2022-2023学年人教版七年级数学下册8.2　消元——解二元一次方程组课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
8.2.2 消元——解二元一次方程组
（加减消元法）
主要步骤：
基本思路:
4、写解
3、求解
2、代入
把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
1、变形
用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b
消元: 二元
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、用代入法解方程的步骤是什么？
一元
复习：
解法一：设胜x场，负y场，则有
x+y=10①
2x+y=16②　
篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部的10场比赛中得到16分，那么这个队胜负应该分别是多少？
新课导入
x+y=10
2x+y=16
这两个方程中未知数y的系数相同,
①
②
②-①可消去未知数y得
把x=6代入①,得 y=4.
①-②也能消去
未知数y,求得
x吗
像这样,通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就
可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做
加减消元法,简称加减法.
x=6
（②-①等式性质）
联系上面的方法,想一想应怎样解方程组
4x+10y=3.6
15x-10y=8
①②
解:①+②, 得 19x=11.6
x=
二元一次方程组
4x+10y=3.6
15x-10y=8
一元一次方程
19x=11.6
x=
y=
把x=
代入①,得y=
∴ 这个方程组的解为
x=
y=
①+②
同减异加
归纳:
我们发现,如果二元一次方程组的两个方程中
某个未知数的系数相同或互为相反数,就可以直接用
加减法显得非常简便.
例1.用加减法解下列方程组:
(1)
4x+y=2
4x-3y=-6
①②
解: (1)①-②, 得
4y=8
y=2
把y=2代入方程①,得
x=0
3x + 7y = 27 ①
4x - 7y =－13 ②
(2)
解：
① + ②，得
7x = 14
把 x = 2 代入①，得
3 ×2 + 7y = 27
y= 3
所以原方程组的解是
x = 2
y = 3
所以原方程组的解是
x = 0
y = 2
(1) ①×2-②, 得
4x=5
x=1.25
把x=1.25代入②,得
y=-2.375
3x+2y=-1
2x+4y=-7
(1)
所以,原方程组的解为
x = 1.25
y = -2.375
① ②
例2:
(3)
7x+3y=36
2x+9y=51
系数的绝对值成倍数关系：
归纳：当两个方程中某个未知数的
系数成倍数关系时,我们也可以用加
减法,只不过在加或减之前,可先将一
个方程变形成与另一个方程中相同
未知数的系数相同,这样就可以达到
消元的目的.
① ②
看一看下面这个例子,我们又该如何解决呢
3x+4y=16
5x-6y=33
能用加减法做吗 怎么做呢 试试看!
解：① × 3 ，得：9x+12y=48 ③
②×2，得：10x-12y=66 ④
③十④，得：19x= 11
x=6
把x=6代入①得 3x6+4y=16
y=-1/2
所以原方程组的解为 x=6
y=-1/2
例3:
例4: 用加减法解方程组
4x＋5y=23 ①
5x－2y=4 ②
解：①×2，得 8x＋10y=46 ③
②×5，得 25x－10y=20 ④
③＋④，得 33x=66 x=2
把x=2代入②，得 5×2－2y=4， y=3
所以这个方程组的解是
x=2
y=3
（1）
(2)
加减法归纳：
用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．
解：原方程组变形为
　①－②，得：2y=2 y=1　　
把y=1代入①，得x=2
例5 用加减法解方程组
2（2x+1）=15－5y
3（y+1）=14-4x
4x+5y=13　　①
4x+3y=11　　②
x=2
y=1
所以原方程组的解是
解：由①×6，得
3x+2y=9 ③
由②×15，得
5x-3y=15 ④
例6 用加减法解方程组
②
①
③④组成一个新的方程组：
3x+2y=9 ③
5x-3y=15 ④
③×3，得 9x＋6y=27 ⑤
④×2，得 10x－6y=30 ⑥
⑤＋⑥，得 19x= 57 x=3
把x= 3代入③，得
3×3＋2y=9
y=0
所以原方程组的解是
x=3
y=0
对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母,去括号, 合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑。
注意：
复杂方程先化简
基本思路:
主要步骤：
加减消元:
二元
一元
加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？
处理系数
同一个未知数的系
数变成相同或相反的数
代入
求值2
写解
写出方程组的解
加/减
求值1
解方程组：
解：原方程组可化为：
2x+3y=4 ③
2x - y=8 ④
由③-④得: y= -1
所以原方程组
的解是
把y= -1代入② ，
解得:
②
①
方法1：
由 ④得: y= 2x-8
⑤
把⑤代入③ ，得:
2x+3 (2x-8) =4
x=7/2
把x=7/2代入⑤得
y=-1
方法2：
主要步骤：
基本思路：
写解
求解
加减
二元变一元
加减消元：
消去一个元
求出两个未知数的值
写出方程组的解
加减消元法解方程组基本思路和主要步骤：
变形
