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转化与化归的思想
“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等．
题型一：特殊与一般的转化
【例1】(1)（2023·江苏南京师范大学附属中学高三模拟）过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于( )
A．2a B.
C．4a D.
（2）(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝
【解析】(1)抛物线y＝ax2(a＞0)的标准方程为x2＝y(a＞0)，焦点F.
不妨设过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，∴＋＝4a.
(2)在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，∴＝2，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.
∴ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1·(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4．
【方法点拨】
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．
对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．
【跟踪训练】
1.（2023·山东省实验中学高三模拟）若函数f(x)＝1＋x3，则f(lg 2)＋f＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
【答案】A
【解析】∵f(x)＝1＋x3，∴f(－x)＋f(x)＝2，∵lg ＝－lg 2，∴f(lg 2)＋f＝2，故选A．
2.（2023·天津南开中学高三模拟）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5
C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
【答案】B
【解析】取特殊数列{an}，其中an＝n(n∈N*)．
显然a1·a8＝8＜a4·a5＝20.
题型二：正与反的转化
【例2】(1)（2023·四川成都第七中学高三模拟）若命题“ x0∈R，x＋2mx0＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．[－1,2]
D．(－1,2)
【答案】C
【解析】若命题“ x0∈R，x＋2mx0＋m＋2<0”为假命题，则命题等价于 x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m2－4(m＋2)≤0 －1≤m≤2.故选C．
(2)（2023·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为________.
【解析】f′(x)＝2ax－1＋.
(ⅰ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，
则f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax－1＋≥0，得a≥.①
令t＝，因为x∈(1,2)，所以t＝∈.
设h(t)＝(t－t2)＝－＋，t∈，显然函数y＝h(t)在区间上单调递减，
所以h(1)＜h(t)＜h，即0＜h(t)＜.
由①可知，a≥.
(ⅱ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减，
则f′(x)≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax－1＋≤0，得a≤.②
结合(ⅰ)可知，a≤0.
综上，若函数f(x)在区间(1,2)上单调，则实数a的取值范围为(－∞，0]∪.所以若函数f(x)在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为
【方法点拨】
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．
【跟踪训练】
1．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.
【答案】
【解析】因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为，，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为＝，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
2.（2023·北京人大附中高三模拟）若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________．
【答案】
【解析】如果在区间[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则
p≤－3或p≥，
取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围．
故实数p的取值范围为.
题型三：常量与变量的转化
【例3】（2023·深圳中学高三模拟）已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对任意a∈[－1,1]都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.
因为对a∈[－1,1]，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，
所以即
解得－
【方法点拨】
数学概念运算公式中常见的分类
(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论．
(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论．
(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论
【跟踪训练】
1.（2023·山东师范大学附属中学高三模拟）设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t∈[－2,2]时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
【答案】∪.
【解析】设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)＞0恒成立，则即
解得log2x＜－1或log2x＞3.
即0＜x＜或x＞8，
故x的取值范围是∪.
题型四：函数、方程、不等式的转化
【例4】【多选】(2023·江苏南京金陵中学高三模拟)若实数a≥2，则下列不等式中一定成立的是( )
A．(a＋1)a＋2>(a＋2)a＋1
B．loga(a＋1)C．loga(a＋1)<
D．log(a＋1)(a＋2)<
【答案】AD
【解析】令f(x)＝，则f′(x)＝，可得函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∵实数a≥2，∴a＋1>e，∴>，
∴(a＋1)a＋2>(a＋2)a＋1，log(a＋1)(a＋2)<，可得A，D正确．
∵与的大小关系不确定，∴C不正确．
对于B，令g(x)＝logx(x＋1)(x≥2)，则g′(x)＝<0，
∴函数g(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴loga(a＋1)>log(a＋1)(a＋2)，B不正确．综上可得，只有A，D正确．
【方法点拨】
函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．
【跟踪训练】
1. (2023·河南衡水中学高三模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.
