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客观题的解法
数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．
方法一 直接法
【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．x2＝－4y
【思路分析】动点P的轨迹方程→P点满足条件→直接将P点坐标代入化简即可
【答案】A
【解析】设P(x，y)，由题意得M(－1,2)，N(1,0)，O(0,0)，
＝(－1－x,2－y)，＝(1,0)，＝(1－x，－y)，
因为|·|＝||，所以|1＋x|＝，
整理得y2＝4x.
【方法总结】
1.直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．
2.直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.
【跟踪训练】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝，代入所求式子，得＝＝.
方法二 特例法
【例2】(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A．20 B．15 C．9 D．6
【思路分析】·的值→某种特殊情况下·的值→取 ABCD为矩形
【答案】C
【解析】四边形ABCD为矩形，建系如图，由＝3，＝2，知M(6,3)，N(4,4)，所以＝(6,3)，＝(2，－1)，所以·＝6×2＋3×(－1)＝9.
【方法总结】
1.从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
2.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．
【跟踪训练】设椭圆C：＋＝1的长轴的两端点分别是M，N，P是C上异于M，N的任意一点，则直线PM与PN的斜率之积等于________．
【答案】－
【解析】取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点(0，)，又M(－2,0)，N(2,0)，
所以kPM·kPN＝×＝－.
方法三 排除法
【例3】 (1)(2020·天津)函数y＝的图象大致为( )
【思路分析】选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除
【答案】A
【解析】令f(x)＝，则f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝＝－f(x)，
所以函数为奇函数，排除C，D.
又当x＝1时，f(1)＝＝2，排除B.
(2)已知椭圆C：＋＝1(b>0)，直线l：y＝mx＋1.若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是( )
A．[1,4) B．[1，＋∞)
C．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
【思路分析】求b的取值范围→取b的特殊值→特殊情况验证排除
【答案】C
【解析】注意到直线l恒过定点(0,1)，所以当b＝1时，直线l与椭圆C恒有公共点，排除D；若b＝4，则方程＋＝1不表示椭圆，排除B；若b>4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.
【方法总结】
1.排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．
2.排除法使用要点：,1从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,2当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值例法、验证法等常结合使用.
【跟踪训练】(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列说法正确的是( )
A．当x>0时，f(x)＝ex(1－x)
B．f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)
C．函数f(x)有2个零点
D． x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2
【答案】BD
【解析】对于C，当x<0时，令f(x)＝0 x＝－1，∴f(x)有3个零点分别为－1,0,1，故C错误；对于A，令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝e－x(1－x)，又f(x)为奇函数，∴－f(x)＝e－x(1－x)，∴f(x)＝e－x(x－1)，故A错误．∵A，C错误，且为多选题，故选BD.
类型四：构造法
【例4】(1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π C．2π D.π
【思路分析】求球O体积→求球O半径→构造正方体(补形)
【答案】D
【解析】如图所示，构造棱长为的正方体PBJA－CDHG，显然满足题设的一切条件，则球O就是该正方体的外接球，从而体积为π.
【方法总结】
1.用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．
2.构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.
【跟踪训练】设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是______________．
【答案】(－∞，－1)∪(0,1)
【解析】构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝.
根据条件，g(x)为偶函数，
且x>0时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
g(－1)＝g(1)＝0.
∴当00，∴f(x)>0，
同理当x<－1时，g(x)<0，∴f(x)>0，
故使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
类型五：估算法
【例5】(1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例）著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
【思路分析】估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算
【答案】B
【解析】头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm～178 cm之间，选B.
【方法总结】1.因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．
2.估算法使用要点：1使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值例法结合起来使用.
2使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.
【跟踪训练】(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A．12 B．18 C．24 D．54
【答案】B【解析】等边三角形ABC的面积为9，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以×9×4V三棱锥D－ABC<24.选B.
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为不等式的解集为，
所以，
函数的值域为，
所以，
所以，
故选：B.
2．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，
定义域为，且，
所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项；
当时，，，所以，故排除选项.
故选：.
3．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于选项A，缺少共面的条件，因此得不到，直线还可以互为异面直线，故A错误；
对于选项B，直线还可以在平面内，故B错误；
对于选C，由得分别为的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂直，故C正确；
对于选项D，直线与平面或平行，或相交，或直线在平面内，故D错误.
故选：C.
4．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若甲盒中随机取出一个球为白球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为；
若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为；
若甲盒中随机取出一个球为黑球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为；
故.
故选：D.
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】注意到，则有：
若，则，
故，即，符合；
若，则，
即，则，故；
综上所述：“”是“”的充要条件.
故选：C.
6．过原点的动直线与圆交于不同的两点.记线段的中点为，则当直线绕原点转动时，动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
设的中点为，
因为线段的中点为，
所以，又原点在直线上，
所以，所以，
设，则，
如图，设圆与的交点为
联立，可得，，
则，
因为点在圆内，
所以点的轨迹方程为，，
因为，所以，
同理
由对称性可得，
所以圆弧的长度为.
故选：D.
7．非零实数满足成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据成等差数列，可将用表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.
【详解】因为成等差数列，
所以，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
8．已知椭圆的左 右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，设圆与轴相切于点，
则，
又，，
所以，
所以，
即，
过点作直线的垂线，垂足为，
则，
所以，
所以，所以，
∴，
∴，
由三角形面积相等，得，
，
，
，
所以，
，即得.
故选：B.
.
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A．的虚部为-1 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题设，则的虚部为4，，A错，B对；
又，C错；
，D对.