同一个未知数的系数相同或互为相反数
每个二元一次方程组均可采用代入法和加减法求解，但在解题中
要根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法，使计算过程更简便。
当化简后的方程组存在一个方程的某个未知数系数的绝对值是1或
有一个方程的常数项是0时，用代入法；当两个方程中某个未知数
的绝对值相等或整数倍时，用加减法。
例 7： 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
解：设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷
化简，得：
①
②
②－①，得： 11x=4.4，
解得 x=0.4
把x=0.4代入①中，得：y=0.2
所以原方程组的解是
答：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷。
例8： 两个完全相同的纸杯中盛有相同重量的水，现将第一个纸杯中的若干重量的水倒入第二个纸杯中，称得第一个纸杯重50克，第二个纸杯重90克（纸杯本身的重量忽略不计），问原来纸杯中各盛有多少克水？从第一个纸杯中倒了多少克水到第二个纸杯中？
解：设原来纸杯中盛有x克水，从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为y克，根据题意，得
x－y=50 ①
x＋y=90 ②
①＋②得：（x－y）＋（x＋y）＝50＋90，
则有 2x＝50＋90 所以 x=70
或者：
②－①得 ：（x+y） －（x－y）＝90－50，
则有 2y＝40 所以 y=20
x－y=50 ①
x＋y=90 ②
上述方程的另一种解法是：
例9 已知方程组
与方程组
的解相同，求a，b的值．
ax-by=4
ax+by=2
4x+3y=11
4x-5y=3
解方程组
得
解：
4x+3y=11
4x-5y=3
把x=2，y=1代入 得，
ax-by=4
ax+by=2
x=2
y=1
2a－b=4
2a＋b=2
解得
a=1.5
b=－1
例10 解关于x，y的方程组
4x+3ky+1=0 ①
6y-4x=1 ②
解：①+②得（3k+6）y=0
即（2+k）y=0
（1）当k≠－2时，y=0
（2）当k=-2时，则k+2=0，（2+k）y=0恒成立
原方程组有无数组解．
把y=0代入②，得 -4x=1
y=0
例11 已知4|5x＋3y－23| ＋5（x＋4y－8）2 = 0 ，求x－y的值．
解：由题知，
5x+3y-23=0 ①
x+4y－8=0 ②
解这个方程组，得
x=4
y=1
所以 x－y=4－1=3
例12 已知4x3a+b－3 +3y2a-b=2，是关于x、y的二元一次方程，试求a、b的值．
解：根据题意：得
3a+b－3=1
2a-b=1
解，得
a=1
b=1
解：由已知得
3x-2y- 8z=0 ①
2x+y-10z=0 ②
例13 已知：3x-2y-8z=0，2x+y-10z=0，且x，y，z均不为零，求 的值．
解得
x=4z
y=2z
把x=4z，y=2z代入所求代数式，解得
例13 当x = 2与x = －3时，代数式2x2+ax－b的值都是9，求a， b 的值．
解：把x=2，x=－3代入2x2+ax-b，得
8＋2a－b=9
18－3a－b=9
即
2a－b=1
3a＋b=9
解，得
a=2
b=3
例14 a 为何值时，方程组 的解互为相反数，并求它的值．
2x-7y=9a
3x+4y=a-6
解：若方程组的解互为相反数，则有y=-x，将y=-x代入原方程组，得
2x+7x=9a
3x-4x=a-6
解，得
x=3
a=3
当a=3时，原方程组中的解互为相反数，
即
x=3
y=-3
例15 m ， n 为何值时，5x4m-ny3m+2n与3x5y6m是同类项．
解：根据同类项的定义，有
4m-n=5
3m+2n=6m
解，得
m=2
n=3
1．代入消元法解二元一次方程组
对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样运算简便．
课堂小结
用加减法解二元一次方程组的思想：“二元”消元转化为“一元”．条件：某一未知数系数绝对值相等．
2．用加减消元法解二元一次方程组
2．若（x-2y－3）2+（2x－y-3）2=0， 则x、y的
值是x=___，y=______．
1
－1
1．二元一次方程组 的解是________．
4x-y=5
5x+2y=10
x=0
y=－5
3．已知│x＋y－5│＋（2x－3y＋10）2=0，则
x=____，y=____．
1
4
随堂练习
4．己知： ，则方程组
的解是___________．
x=2，y=3
5．已知（3m+2n-16）2与|3m-n-1|互为相反数，
则m+2n=_______．
12
6．若方程 （a2-9）x2+（2-4a）x+（a+4）y+
3a－5=0 是二元一次方程，则a的值为＿＿．
±3
7．已知5a3xb2x-y和-9a8-yb7是同类项，则2xy=____．
－6
2
3
8．若方程组 与 方程组
同解，则 m=______，n=______．
9．下列方程组中，
x=_____，y=______．
4
2
10．已知方程组 ，且x+y=2，
则m2-2m+5的值是____．
11．当m≠＿＿时，方程组 有一组解．
8
12．已知方程组 ，且y=3x，则m=___．
1
13．己知 ，则
的值是______．
2
14． 己知 ，则 的值是
_______．
2
15.如果二元一次方程组
ax-by=1,
3ax+2by=23
的解是
x=5
y=4.
求a-b的值.
1、若方程组 的解满足
2x-5y=-1，则m 为多少？
2、若(3x+2y-5)2+|5x+3y-8|=0
求x2+y-1的值。
x+y=8m
x-y=2m