北师大版七年级数学下册4.1 认识三角形 同步练习（含解析）

4.1 认识三角形 同步练习 北师大版七年级（下）
一．选择题（共10小题）
1．如果一个三角形的三个内角都不相等，那么最小角一定小于（　　）
A．60° B．59° C．45° D．30°
2．若三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，则三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．形状无法确定
4．在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大12°，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．有下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　）
A．1 cm、2 cm、3 cm B．1 cm、4 cm、2 cm
C．2 cm、3 cm、4 cm D．6 cm、2 cm、3 cm
6．已知一个三角形有两条边相等，一边长为4cm，另一边长为7cm，则这个三角形的周长为（　　）
A．15 cm B．18 cm
C．不能确定 D．15 cm或18 cm
7．如图，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．80°
8．三角形的两边分别为a和b（a＞b），则周长l的范围是（　　）
A．2a＜l＜3b B．2a＜l＜2（a+b）
C．2a+b＜l＜a+2b D．2b＜l＜2（a+6）
9．下列说法中错误的是（　　）
A．三角形三条角平分线都在三角形的内部
B．三角形三条中线都在三角形的内部
C．三角形三条高都在三角形的内部
D．三角形三条高至少有一条在三角形的内部
10．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD
二．填空题（共5小题）
11．一个三角形最多有　 　个直角；有　 　个锐角；有　 　个钝角．
12．△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则∠A＝　 　度．
13．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝　 　°．
14．如图，已知CD∥AB，AD，BC交于点O，∠AOB＝80°，若∠C＝30°，则∠EAD＝　 　．
15．甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．如图所示，M，N是△ABC内任意两点，试探索AB+AC与BM+MN+NC的大小关系，并写出探究过程．
17．如图，P是△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP．
（1）AB+AC＞BP+PC是否成立？若成立，请说明理由；
（2）试比较PA+PB+PC与AB+AC+BC的大小关系，并说明理由．
18．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，且AB+PC＞AC+PB，求证：AB＞AC．
19．如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD的周长差为多少？
20．如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．
请问：（1）DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（2）若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？
4.1 认识三角形 同步练习 2023年北师大版七年级（下）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1． 解：假设，最小角度大于或等于60°，则另外两个角一定也大于60°，
那么此三角形内角和大于180°，
故假设不成立，
所以此三角形的最小角一定要小于60°．
故选：A．
2． 解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，2k°，3k°，
根据三角形内角和定理，可知k°+2k°+3k°＝180°，
得k°＝30°，
那么三角形三个内角的度数分别是30°，60°和90°．
故选：B．
3． 解：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
又∵A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
解得：∠A＝30°，
∴∠C＝90°．
即该三角形是直角三角形．
故选：B．
4． 解：设∠B为x，则∠A＝2x，∠C＝3x+12，
由题意得：x+2x+3x+12＝180°，
解得：x＝28°，2x＝56°，3x+12＝96°，
即三角形为钝角三角形．
故选：C．
5． 解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误；
B、1+2＜4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、2+3＞4，能够组成三角形，故此选项正确；
D、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：C．
6． 解：当相等的两边是4cm时，另一边长为7cm，则三角形的周长是4×2+7＝15cm，
当相等的两边是7cm时，则三角形的周长是4+7×2＝18cm，
故选：D．
7． 解：∵∠1＝100°，∠C＝70°，
∴∠A＝∠1﹣∠C＝100°﹣70°＝30°．
故选：C．
8． 解：假设第三边为c，
由三角形三边关系定理得：a﹣b＜c＜a+b，
∴这个三角形的周长C的取值范围是：a+b+a﹣b＜l＜a+b+a+b＝2（a+b），
∴2a＜l＜2（a+b），
故选：B．
9． 解：A、三角形三条角平分线都在三角形的内部，故正确；
B、三角形三条中线都在三角形的内部，故正确；
C、直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，故错误．
D、三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故正确．
故选：C．
10． 解：∵∠C＜∠B，
∴AB＜AC，
∵AB＝BDAC＝EC
∴BE+ED＜ED+CD，
∴BE＜CD．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11． 解：如果一个三角形中出现2个或3个钝角，那么三角形的内角和就大于180°，不符合三角形内角和是180°；
如果一个三角形中出现2个或3个直角，再加上第三个角，那么三角形的内角和就大于180°，也不符合三角形内角和是180°；
所以，三角形中最多有一个钝角或直角，最少有两个锐角，一个三角形中最多有3个锐角，如锐角三角形．
故答案为：1，3，1．
12． 解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C，
∴5∠C＝180°，即∠C＝36°．
则∠A＝72°．
13． 解：∵∠CDE＝150°，
∴∠CDB＝180﹣∠CDE＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
14． 解：∵CD∥AB，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠AOB＝80°，
∴∠EAO＝∠AOB+∠B＝80°+30°＝110°．
故答案为：110°．
15． 解：（1）甲乙都在学校同侧，则d≥4﹣1＝3；
（2）甲乙在学校两侧，则d≤4+1＝5；
则d的取值范围为：3≤d≤5．
三．解答题（共5小题）
16． 解：AB+AC＞BM+MN+NC．
理由：延长BM交AC于D，延长MN交AC于F，
∴AB+AD＞BM+MD①，
DM+DF＞MN+NF②，
NF+CF＞CN③，
∴①+②+③得，AB+AC＞BM+MN+NC．
17． 解：（1）成立．
理由：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①，
在△PCD中，PC＜PD+CD②，
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
（2）结论：PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
根据第一问的结论有 PB+PC＜AB+AC，
PA+PB＜CA+CB，
PA+PC＜BA+BC，
∴2PA+2PB+2PC＜2AB+2AC+2BC，
∴PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
18． 证明：假设AC＞AB，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，
在△AEP和△ACP中，
，
∴△AEP≌△ACP（SAS），
∴PE＝PC，
∵AB+PC＞AC+PB，
∴AC﹣AB＞PC﹣PB，
BE＜PE﹣PB，
在△PBE中，BE＞PE﹣PB，
假设不成立；
若AB＝AC，
在△ABP和△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP（SAS），
∴PB＝PC，
∴AB+PC＝AC+PB，
与已知矛盾，
综上所述AB＞AC．
19． 解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），
＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，
＝AB﹣BC，
∵AB＝6cm，BC＝4cm，
∴△ABD和△BCD的周长差＝6﹣4＝2cm．
答：△ABD和△BCD的周长差为2cm．
20． （1）DO是∠EDF的角平分线，
证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝EDA，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形，
∴DO是∠EDF的角平分线．
（2）解：正确．
①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；
②如和DE∥AB交换，
理由是：∵DF∥AC，
∴∠FDA＝∠EAD，
∵AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，∠EDA＝∠FDA，
∴∠EAF＝∠EDF，
∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∵∠EDF+∠EFD+∠DEF＝180°，∠EAF+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠DEF＝∠AFE，
∴DE∥AB，正确．
③如和AE∥DF交换，正确理由与②类似．
答：若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确．