第六章计数原理章末强化训练（答案）
排列与组合
1、从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为( C )
A.6 B.8 C.12 D.16
解: 的值的个数即为从3，5，7，11这四个数中任选2个数的排列数，A＝4×3＝12.
2、用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有( B )
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
解:根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，
当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；
当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，
因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.
3、某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( B )
A.15 B.30 C.35 D.42
解:甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C种情况，发言的3人来自2家企业的情况有CC种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C－CC＝30(种).
4、北京APEC峰会期间，有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( C )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
解:从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；
则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法.
5、6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( C )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
解:先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法；
再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法；
最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，
由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法.
6、甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( C )
A.90 B.120 C.210 D.216
解:因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有CA＝120(种)站法；第二类，有2人站在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有CCA＝90(种)站法.综上，每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法种数是120＋90＝210.故选C.
7、将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( C )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
解:根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：
第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；
第二步：将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法.
故满足题意的分配方案共有C·A＝240种.
8、周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为( C )
A.8 B.12 C.16 D.20
解:将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况，①④坐家长②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家长，所以不同的坐法种数为4AA＝16.
① ② ③ ④
9、甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( B )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
解:先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24种，故选B.
10、名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有( C )
A.4种 B.5种 C.6种 D.8种
解:先将3名大学生分成2组有C·C种分法，再分配到2个村有A种分法，则不同的分配方案共有C·C·A＝6种.
11、某单位准备组织一场混合双打比赛，现从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手进行一场混合双打比赛，则不同的选法有( B )
A．150种 B．300种
C．450种 D．600种
解:由题意知从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手，有CC种选法，将选出的4名选手按混合双打的要求分组，有2种分组方法，故共有CC×2＝300种选法，故选B.
12、如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为( D )
A．12 B．24
C．16 D．32
解:由题可知，a，b，c∈[7,14]，当a，b，c相等时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±1的等差数列时，有12种计数法；当a，b，c组成公差为±2的等差数列时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±3的等差数列时，有4种计数法．综上，共有8＋12＋8＋4＝32种计数法．
13、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( C )
A．18种 B．36种
C．54种 D．78种
解:由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2.若每年所修课程数为1,1,2，则先将4门课程按1,1,2分为三组，有＝6种不同的方式，再分配到三个学年，有A＝6种不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有36种；若每年所修课程数为0,2,2，则先将4门课程按0,2,2分为三组，有＝3种不同的方式，再分配到三个学年，有A＝6种不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有18种．综上，每位同学的不同选修方式有36＋18＝54种，故选C.
14、(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( BC )
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法种数为120
D．男、女生相间的排法种数为72
解:3男3女排成一排，共有A＝720种不同的排法；男生甲排在两端共有2A＝240种排法；男生甲、乙相邻的排法种数为AA＝240；男、女生相间的排法种数为2AA＝72.故选BC.
15、(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( BD )
A.若任意选科，选法总数为C
B.若化学必选，选法总数为CC
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
解:若任意选科，选法总数为CC，A错误；若化学必选，选法总数为CC，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C(CC＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1，D正确.
16、(多选)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是( BCD )
A.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B.若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D.若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
解:若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A错误；
若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有C(A＋1)＝18(种)放法，故B正确；
若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有C·＝144(种)放法，故C正确；
若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)共9种放法，故D正确.故选BCD.
17、(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( BC )
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的共有120种排法
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D.男女生相间排法总数为72种
解:3男3女排成一排共计有A＝720种；男生甲排在两端的共有2A＝240种；男生甲、乙相邻的排法总数AA＝240种；男女生相间排法总数2AA＝72种，故选BC.
18、男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男、女生相间且甲和乙相邻，共有___40_____种不同排法．
解:因为要求男、女生相间且甲、乙相邻，所以可以先排甲、乙，则有AC＝10种排法，再安排剩余的4位同学，则有AA＝4种排法，所以由分步乘法计数原理可得共有4×10＝40种不同的排法．
19、把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有___36_____种.
解:将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法.
于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种).
20、将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有___1560_____种.(用数字作答)
解:把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.
第一类，采用“3，1，1，1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本.不同的分法共有＝20(种).