故选：BD
10．正方体的棱长为1，点满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若点总满足，则动点的轨迹是一条直线
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个面积为的圆
【答案】ABC
【解析】对于，因为且，由向量基本定理可知：点共线，如图，连接，
在正方体中，，平面，
因为平面，所以，又，
所以平面，
在上任取一点，连接，则平面，所以，
在正方体中，因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，则，
故选项正确；
对于，如图，连接，
因为且，由向量基本定理可知：点共线，即点在直线上，在正方体中，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，则直线上任意一点到平面的距离相等，又因为的面积为一定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；
对于，如图，连接，
在正方体中，，平面，因为平面，所以，又，所以平面，平面，所以，同理，有，所以平面，因为点满足，所以点在侧面所在的平面上运动，且，所以动点的轨迹就是直线，故选项正确；
对于，因为点到点的距离为，所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹为小圆，设小圆半径为，
因为球心到平面的距离为1，则，
所以小圆的面积为，故选项错误；
故选：.
11．已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A．在上只有一个零点
B．在上可能有4个零点
C．在上单调递增
D．在上恰有2个极大值点
【答案】ACD
【解析】由，可得，
所以函数的对称轴方程为，
令，可得，
因为函数的图象在上恰有两条对称轴，
所以，
所以，
令，可得，
所以，所以，
令，可得，
当时，或，此时函数在上有两个零点，A错误；
令，可得，
当时，或或或，所以函数在上可能有4个零点，B正确；
由可得，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以函数在上不是单调递增函数，C错误；
由可得，
所以当时，，此时函数在上有三个最大值，故在上恰有3个极大值点，D错误；
故选：ACD.
12．数列前项和为，若，且，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．数列为递增数列
C．数列为等差数列
D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】由，可得：
对A：令可得：，，则，
令可得：，
即，则，
由，解得，A错误；
对B：对，则，
故数列为递增数列，B正确；
对C：当时，可得，则，
故数列为等差数列，C正确；
对D：∵，
则
，
且，
故
且在上单调递减，在上单调递增，
且，
可得，对恒成立，
故当时，取最大值，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】由，又，，
所以，则，
而，则，
所以与的夹角，则，
所以.
故答案为：
14．已知，则__________.
【答案】132
【解析】令，则，
则可转化为：
，
即，
所以，
所以，
故答案为：132.
15．已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】由，
令，则，即，
又为奇函数，则，
故是以4为周期的周期函数，则，
对，求导得，
故是以4为周期的周期函数，则，
即切点坐标为，切线斜率，
故切线方程为，即.
故答案为：.
16．浑仪（如图）是中国古代用于测量天体球面坐标的观测仪器，它是由一重重的同心圆环构成，整体看起来就像一个圆球.学校天文兴趣小组的学生根据浑仪运行原理制作一个简单模型：同心的小球半径为1，大球半径为R.现要在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面体框架，同时使得小球可以在框架内自由转动，则R的最小值为__________.
【答案】
【解析】由题意，小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证R最小，
如上图，设正四面体的棱长为，为△中心，故面，
又面，则，且，
又小球半径，则OF⊥AC，大球半径，，
易知：△△，故，即，可得.
故答案为：
思路引导
母题呈现
模拟训练
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客观题的解法
数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．
方法一 直接法
【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．x2＝－4y
【思路分析】动点P的轨迹方程→P点满足条件→直接将P点坐标代入化简即可
【方法总结】
1.直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．
2.直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.
【跟踪训练】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于( )
A. B. C. D.
方法二 特例法
【例2】设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A．20 B．15 C．9 D．6
【思路分析】·的值→某种特殊情况下·的值→取 ABCD为矩形
【方法总结】
1.从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
2.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．
【跟踪训练】设椭圆C：＋＝1的长轴的两端点分别是M，N，P是C上异于M，N的任意一点，则直线PM与PN的斜率之积等于________．
方法三 排除法
【例3】 (1)(2020·天津)函数y＝的图象大致为( )
【思路分析】选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除
(2)已知椭圆C：＋＝1(b>0)，直线l：y＝mx＋1.若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是( )
A．[1,4) B．[1，＋∞)
C．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
【思路分析】求b的取值范围→取b的特殊值→特殊情况验证排除
【方法总结】
1.排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．
2.排除法使用要点：,1从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,2当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值例法、验证法等常结合使用.
【跟踪训练】(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列说法正确的是( )
A．当x>0时，f(x)＝ex(1－x)
B．f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)
C．函数f(x)有2个零点
D． x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2
类型四：构造法
【例4】(1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π C．2π D.π
【思路分析】求球O体积→求球O半径→构造正方体(补形)
【方法总结】
1.用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．
2.构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.
【跟踪训练】设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是______________．
类型五：估算法
【例5】(1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例）著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
【思路分析】估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算
【方法总结】1.因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．
2.估算法使用要点：1使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值例法结合起来使用.
2使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.
【跟踪训练】(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A．12 B．18 C．24 D．54
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．过原点的动直线与圆交于不同的两点.记线段的中点为，则当直线绕原点转动时，动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
7．非零实数满足成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．已知椭圆的左 右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A．的虚部为-1 B．
C． D．
10．正方体的棱长为1，点满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若点总满足，则动点的轨迹是一条直线
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个面积为的圆
11．已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A．在上只有一个零点
B．在上可能有4个零点
C．在上单调递增
D．在上恰有2个极大值点
12．数列前项和为，若，且，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．数列为递增数列
C．数列为等差数列
D．的最大值为
三、填空题
13．已知，则与的夹角为__________.
14．已知，则__________.
15．已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为__________.
16．浑仪（如图）是中国古代用于测量天体球面坐标的观测仪器，它是由一重重的同心圆环构成，整体看起来就像一个圆球.学校天文兴趣小组的学生根据浑仪运行原理制作一个简单模型：同心的小球半径为1，大球半径为R.现要在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面体框架，同时使得小球可以在框架内自由转动，则R的最小值为__________.
思路引导
母题呈现
模拟训练
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