【答案】{a|－6【解析】当x≥0时，f(x)＝－x3＋3x2＋2，故f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，故函数在[0,2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，f(0)＝2，f(2)＝6；
当x<0时，f(x)＝－x2ex，故f′(x)＝－xex(x＋2)，故函数在(－∞，－2)上单调递减，在[－2,0)上单调递增，f(－2)＝－4e－2.画出函数图象，如图所示：
f(x)＋a＝0，即f(x)＝－a，根据图象知，2≤－a<6或－a＝－4e－2，解得－61．转化与化归的原则
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决；
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决；
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
2．转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象；
(2)化归到何处去，即化归目标；
(3)如何进行化归，即化归方法；
转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．
一、单选题
1．f（x）=x5+ax3+bx-8且f（-2）=0，则f（2）等于
A．-16 B．-18 C．-10 D．10
【答案】A
【解析】令，则
由得
由得，所以
则
所以
故正确答案为
2．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以 ，所以选B.
3．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【答案】C
【解析】
解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时，故R＝6，则球O的表面积为.
故选：C
4．已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ）
A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分
C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
【答案】A
【解析】因为函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，
所以，
因为，，成等比数列，
所以有，且有成立，
即成立，
由，
化简得：，或，
当时，即，因为，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；
当时，即，
因为，所以，而，所以不成立，
故选：A
5．设函数，，若函数（）恰有三个零点 （），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，所以，
因为函数（）恰有三个零点，即有三个解，
即与有三个交点，
令，则，与有3个交点，，，
不妨令，则，，，
由图可知、关于对称，所以，即，
，即，
可得的取值范围是，
故选：B
6．若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，即；
故选：B
7．已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，当且仅当时等号成立，
，，
，，，
当，时，，
，．
故选：B
8．已知函数，如果，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得，所以函数为单调递增函数，
又由，所以函数为奇函数，
因为，即，
所以，解得，故选A．
9．第24届冬奥会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.此届冬奥会的项目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰.甲和乙相约去观看比赛，他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项.若要求他们观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是（ ）
A．324 B．306 C．243 D．162
【答案】B
【解析】由题意得：总的观看方案为，
两个分项都相同的观看分案为，
所以观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是，
故选：B
10．已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，
到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得: ,解得:
二、多选题
11．已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值可以是（ ）
A．3.8 B．3.9 C．4 D．4.1
【答案】AB
【解析】是奇函数，则，又，，
令得，即，所以是周期函数，周期为2，
又是上的奇函数，所以，，所以，，
作出和的图象，其中的周期是，
如图，由图可知时，从点，10个交点依次为，点是第11个交点，，
设点横坐标为，显然，，，因此，
所以，于是，，即，
所以可取，，时至少有11个零点，
故选：AB．
三、填空题
12．全班人中，至少有人的生日是在同一个月的概率是_________.（默认每月的天数相同，结果精确到小数点后三位）
【答案】
【解析】根据题意可知，全班人中，至少有人的生日在同一个月的对立事件为没有人生日在同一个月，人的生日月份共有种情况，其中，每个人的月份都不同的情况有种，则至少有人的生日是在同一个月的概率为
故答案为：
13．在公差d不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a9成等比数列，则的值为_______．
【答案】1
【解析】设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a1，a3，a9成等比数列，
∴a1 a9，∴（a1+2d）2＝a1×（a1+8d），解得d＝a1．
∴
故答案为1．
14．已知三棱锥中，平面，，，，这个三棱锥的外接球的表面积为___________．
【答案】12π
【解析】∵平面，AC，BC平面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC，
∵，∴△PCB是等腰直角三角形，∴|BC|＝2，
∴，∴AC⊥BC，
∴AC、BC、PC三条直线两两垂直，且长度均为2，
∴可将三棱锥P－ABC放到一个棱为2的正方形内部，如图所示：
∴三棱锥的外接球为正方体的外接球，外接球球心为正方体的中心，直径为正方体的体对角线PD﹒
设外接球半径为R，则﹒
故答案为：12π．
15．已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当，（a为常数）.若存在实数t，使得对，都有成立，则整数m的最大值为________.