第二类，采用“2，2，1，1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本.不同的分法共有·＝45(种).
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).
然后把分好的4组书分给4个人，共有A种分法，
所以不同的分法共有65×A＝1 560(种).
21、某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有___114_____种不同的安排方法.(用数字作答)
解:5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).
22、某省高考实行3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有___200_____种.
解:根据题意，分2种情况讨论：
①两人选择的科目全部相同，有C＝20(种)选法，
②两人选择的科目有且只有2科相同，有CCC＝180(种)选法，
则两人至少有两科相同的选法有20＋180＝200(种).
23、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为___30_____.
解:分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法.
所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种).
24、某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有____12____种(用数字作答).
解:三个年级的学生在三个时间段内各参观青铜器、瓷器、书画三个场馆，且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，共有2A＝12(种)方法.
25、某电影院每排的座位号分单、双号分布，每一排的中间是小号，往两边依次变大，如中间开始，往左边座位号分布为1→3→5→…，往右边座位号分布为2→4→6→….某社区购买了该电影院某场同一排座位号为2,4,6,8,10,12的六张电影票，准备全部分发给甲、乙、丙、丁四个家庭，每个家庭至少一张，至多两张，且分给同一家庭的两张票必须座位相连，那么不同的分法种数是___144_____．
解:先将电影票分成4组，共有(2,4)，(6,8)，10,12；(2,4)，6，(8,10)，12；(2,4)，6,8，(10,12)；2，(4,6)，(8,10)，12；2，(4,6)，8，(10,12)；2,4，(6,8)，(10,12)6种情况．再将这4组电影票分给甲、乙、丙、丁四个家庭，不同的分法种数为6A＝144.
作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上至多有一个紫色小方格(如图所示即满足要求)，则一共可以传递_____34___种信息．(用数字作答)
解:分类讨论：(1)若无紫色小方格，则只有1种结果；
(2)若有且只有1个紫色小方格，则有C＝9种结果；
(3)若有且只有2个紫色小方格，从行来看，先选出有紫色小方格的那两行，有C＝3种选法，这两行的排法有CC＝6种，故此种情况下共有18种结果；
(4)若有且只有3个紫色小方格，显然，这三行的排法有CCC＝6种．
综上，一种有1＋9＋18＋6＝34种结果，即一共所传递34种信息．
27、某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解:(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
28、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.
解:(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种方法，故共有CCC＝60种.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360种.
(3)无序均匀分组问题.共有＝15种.
(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种.
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A即可，共有＝15种.
(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种.
二项式定理
1、已知的展开式的第4项等于5，则x等于( B )
A. B.－ C.7 D.－7
解:由T4＝Cx4＝5，得x＝－.
2、的展开式中x2y3的系数是( A )
A.－20 B.－5 C.5 D.20
解:Tr＋1＝C·(－2y)r＝C··(－2)r·x5－r·yr.当r＝3时，展开式中x2y3的系数为C×(－2)3＝－20.
3、已知(x＋1)的展开式中常数项为－40，则a的值为( C )
A.2 B.－2 C.±2 D.4
解: 的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(ax)5－r·
＝(－1)ra5－rCx5－2r，
令5－2r＝－1可得r＝3，
令5－2r＝0可得r＝，不符合题意，舍去.
∴(－1)3a5－3C＝－40，即10a2＝40，
∴a＝±2.
4、(1＋x)6的展开式中x2的系数为( C )
A.15 B.20 C.30 D.35
解:因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为
1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
5、(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( C )
A.10 B.20 C.30 D.60
解: (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
6、6展开式中的常数项为( D )
A．－540 B．－15
C．15 D．135
解:二项式6的展开式的第r＋1项为
令6－r＝0，解得r＝4，所以T5＝(－1)4×C×32＝135，所以6展开式中的常数项为135.故选D.
7、已知(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( C )
A.1 B.±1 C.2 D.±2
解:根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
则二项式的展开式通项为Tk＋1＝C()5－k·＝akCx，令＝0，得k＝3，
则其常数项为Ca3，
根据题意，有Ca3＝80，可得a＝2.
