四川省内江市名校2022-2023学年八年级下学期入学考试数学试卷
一、单选匙(每小题2分，共16分)
1．（2023八下·内江开学考）在中，是分式的有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：分式有：，，，共三个.
故答案为：B.
【分析】分母中含有字母的式子就是分式，据此一一判断得出答案.
2．（2022八上·灌阳期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、分母，故此选项正确，符合题意；
B、当a=0，分母为零，故此选项错误，不符合题意；
C、当a=±1，分母为零，故此选项错误，不符合题意；
D、当a=-1，分母为零，故此选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】分式有意义的条件就是分母不能为0，据此一一判断得出答案.
3．（2017·武汉模拟）若把分式 中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把原式中的x、y分别换成3x、3y，那么
= × ，
故答案为：C．
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以同一个不为零的数，分式的值不变，但题中分子乘以了3，而分母确乘以了9，所以分式的值要缩小三倍。
4．（2023八下·内江开学考）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，故A选项错误，不符合题意，B选项正确，符合题意；
∵，故C选项错误，不符合题意；
∵，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质，一个分式的分子、分母及分式本身三处的符号，同时改变其中的任意两处的符号，分式的大小不会发生改变，据此一一判断得出答案.
5．（2023八下·内江开学考）已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件；无理方程
【解析】【解答】解：∵ 实数a满足 ，
∴a-2001≥0，即a≥2001，
∴2000-a＜0，
∴，
∴，
∴a-2001=20002，
∴a-20002=2001.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2001≥0，即a≥2001，然后根据绝对值的性质化简绝对值并整理得，最后两边平方即可得出答案.
6．（2021八上·南昌期末）已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：原式=
∵式中有乘数3的倍数
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1个3
∴原式化为
∴
∴
∵是自然数
∴
解得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
故答案为：D．
【分析】将原方程化为，得出，再根据是自然数，求出a、c的值，进而求出答案。
7．（2023八下·内江开学考）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG＋∠ABE＝180°，
∴G、B、E三点共线，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠EAB＝45°，
∴∠BAG＋∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG=45°，
在△EAG和△EAF中，
∵AG＝AF，∠EAG＝∠EAF，AE＝AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
则GE＝BG＋BE＝3＋x，CE＝6 x，
∴EF＝3＋x，
∵∠C＝90°，
∴（6 x）2＋32＝（3＋x）2，
解得，x＝2，
∴BE的长为2．
故答案为：A.
【分析】 如图，首先把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，然后利用全等三角形的性质得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，推出∠EAF＝∠EAG=45°，利用SAS证△EAG≌△EAF，得GE=FE，设BE＝x，再根据DF＝3，AB＝6分别表示出GE、CE、进而利用勾股定理建立方程，可以求出BE的长，本题得以解决．
8．（2023八下·内江开学考）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边ΔABC和等边ΔCDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOE=120°；⑥ΔCPQ为等边三角形；⑦CO平分∠AOE；正确的有（ ）个．
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；反证法；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
又∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD，
∠BCE＝∠DCE＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴结论①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
∵∠ACB＋∠BCD＋∠DCE＝180°，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BCD＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∵∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACB＝60°，
∴PQ∥AE，
∴结论②、③、⑥正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠ADC＋∠DQO＋∠DOQ＝180°，
∠QCE＋∠CQE＋∠QEC＝180°，
∠DQO＝∠CQE，
∴∠DOQ＝∠QCE＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴结论⑤正确；
若DE＝DP，
∵DC＝DE，
∴DP＝DC，
∴∠PCD＝∠DPC，
又∵∠PCD＝60°，
∴∠DPC＝60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，
∴结论④错误；
过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点，
如图所示：
∵CM⊥AD，CN⊥BE，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
在△ACM和△BCN中，
∵∠CAM＝∠CBN，∠AMC＝∠BNC，AC＝BC，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，
∴结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故答案为：C.
【分析】由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD＝∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；角边角证明△ACP≌△BCQ得AP＝BQ，其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ＝∠ACB＝60°判定两线PQ∥AE，结论②正确；角角边证明△ACM≌△BCN，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；即正确结论共6个．
二、填空题(每小题3分，共12分)
9．（2023八下·内江开学考）若分式的值为零，则的值为 .
