6.4.3正弦定理专项练习（第二课时）解析版
一、单选题
1．在中，若，，，则（ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】A
【分析】使用正弦定理求解即可．
【详解】由正弦定理得：，即，
故，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了正弦定理得使用，正确代入相关数值进行计算是关键．
2．中，角A、B、C所对的边分别为，已知，则B=（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】由题知：，所以，解得.
因为，所以或.
故选：D
3．已知a.b.c分别是的内角A B C的对边，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】已知不等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到，根据不为0得到，进而可得B为钝角，即可得解.
【详解】∵，
∴利用正弦定理化简得：，
整理得：，
∵，
∴.
∵，
∴ B为钝角，三角形ABC为钝角三角形.
故选：A
4．在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
【答案】B
【分析】直接利用正弦定理计算可得；
【详解】解：因为，，，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以或，所以三角形有两解；
故选：B
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用正弦定理即可求得.
【详解】在中，由正弦定理，可得，可得：，为锐角，．故选：B
6．锐角中，已知，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理把用有表示，利用三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，利用已知条件求得角范围，然后结合正弦函数性质得结论．
【详解】由正弦定理可得，
所以．
因为为锐角三角形，所以．
即．
故选：C
7．已知三内角，，的对边分别为，，，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．5
【答案】A
【分析】利用正弦定理的边角互化可得，从而可得，再由，根据三角形的面积公式可得，即，再由基本不等式即可求解.
【详解】解析：由及正弦定理，得，
因为，，
所以，即.
因为，所以.
如图，，
所以，
所以，即，所以，
当且仅当，，即时，等号成立，所以的最小值为4.
故选：A.
8．在△中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．32 C．24 D．18
【答案】B
【分析】先由三角形面积公式得，再利用基本不等式“1”的代换求最小值.
【详解】由题意知，，
由三角形面积公式得：，化简得
∴，
故当且仅当时取等号.
故选：B
二、多选题
9．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．下列四个论断正确的是( )
A．若，则 B．
C．若，则 D．，，此三角形无解
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理和三角形性质可判断ACD，根据三角形内角和及三角函数诱导公式可判断B．
【详解】对于A，若，则a>b，根据正弦定理得，故A正确；
对于B，若，故B错误；
对于C，若，则根据正弦定理得，即tanB=1，∵B是三角形内角，故，故C正确；
对于D，若，，，则根据正弦定理得，故△ABC无解，故D正确．
故选：ACD．
10．已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． 或 B．
C． D．该三角形的面积为
【答案】BC
【分析】利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，由此求得，进而求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，从而确定正确选项.
【详解】由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，所以，
由于，所以，所以，
三角形的面积为，
故BC选项正确，AD选项错误.
故选：BC.
11．(多选题)锐角△中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．sinA>sinB B．cosAC．sinA>cosB D．sinB>cosA
【答案】ABCD
【分析】由正弦定理得出，判断A，由余弦函数性质判断B，由正弦函数性质及诱导公式判断CD．
【详解】因为，
所以A>B a>b sinA>sinB，故A成立.
函数y=cosx在区间[0，π]上是减函数，
∵A>B，∴cosA在锐角三角形中，∵A+B>，∴A>B，
函数y=sinx在区间上是增函数，
则有sinA>sin，即sinA>cosB，C成立，
同理sinB>cosA，故D成立.
故选：ABCD．
12．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
【答案】ACD
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.
【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；
对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；
对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．在中，，，若此三角形恰有两解，则边长度的取值范围为_________．
【答案】
【分析】作出图形，可得出当恰有两解时，所满足的不等式，即可得解.
【详解】如下图所示：
若恰有两解，则，即.
故答案为：.
14．的内角的对边分别为，若，则__________.
【答案】
【分析】由正弦定理化角为边后，应用余弦定理可得．
【详解】因为，由正弦定理得，
所以．
故答案为：．
15．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，并且，则的面积为___________.
【答案】
【分析】由题知,进而根据，整理得，再结合得，，故，再结合正弦定理得，最后用面积公式计算即可.
【详解】因为，，
所以.
又，
即：
结合，得，.
于是.
由及正弦定理，得.
故的面积.
故答案为：
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题．
16．记锐角的内角，，的对边分别为，，，且，若，是的两条高，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得角，再根据高线的性质可得，再利用边角互化，结合三角函数值域可得范围.