8、6的展开式中，有理项共有( D )
A．1项 B．2项
C．3项 D．4项
解: 6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·36－r·，令6－r为整数，求得r＝0,2,4,6，共计4项．故选D.
9、已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则(1＋2x)n的展开式的各项系数之和为( A )
A．38 B．310
C．28 D．210
解:因为(1＋2x)n的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，所以C＝C，由组合数性质得n＝8，令x＝1，得(1＋2x)8的展开式的各项系数之和为38，故选A.
10、若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( A )
A.－1 B.1 C.27 D.－27
解:依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.
11、二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( D )
A.3 B.5 C.6 D.7
解:根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，
∴的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)20－k·＝()20－k·C·x20－，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.
12、在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( C )
A.－126 B.－70 C.－56 D.－28
解:∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，的展开式的通项为
Tk＋1＝(－1)kCx8－k(k＝0，1，2，…，8)，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.
13、已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( B )
A.5 B.6 C.7 D.8
解:由题意可知，a＝C，b＝C.
∵13a＝7b，
∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.
14、设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝( B )
A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i
解:x＝＝＝－1＋i，由于Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(1＋x)2 022－1＝i2 022－1＝－1－1＝－2.
15、若(1－2 022x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则＋＋…＋的值为( D )
A．2 0222 021 B．1
C．0 D．－1
解:令x＝0，则a0＝1.
令x＝，得0＝a0＋＋＋…＋，∴＋＋…＋＝－1.故选D.
16、(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有( AD )
A.存在n∈N*，展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项
解:该二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)k＝Cx4k－n，当n＝4k时，展开式中存在常数项，A正确，B错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.
17、(多选)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则( ACD )
A.a0＝1
B.a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
C.a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
D.＋＋＋…＋＝－1
解:由题意，当x＝0时，a0＝12 021＝1；
当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1，
当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，
a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝；
＋＋…＋＝a1×＋a2×＋…＋a2 021×，
当x＝时，0＝a0＋a1×＋a2×＋…＋a2 021×，
所以a1×＋a2×＋…＋a2 021×＝－a0＝－1.
18、(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则( ABC )
A.a0＝－32
B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0
D.a0＋a1＋…＋a5＝1
解:令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确.
令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确.
令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tk＋1＝Cy5－k(－2)k，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正确.
a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40，故C正确.
19、(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是( ACD )
A.a0＝1
B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2
C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35
D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1
解:令x＝0，则a0＝15＝1，故A正确；
令x＝1得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误；
令x＝－1得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确；
因为二项式(1－2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(－2)rxr，
所以当r为奇数时，C(－2)r为负数，即ai＜0(其中i为奇数)，
所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正确.
20、(多选)已知10(a＞0)展开式的各项系数和为1 024，则下列说法正确的是( ABD )
A．展开式中偶数项的二项式系数和为512
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在含x6的项
D．展开式中第3项的系数为45
解:令x＝1，则由题意得(a＋1)10＝1 024，解得a＝1，10展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)10－rr＝C·
因为展开式中二项式系数和为C＋C＋…＋C＝210 ＝1 024，展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中偶数项的二项式系数和为512，A正确；
因为本题中二项式系数与项的系数一样，且展开式有11项，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；
由20－r＝6，得r＝ N，所以展开式中不存在含x6的项，故C不正确；第3项的系数为C＝45，故D正确．
综上所述，选ABD.
21、在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____1___.
解:因为所有二项式系数的和是32，
所以2n＝32，解得n＝5.
在中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
22、的展开式中常数项是___240_____(用数字作答).
解:的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C24＝240.
23、已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝___5_____；a2＋a3＋a4＝____10____.
解:(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，
则a1＝C＋C＝1＋4＝5；
a2＝C(－1)1＋C＝3；
a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0，
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
24、在(1－)7＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝___2_____.
解: (1－)7＋的展开式中含x2的项为C(－)6＋C()5＝Cx2＋Cx2a，则aC＋C＝19，解得a＝2.
25、二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝_____80_____，a1＋a3＋a5＝_____122_____.
解:由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80.
当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①
当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，
可得a1＋a3＋a5＝122.