【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零 ，
∴2x-4≠0，且，
∴x=-2.
故答案为：-2.
【分析】当分式的分子等于0且分母不等于0的时候，分式的值就为0，据此列出混合组，求解即可.
10．（2023八下·内江开学考）已知x满足，则的值是 .
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x-2021=A，则x-2020=x-2021+1=A+1，2022-x=-（x-2021-1）=-（A-1），
∴原方程变形为（A+1）2+[-(A-1)]2=10，即(A+1)2+(A-1)2=10，
化简得2A2+2=10，
∴A2=4，即（x-2021）2=4.
故答案为：4.
【分析】设x-2021=A，则x-2020=x-2021+1=A+1，2022-x=-（x-2021-1）=-（A-1），进而将原方程变形为（A+1）2+[-(A-1)]2=10，求解即可得出答案.
11．（2023八下·内江开学考）如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是BC边上的中线，且AD=2，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，并连接BE，
∵AD是BC边上的中线
∴BD＝CD
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠BDE
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5，
∵AE＝4，AB＝3
∴△AEB 中，AE2＋AB2＝BE2
∴△AEB是直角三角形，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝32＋22＝13
∴.
∴BC=2BD=.
故答案为：.
【分析】延长AD至点E，使DE=AD，并连接BE，从而利用SAS判断出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性质证明AC＝EB＝5，再利用勾股定理的逆定理判断出△AEB是直角三角形，最后根据勾股定理求出CD的长，本问题即可得以解决.
12．（2023八下·内江开学考）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=6，BP=8，CP=10，则S△ABP+S△BPC= .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠ABC＝60°，BP＝BP′，AP′＝PC＝10，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP'；
在△APP′中，PP′＝8，AP＝6，AP′＝10，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'P＋S△APP'=.
故答案为：.
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，AP′＝PC＝10，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，进而根据S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'P＋S△APP'结合三角形的面积公式可求解．
三、解答题(共42分)
13．（2023八下·内江开学考）先化简，再求值：请从-1，0，2中选择一个合适的x的值代入求值
【答案】解：
∵x= 1或2时，原分式无意义，
∴x=0，当x=0时，原式 =1.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入使原分式有意义的x的值计算即可.
14．（2021八上·永州月考）若关于x的分式方程无解，求m 的值.
【答案】解：方程两边都乘x(x-3)，得，
即，
当2m+1=0时，这个方程无解，此时m=-0.5，
关于x的分式方程无解，
故x=0或x-3=0，即x=0或x=3，
当x=0时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·0=-6，此方程无解，
当x=3时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·3=-6，解得m=-1.5，
综上所述，m的值是-0.5或-1.5.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】分两种情况讨论，①先去分母把原方程化成整式方程再整理化简得到 ， 则知当2m+1=0时方程无解，依此求出m；②根据分母等于0分别求解，即x=0或x=3，将此分别代入求解即可.
15．（2023八下·内江开学考）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：如图，过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴EF=EB，
又∵∠B=90°，EF⊥DA，.
∴AE平分∠DAB.
（2）解：∵EF⊥DA，∠C=90°，
∴△EFD和△ECD都为Rt△，
又∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
，
∴
∴
同理∠AEF=∠AEB，S△AEF=S△AEB，
∴
∵AE=4，DE=3，
∴
∴
=12
∴四边形ABCD的面积为12．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）如图，过点E作EF⊥DA于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CE=EF，进而结合中点的定义得EF=EB，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得结论；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CE=EF，利用HL判断出Rt△EFA≌Rt△EBA，根据全等三角形的性质得S△EFD=S△ECD，∠CED=∠FED，同理同理∠AEF=∠AEB，S△AEF=S△AEB，推出∠DEA=90°，进而根据直角三角形的面积计算方法算出△AED的面积，最后根据S四边形ABCD=S△EFD+S△ECD+S△EFA+S△EBA=2（S△EFD+S△EFA）=2S△AED即可算出答案.