【答案】4
【解析】∵是增函数，∴当时，为增函数，又是偶函数，
∴，，
时，，，
∴，
对，都有成立，∴，
当时，有，即，∴，
当时，同理可得，
∴．
同样有及，得，，
由的存在性知，此不等式在上必有解，
∵在上的最小值为，
∴，即①，
令，，
则，当时，，是减函数，当时，，是增函数，
∴的最小值是，
又，，，
∴在上有唯一解，
当时，，当时，，
∴在上满足不等式①的最大实数解为，
当，时，，
在时，∵，
∴，
在时，，
综上所述，的最大整数为4．
故答案为：4．
16．若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】 ，若存在，在区间上为单调函数，则①在上恒成立，或②在上恒成立．
由①得在上恒成立，由于，所以
即在上恒成立，由于函数均为上的单调递减函数，所以单调递减，当时，取最大值，则 ，
又存在，
所以，当时，取到最小值-5，所以
即；
由②得在上恒成立，
则，即，
所以存在，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为或，
因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为
故答案为：
四、解答题
17．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【解析】（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减 为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述：
18．某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2，根据样本估计总体的思想，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．
【解析】（1）抽取的100件产品是一级品的频率是，
则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，
设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，
所以至少有一件产品是一级品的概率是．
（2）依题意，设今年每件产品的利润为X，所以X的分布列为：
X 500 －200 －1200
0.7 0.2 0.1
所以每件产品的期望为
所以今年的利润为：（万元）
设明年每件产品的利润为Y，所以Y的分布列为：
Y 500 －200
0.8 0.2
所以每件产品的期望为
所以明年预计的利润为：（万元）
显然有，
所以该次升级方案合理
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，求证：．
【解析】（1），
当时，，在R上单调递增，
当时，由，得；由，得．
∴在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由，得，
即，，
令，则．
∵，
∴在上单调递增，在上单调递减．
当时，，∴或，
①若，显然
②若，要证，只需证，
即证，若能证，则原命题得证，
令，，
，
∵，∴，，∴，
∴在单调递增，∴，
∴，原命题得证．
综上所述，．
20．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)若，且，求的值.
【解析（1），
的最小正周期；
令，解得：，
的单调递减区间为.
（2）由（1）得：，，
，，
.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等．
题型一：特殊与一般的转化
【例1】(1)（2023·江苏南京师范大学附属中学高三模拟）过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于( )
A．2a B.
C．4a D.
（2）(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝
【方法点拨】
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．
对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．
【跟踪训练】
1.（2023·山东省实验中学高三模拟）若函数f(x)＝1＋x3，则f(lg 2)＋f＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
2.（2023·天津南开中学高三模拟）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5
C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
题型二：正与反的转化
【例2】(1)（2023·四川成都第七中学高三模拟）若命题“ x0∈R，x＋2mx0＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．[－1,2]
D．(－1,2)
(2)（2023·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为________.
【方法点拨】
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．
【跟踪训练】
1．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.
2.（2023·北京人大附中高三模拟）若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________．
题型三：常量与变量的转化
【例3】（2023·深圳中学高三模拟）已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对任意a∈[－1,1]都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________．
【方法点拨】
数学概念运算公式中常见的分类
(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论．
(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论．
(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论
【跟踪训练】
1.（2023·山东师范大学附属中学高三模拟）设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t∈[－2,2]时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
题型四：函数、方程、不等式的转化
【例4】【多选】(2023·江苏南京金陵中学高三模拟)若实数a≥2，则下列不等式中一定成立的是( )
A．(a＋1)a＋2>(a＋2)a＋1
B．loga(a＋1)C．loga(a＋1)<
D．log(a＋1)(a＋2)<
【方法点拨】
函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．
【跟踪训练】
1. (2023·河南衡水中学高三模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.
1．转化与化归的原则
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决；
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决；
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
2．转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象；
(2)化归到何处去，即化归目标；
(3)如何进行化归，即化归方法；
转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．
一、单选题
1．f（x）=x5+ax3+bx-8且f（-2）=0，则f（2）等于
A．-16 B．-18 C．-10 D．10
2．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
3．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
4．已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ）
A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分
C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
5．设函数，，若函数（）恰有三个零点 （），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，如果，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．第24届冬奥会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.此届冬奥会的项目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰.甲和乙相约去观看比赛，他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项.若要求他们观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是（ ）
A．324 B．306 C．243 D．162
10．已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2 B． C． D．1
二、多选题
11．已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值可以是（ ）
A．3.8 B．3.9 C．4 D．4.1
三、填空题
12．全班人中，至少有人的生日是在同一个月的概率是_________.（默认每月的天数相同，结果精确到小数点后三位）
13．在公差d不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a9成等比数列，则的值为_______．
14．已知三棱锥中，平面，，，，这个三棱锥的外接球的表面积为___________．
15．已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当，（a为常数）.若存在实数t，使得对，都有成立，则整数m的最大值为________.
16．若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
四、解答题
17．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
18．某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2，根据样本估计总体的思想，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，求证：．
20．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)若，且，求的值.
思路引导
母题呈现
方法总结
模拟训练
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