26、(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____-28____(用数字作答)．
解:(x＋y)8展开式的通项Tr＋1＝Cx8－ryr，r＝0,1，…，7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6，令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
27、已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数.
解 (1)通项公式为Tr＋1＝
Cxx－＝Cx，
∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)
＝×(10－6)＝2，
∴含x2的项的系数为C＝.
28、在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.
(1)求n的值；
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值.
解 (1)选择条件①：
若(2x－1)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5.
所以n＝10.
选择条件②：
若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， C＝C.
所以n＝10.
选择条件③：
若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210.
所以n＝10.
(2)由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，
令x＝0，则a0＝1，
令x＝－1，则
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10
＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1.第六章计数原理章末强化训练
排列与组合
1、从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为( )
A.6 B.8 C.12 D.16
2、用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有( )
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
3、某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A.15 B.30 C.35 D.42
4、北京APEC峰会期间，有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
5、6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
6、甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )
A.90 B.120 C.210 D.216
7、将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
8、周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
9、甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
10、名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有( )
A.4种 B.5种 C.6种 D.8种
11、某单位准备组织一场混合双打比赛，现从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手进行一场混合双打比赛，则不同的选法有( )
A．150种 B．300种
C．450种 D．600种
12、如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为( )
A．12 B．24
C．16 D．32
13、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A．18种 B．36种
C．54种 D．78种
14、(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( )
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法种数为120
D．男、女生相间的排法种数为72
15、(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A.若任意选科，选法总数为C
B.若化学必选，选法总数为CC
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
16、(多选)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是( )
A.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B.若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D.若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
17、(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( )
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的共有120种排法
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D.男女生相间排法总数为72种
18、男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男、女生相间且甲和乙相邻，共有________种不同排法．
19、把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
20、将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有_______种.(用数字作答)
21、某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)
22、某省高考实行3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有________种.
23、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.
24、某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有________种(用数字作答).
25、某电影院每排的座位号分单、双号分布，每一排的中间是小号，往两边依次变大，如中间开始，往左边座位号分布为1→3→5→…，往右边座位号分布为2→4→6→….某社区购买了该电影院某场同一排座位号为2,4,6,8,10,12的六张电影票，准备全部分发给甲、乙、丙、丁四个家庭，每个家庭至少一张，至多两张，且分给同一家庭的两张票必须座位相连，那么不同的分法种数是________．
作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上至多有一个紫色小方格(如图所示即满足要求)，则一共可以传递________种信息．(用数字作答)
27、某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
28、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.
二项式定理
1、已知的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A. B.－ C.7 D.－7
2、的展开式中x2y3的系数是( )
A.－20 B.－5 C.5 D.20
3、已知(x＋1)的展开式中常数项为－40，则a的值为( )
A.2 B.－2 C.±2 D.4
4、(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
5、(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
6、6展开式中的常数项为( )
A．－540 B．－15
C．15 D．135
7、已知(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A.1 B.±1 C.2 D.±2
8、6的展开式中，有理项共有( )
A．1项 B．2项
C．3项 D．4项
9、已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则(1＋2x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．38 B．310
C．28 D．210
10、若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A.－1 B.1 C.27 D.－27
11、二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.7
12、在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A.－126 B.－70 C.－56 D.－28
13、已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A.5 B.6 C.7 D.8
14、设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝( )
A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i
15、若(1－2 022x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 0222 021 B．1
C．0 D．－1
16、(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A.存在n∈N*，展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项
17、(多选)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则( )
A.a0＝1
B.a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
C.a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
D.＋＋＋…＋＝－1
18、(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则( )
A.a0＝－32
B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0
D.a0＋a1＋…＋a5＝1
19、(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是( )
A.a0＝1
B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2
C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35
D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1
20、(多选)已知10(a＞0)展开式的各项系数和为1 024，则下列说法正确的是( )
A．展开式中偶数项的二项式系数和为512
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在含x6的项
D．展开式中第3项的系数为45
21、在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________.
22、的展开式中常数项是________(用数字作答).
23、已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.
24、在(1－)7＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________.
25、二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.
26、(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
27、已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数.
28、在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.
(1)求n的值；
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值.