16．（2023八下·内江开学考）如图
（1）【操作发现】如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD= 度；
（2）【类比探究】如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形；
（3）【解决问题】如图③，在边长为的等边三角形ABC内有点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积；
（4）【拓展应用】如图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量，AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】（1）60
（2）证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD，
∴
∴
∵AB=AC，AP=AD，
∴
∴BP=CD，
在△PCD中，
∵PD+CD>PC，
又∵PA=PD，
∴AP+BP>PC.
∴PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形.
（3）解：如图3中， 将△ABP绕点A按逆时针方向旋转 60° ，得到△AP'C' ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴ ，即
∴
∴ ，即
∴
∴
∴
（4）解：解：如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60° ，得到△EDC，连接PD、BE.
∴，PC=CD，
∴△PCD是等边三角形，
∴PD=PC，
∴
在Rt 中，
∴
∵PA+PB+PC=DE+BP+PD，
∴当点B、P、D、E四点共线时，PA+PB+PC的值最小BE
即PA+PB+PC的最小值为 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：(1)【操作发现】
∵ △ABC绕点A顺时针旋转60° ，得到△ADE ，
∴ AD=AB，∠DAB=60° ，
∴ △ABD是等边二角形，
∴∠ABD=60° ，
故答案为：60；
【分析】（1）根据旋转的性质得AD=AB，∠DAB=60° ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边二角形，根据等边三角形的性质得∠ABD=60° ；
（2）以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD，易得∠BAP=∠CAD，用SAS判断出△PAB≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得BP=CD，进而根据三角形三边关系即可判断得出结论；
（3）将△ABP绕点A按逆时针方向旋转 60° ，得到△AP'C' ，易得△APP'是等边三角形，再结合周角的定义得∠AP'C=∠APB=150°，根据等边三角形的性质及角的和差可得∠PP'C=90°，∠P'PC=30°，根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理建立方程，求出PC的长，最后根据三角形的面积计算方法算出答案；
（4）根据旋转的性质得∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，∠PCD=60°，PC=CD，故得△PCD是等边三角形，易得∠BCE=90°，在Rt△BCE中，利用勾股定理算出BE，由于PA+PB+PC=DE+BP+PD，所以当点B、P、D、E四点共线时，PA+PB+PC的值最小，就等于BE.
1 / 1四川省内江市名校2022-2023学年八年级下学期入学考试数学试卷
一、单选匙(每小题2分，共16分)
1．（2023八下·内江开学考）在中，是分式的有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022八上·灌阳期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·武汉模拟）若把分式 中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
4．（2023八下·内江开学考）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·内江开学考）已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
6．（2021八上·南昌期末）已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2023八下·内江开学考）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023八下·内江开学考）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边ΔABC和等边ΔCDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOE=120°；⑥ΔCPQ为等边三角形；⑦CO平分∠AOE；正确的有（ ）个．
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题(每小题3分，共12分)
9．（2023八下·内江开学考）若分式的值为零，则的值为 .
10．（2023八下·内江开学考）已知x满足，则的值是 .
11．（2023八下·内江开学考）如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是BC边上的中线，且AD=2，则BC的长为 .
12．（2023八下·内江开学考）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=6，BP=8，CP=10，则S△ABP+S△BPC= .
三、解答题(共42分)
13．（2023八下·内江开学考）先化简，再求值：请从-1，0，2中选择一个合适的x的值代入求值
14．（2021八上·永州月考）若关于x的分式方程无解，求m 的值.
15．（2023八下·内江开学考）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．
16．（2023八下·内江开学考）如图
（1）【操作发现】如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD= 度；
（2）【类比探究】如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形；
（3）【解决问题】如图③，在边长为的等边三角形ABC内有点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积；
（4）【拓展应用】如图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量，AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：分式有：，，，共三个.
故答案为：B.
