
1．平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解．
2．求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题．
【跟踪训练】
1．（2023·重庆南开中学高三模拟）若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在同一坐标系中，作出y＝sin x和y＝cos x的图象，
当m＝时，要使不等式恒成立，只有a＝，
当m＞时，在x∈[0，m]上，必须要求y＝sin x和y＝cos x的图象不在y＝a＝的同一侧．所以m的最大值是.故选C.
2．（2023·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C． D．
【答案】C
【解析】因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示，
设＝c，＝a，＝b，则＝a－c，＝b－c，
所以⊥，又因为⊥，所以O，A，C，B四点共圆，当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.
题型三：数学结合思想在解析几何中的应用
[例3] （1）（2023·辽宁本溪高级中学高三模拟）已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C错误；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
故选：ABD
（2）（2023·深圳中学高三模拟）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，为半径的圆交的一条渐近线于两点，且线段被的另一条渐近线平分，则的离心率为_______；若的焦距为，为上一点，且，直线交于另一点，则_______．
【答案】2; 9.
【解析】如图所示建立平面直角坐标系，设的中点为，则由双曲线的对称性知，
，
所以，
所以，又，
则，，；
的焦距为，所以，，
设，由双曲线定义知，
又由，得，，
在中，由余弦定理得，
，
即，
解得，即.
故答案为：；.
【方法点拨】
1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.
2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
【跟踪训练】
1.（2023·山东济南外国语中学高三模拟）已知抛物线的焦点为，定点，在此抛物线上求一点，使最小，则点坐标为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，
设点到准线的距离为，
则所求的最小值，即的最小值；
根据平面几何知识，可得当、、三点共线时最小，
的最小值为到准线的距离；
此时的纵坐标为2，代入抛物线方程得的横坐标为1，得 1，
故选：．
2．（2023·河北衡水中学高三模拟）过直线x＋y－2＝0上一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
【答案】(，)
【解析】如图，由题意可知∠APB＝60°，由切线性质可知∠OPB＝30°.在Rt△OBP中，OP＝2OB＝2，又点P在直线x＋y－2＝0上，所以不妨设点P(x,2－x)，则OP＝＝2，即x2＋
(2－x)2＝4，整理得x2－2x＋2＝0，所以x＝，即点P的坐标为(，)．
运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明；
(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的；
(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
一、单选题
1．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
2．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】令，，
所以，所以关于对称.
令，，所以关于对称.
画出函数的图象与函数的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且所有交点的横坐标之和等于.
故选：A
3．设函数满足，，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】因为，可得函数为偶函数，
又因为，所以，故函数的周期为2，
因为，所以为偶函数，
当时，，
当时，，即.
当时，；
当时，.
又，，.
综合以上两函数的特点，可作出函数，的大致图象(如图所示)，
函数除了0，1这两个零点之外，分别在区间，，上各有一个零点，共有6个零点.
故选：B.
4．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】可转化为，则圆心为，半径为1.
因为的最小值为3，点Q为圆上一动点，
设抛物线的准线为，则的方程为：
过点作,为垂足，则
如图，则.
由，可得，
故选：B
5．在三棱锥中，底面，，，，动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将侧面沿翻折到与侧面共面，如下图所示：
则动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，
底面，平面，，又，，
，
，解得：，
；
取中点，连接，
，，
为该棱锥的外接球的球心，其半径，
球的表面积.
故选：B.
6．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上 下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出图形如图所示，
设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，
由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得，
故，
故，则点B落在圆上,
因为点O到直线l：的距离为，
故的最小值为，
故选：D
7．让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的偶函数满足，且当时，有，已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则的图象是过点，斜率为a的直线．
由可知的图象关于直线对称，
又为偶函数，可画出和在同一坐标系下的图象（下图为时的情况）
有且仅有三个零点，则和的图象有且仅有三个交点．
当时，显然不成立，
当时，由上图可得，解得：．
当时，由对称性知．
所以a的取值范围是，
故选：A.
8．已知是边长为2的等边三角形，点是所在平面内的一点，且，则当取得最小值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵中点为，即，又，，
∴，显然，当，，三点共线时，取得最小值，
∴此时，故.
故选：A.
9．已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径
直线可化为，
令，解得，所以定点A的坐标为.
设点关于直线的对称点为，
由，解得，所以点B坐标为.
由线段垂直平分线的性质可知，，
所以
（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），
所以的最小值为6.
故选：A
二、多选题
10．是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A选项，，故，A错；
对于BC选项，，B错C错；
对于D选项，，
所以，，故，D对.
故选：ABC
三、填空题
11．已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【解析】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：
两函数图像的交点坐标为，
由图可知：当或时，成立，
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
12．已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】由得，，
故，或或，
设，，以O为原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系，
则，令，则，，
由，或或，
得B点在以为圆心，为半径的圆上，
又非零向量与的夹角为，则设的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线，上，
则的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心到直线的距离减去半径，不妨以为例，
则的最小值为
故答案为：
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．
【答案】
【解析】根据题意，是定义在上的奇函数，则 ，
设 ，则 ，
又由函数为奇函数，则，
即当时，，
分情况讨论∶
当时，，则不成立；
当 时，不等式为，即，解可得或，
则此时不等式的解集为，
③当 时，不等式为，即，解可得，
则此时不等式的解集为，
综合得：不等式的解集为，
故答案为∶．
14．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
15．已知直线与函数的图象有两个交点.则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题：直线过定点，直线的斜率为，
作出函数的图象，
当直线过时，此时两个交点，，
当直线过时，此时两个交点，，
结合图象可得，要使直线与函数图象有两个交点，
则.
故答案为：
16．已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】取中点，
为等边三角形，，则以为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，设，
，，，
，则，
，，，
，
则当时，取得最小值.
故答案为：.
17．已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为_____________．
【答案】
【解析】如下图所示，设
且
点B在以F为圆心，DE为直径的圆上
又
当点B为圆F和线段FA的交点的时候，最短
故答案为：
18．1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A的坐标为，点满足，，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】因为，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为，所以，要想使最小，只需最小，设，，则，其中，因为，所以当时，取得最小值，，此时.
故答案为：
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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