【详解】由，得，
再由正弦定理得，故，
所以，
故，
又为锐角三角形，
故，即，
，
故，
故答案为：.
四、解答题
17．在中，角、、的对边分别为，，．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由题可得，再根据正弦定理即可解出.
【详解】（1）因为，，，，
所以，
即，
解得：；
（2）因为，而，
所以，又，
所以．
18．在中，角所对边分别是，且．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将化简代入数据得到答案.
（2）利用余弦定理和均值不等式计算，代入面积公式得到答案.
【详解】（1）．
（2）在中，，可得：，
由余弦定理可得，
即有，当且仅当时，取得等号，
则面积，
即当时，的面积取得最大值．
【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.
19．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，角化边，结合余弦定理求得，即可得答案;
（2）由余弦定理可得，配方后利用基本不等式可求得,从而求得三角形周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理，得,即，
由余弦定理得，，
又，所以.
（2）由和（1）可知，
则，
得，即，
所以（当且仅当时，取得等号），
所以周长的最大值为.
20．在①，，②，成等差数列，③，的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，__________？
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】答案不唯一，见解析.
【分析】若选择条件①，根据正弦定理，边角互化，可得，再利用三角恒等变形，化简求角，再结合边，判断三角形；若选择条件②，利用二倍角公式化简求得，再结合，结合余弦定理求边长；若选择条件③，首先利用三角恒等变形求得角，再根据面积公式求，最后根据余弦定理求边长.
【详解】选条件①：
由及正弦定理，得.
因为在中，，所以，所以，即，
又，所以，又，，所以不存在这样的三角形.
因此，选条件①时，问题中的三角形不存在.（
选条件②：
由及，得，
解得或（舍去）.因为成等差数列，所以，所以，
又，所以，由余弦定理，得，即，
所以.由，解得.故为正三角形.
因此，选条件②时，问题中的三角形存在，且.
选条件③：
由，得，即，由，得，
所以，所以，由，得.
由余弦定理，得，所以，从而或.
因此，选条件③时，问题中的三角形存在，且或.
【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
21．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，
（1）求A；
（2）若，的面积为，求．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，由此计算出的值，即可求解出的值；
（2）先根据三角形的面积公式求解出的值，然后利用余弦定理求解出的值.
【详解】解：（1）因为，
所以由正弦定理得，
又因为， 从而，
由于， 所以．
（2）因为，的面积为，
所以，
所以．
由余弦定理，得，
所以．
【点睛】本题考查正、余弦定理的综合应用，其中涉及边角互化以及面积公式的应用，对学生的转化与计算能力有一定要求，难度一般.
22．如图，在中，，，D，E分别在边BC，AC上，，且．
(1)求；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，先得出，进而在中运用正弦定理得到的另外一个等式，然后解出答案；
（2）由（1）求出，进而确定，然后求出，最后结合三角形面积公式解得答案.
(1)
由，，得…①，
在中，，
由正弦定理得，
即…②，
将①代入②得，故．
(2)
由，，得到，
在中，，
，
由，易知A为锐角，则，
∴．
∵，
∴，∴的面积是．6.4.3正弦定理（第二课时）专项练习
一、单选题
1．在中，若，，，则（ ）
A．5 B． C． D．3
2．中，角A、B、C所对的边分别为，已知，则B=（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
3．已知a.b.c分别是的内角A B C的对边，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
4．在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．锐角中，已知，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知三内角，，的对边分别为，，，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．5
8．在△中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．32 C．24 D．18
二、多选题
9．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．下列四个论断正确的是( )
A．若，则 B．
C．若，则 D．，，此三角形无解
10．已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． 或 B．
C． D．该三角形的面积为
11．(多选题)锐角△中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．sinA>sinB B．cosAC．sinA>cosB D．sinB>cosA
12．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
三、填空题
13．在中，，，若此三角形恰有两解，则边长度的取值范围为_________．
14．的内角的对边分别为，若，则__________.
15．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，并且，则的面积为___________.
16．记锐角的内角，，的对边分别为，，，且，若，是的两条高，则的取值范围是______.
四、解答题
17．在中，角、、的对边分别为，，．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．在中，角所对边分别是，且．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
19．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
20．在①，，②，成等差数列，③，的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，__________？
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
21．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，
（1）求A；
（2）若，的面积为，求．
22．如图，在中，，，D，E分别在边BC，AC上，，且．
(1)求；
(2)求的面积．