【分析】分母中含有字母的式子就是分式，据此一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、分母，故此选项正确，符合题意；
B、当a=0，分母为零，故此选项错误，不符合题意；
C、当a=±1，分母为零，故此选项错误，不符合题意；
D、当a=-1，分母为零，故此选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】分式有意义的条件就是分母不能为0，据此一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把原式中的x、y分别换成3x、3y，那么
= × ，
故答案为：C．
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以同一个不为零的数，分式的值不变，但题中分子乘以了3，而分母确乘以了9，所以分式的值要缩小三倍。
4．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，故A选项错误，不符合题意，B选项正确，符合题意；
∵，故C选项错误，不符合题意；
∵，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质，一个分式的分子、分母及分式本身三处的符号，同时改变其中的任意两处的符号，分式的大小不会发生改变，据此一一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件；无理方程
【解析】【解答】解：∵ 实数a满足 ，
∴a-2001≥0，即a≥2001，
∴2000-a＜0，
∴，
∴，
∴a-2001=20002，
∴a-20002=2001.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2001≥0，即a≥2001，然后根据绝对值的性质化简绝对值并整理得，最后两边平方即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：原式=
∵式中有乘数3的倍数
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1个3
∴原式化为
∴
∴
∵是自然数
∴
解得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
故答案为：D．
【分析】将原方程化为，得出，再根据是自然数，求出a、c的值，进而求出答案。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG＋∠ABE＝180°，
∴G、B、E三点共线，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠EAB＝45°，
∴∠BAG＋∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG=45°，
在△EAG和△EAF中，
∵AG＝AF，∠EAG＝∠EAF，AE＝AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
则GE＝BG＋BE＝3＋x，CE＝6 x，
∴EF＝3＋x，
∵∠C＝90°，
∴（6 x）2＋32＝（3＋x）2，
解得，x＝2，
∴BE的长为2．
故答案为：A.
【分析】 如图，首先把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，然后利用全等三角形的性质得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，推出∠EAF＝∠EAG=45°，利用SAS证△EAG≌△EAF，得GE=FE，设BE＝x，再根据DF＝3，AB＝6分别表示出GE、CE、进而利用勾股定理建立方程，可以求出BE的长，本题得以解决．
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；反证法；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
又∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD，
∠BCE＝∠DCE＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴结论①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
∵∠ACB＋∠BCD＋∠DCE＝180°，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BCD＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∵∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACB＝60°，
∴PQ∥AE，
∴结论②、③、⑥正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠ADC＋∠DQO＋∠DOQ＝180°，
∠QCE＋∠CQE＋∠QEC＝180°，
∠DQO＝∠CQE，
∴∠DOQ＝∠QCE＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴结论⑤正确；
若DE＝DP，
∵DC＝DE，
∴DP＝DC，
∴∠PCD＝∠DPC，
又∵∠PCD＝60°，
∴∠DPC＝60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，
∴结论④错误；
过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点，
如图所示：
∵CM⊥AD，CN⊥BE，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
在△ACM和△BCN中，
∵∠CAM＝∠CBN，∠AMC＝∠BNC，AC＝BC，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，
∴结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故答案为：C.
【分析】由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD＝∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；角边角证明△ACP≌△BCQ得AP＝BQ，其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ＝∠ACB＝60°判定两线PQ∥AE，结论②正确；角角边证明△ACM≌△BCN，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；即正确结论共6个．
9．【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零 ，
∴2x-4≠0，且，
∴x=-2.
故答案为：-2.
【分析】当分式的分子等于0且分母不等于0的时候，分式的值就为0，据此列出混合组，求解即可.
10．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x-2021=A，则x-2020=x-2021+1=A+1，2022-x=-（x-2021-1）=-（A-1），
∴原方程变形为（A+1）2+[-(A-1)]2=10，即(A+1)2+(A-1)2=10，
化简得2A2+2=10，
∴A2=4，即（x-2021）2=4.
故答案为：4.
【分析】设x-2021=A，则x-2020=x-2021+1=A+1，2022-x=-（x-2021-1）=-（A-1），进而将原方程变形为（A+1）2+[-(A-1)]2=10，求解即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，并连接BE，
∵AD是BC边上的中线
∴BD＝CD
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠BDE
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5，
∵AE＝4，AB＝3
∴△AEB 中，AE2＋AB2＝BE2
∴△AEB是直角三角形，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝32＋22＝13
∴.
∴BC=2BD=.
故答案为：.
【分析】延长AD至点E，使DE=AD，并连接BE，从而利用SAS判断出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性质证明AC＝EB＝5，再利用勾股定理的逆定理判断出△AEB是直角三角形，最后根据勾股定理求出CD的长，本问题即可得以解决.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠ABC＝60°，BP＝BP′，AP′＝PC＝10，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP'；
在△APP′中，PP′＝8，AP＝6，AP′＝10，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'P＋S△APP'=.
故答案为：.
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，AP′＝PC＝10，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，进而根据S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'P＋S△APP'结合三角形的面积公式可求解．
13．【答案】解：
∵x= 1或2时，原分式无意义，
∴x=0，当x=0时，原式 =1.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入使原分式有意义的x的值计算即可.
14．【答案】解：方程两边都乘x(x-3)，得，
即，
当2m+1=0时，这个方程无解，此时m=-0.5，
关于x的分式方程无解，
故x=0或x-3=0，即x=0或x=3，
当x=0时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·0=-6，此方程无解，
当x=3时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·3=-6，解得m=-1.5，
综上所述，m的值是-0.5或-1.5.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】分两种情况讨论，①先去分母把原方程化成整式方程再整理化简得到 ， 则知当2m+1=0时方程无解，依此求出m；②根据分母等于0分别求解，即x=0或x=3，将此分别代入求解即可.
15．【答案】（1）证明：如图，过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴EF=EB，
又∵∠B=90°，EF⊥DA，.
∴AE平分∠DAB.
（2）解：∵EF⊥DA，∠C=90°，
∴△EFD和△ECD都为Rt△，
又∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
，
∴
∴
同理∠AEF=∠AEB，S△AEF=S△AEB，
∴
∵AE=4，DE=3，
∴
∴
=12
∴四边形ABCD的面积为12．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）如图，过点E作EF⊥DA于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CE=EF，进而结合中点的定义得EF=EB，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得结论；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CE=EF，利用HL判断出Rt△EFA≌Rt△EBA，根据全等三角形的性质得S△EFD=S△ECD，∠CED=∠FED，同理同理∠AEF=∠AEB，S△AEF=S△AEB，推出∠DEA=90°，进而根据直角三角形的面积计算方法算出△AED的面积，最后根据S四边形ABCD=S△EFD+S△ECD+S△EFA+S△EBA=2（S△EFD+S△EFA）=2S△AED即可算出答案.
16．【答案】（1）60
（2）证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD，
∴
∴
∵AB=AC，AP=AD，
∴
∴BP=CD，
在△PCD中，
∵PD+CD>PC，
又∵PA=PD，
∴AP+BP>PC.
∴PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形.
（3）解：如图3中， 将△ABP绕点A按逆时针方向旋转 60° ，得到△AP'C' ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴ ，即
∴
∴ ，即
∴
∴
∴
（4）解：解：如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60° ，得到△EDC，连接PD、BE.
∴，PC=CD，
∴△PCD是等边三角形，
∴PD=PC，
∴
在Rt 中，
∴
∵PA+PB+PC=DE+BP+PD，
∴当点B、P、D、E四点共线时，PA+PB+PC的值最小BE
即PA+PB+PC的最小值为 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：(1)【操作发现】
∵ △ABC绕点A顺时针旋转60° ，得到△ADE ，
∴ AD=AB，∠DAB=60° ，
∴ △ABD是等边二角形，
∴∠ABD=60° ，
故答案为：60；
【分析】（1）根据旋转的性质得AD=AB，∠DAB=60° ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边二角形，根据等边三角形的性质得∠ABD=60° ；
（2）以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD，易得∠BAP=∠CAD，用SAS判断出△PAB≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得BP=CD，进而根据三角形三边关系即可判断得出结论；
（3）将△ABP绕点A按逆时针方向旋转 60° ，得到△AP'C' ，易得△APP'是等边三角形，再结合周角的定义得∠AP'C=∠APB=150°，根据等边三角形的性质及角的和差可得∠PP'C=90°，∠P'PC=30°，根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理建立方程，求出PC的长，最后根据三角形的面积计算方法算出答案；
（4）根据旋转的性质得∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，∠PCD=60°，PC=CD，故得△PCD是等边三角形，易得∠BCE=90°，在Rt△BCE中，利用勾股定理算出BE，由于PA+PB+PC=DE+BP+PD，所以当点B、P、D、E四点共线时，PA+PB+PC的值最小，就等于BE.
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