6.4.3余弦定理、正弦定理专项练习基础版解析
一、单选题
1．现只有一把长为的尺子，为了求得某小区草坪边缘两点的距离（大于），在草坪坛边缘找到点与，已知，且，测得，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由勾股定理求得，再由余弦定理可求.
【详解】因为，所以.
因为，所以，
所以.
故选：C
2．中，若，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以三角形是等腰三角形或直角三角形.
故选：D
【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.
3．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在中，由余弦定理，即可求解.
【详解】由题意，在中，，，，
根据余弦定理得，
所以．
故选：C.
4．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理化简，然后计算即可求得角.
【详解】因为，由正弦定理可得，
，且，为锐角三角形，
则
故选:C.
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若.则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边化角，结合正弦的和角公式，即可容易求得结果.
【详解】在中，，
且，
∴，
∴，
又∵，∴.
∵是三角形的内角，∴.
故选：.
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，涉及正弦的和角公式，属综合基础题.
6．的内角，，的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
【答案】B
【分析】由正弦定理结合已知条件可得结合的范围可求得角，进而可判断的形状.
【详解】由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，所以，因为，所以，
故为直角三角形，
故选：B.
7．在△ABC中，已知所对的边分别为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理可求，进而由正弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理得
正弦定理，
故选：A
8．在△中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理，可得，从而可设，，进而结合余弦定理，可求出答案.
【详解】由正弦定理，可得，
设，则，
由余弦定理，可得.
故选：B.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.
二、多选题
9．在中，角所对的边分别是下列选项错误的是（ ）
A．，则
B．若，则为锐角三角形
C．
D．若，则为钝角三角形
【答案】ABD
【分析】利用余弦定理判断A、B，根据向量加法的三角形法则判断C，根据数量积的定义判断D；
【详解】解：对于A：若，即，
则，因为，所以，故A错误；
对于B：若，则，即有，
即为锐角，无法确定其它两角，故无法判断三角形的形状，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，即，
所以，即为锐角，无法确定其它两角，故无法判断三角形的形状，故D错误；
故选：ABD
10．在中，若，则的形状可能为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可.
【详解】因为，
所以由余弦定理得，，整理得，
解得或，
当时，是等腰三角形，
当时，是直角三角形，
当且时，是等腰直角三角形.
故选：ABC.
三、填空题
11．如图，为测量小汽车的速度，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为，已知此山的高度为米，，则该小车的速度是__________千米/时.
【答案】
【解析】在直角三角形中求出，然后由余弦定理求得后可得速度．
【详解】由题意，，
在中，
∴速度为（千米/小时）．
故答案为：．
12．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且，点为边上一点，且，则的面积为__________．
【答案】6
【分析】利用正弦定理、二倍角公式求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，进而求得三角形的面积.
【详解】，
由正弦定理得，
，，则为锐角，
所以
从而.
故答案为：
13．在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，则的面积为___________.
【答案】
【分析】利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】因为，所以，
由余弦定理可得，所以，
故，所以的面积.
故答案为：.
14．在中，，则___________．
【答案】55
【分析】根据题意，利用余弦定理化简得到，即可求解.
【详解】在中，，
由余弦定理，可得：
.
故答案为：.
四、解答题
15．设常数，已知.
（Ⅰ）若是奇函数，求的值及的单调递增区间；
（Ⅱ）设，中，内角，，的对边分别为，，.若，且的面积，求周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据奇函数的性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（Ⅱ）根据辅助角公式，结合特殊角的正弦函数值、三角形面积公式、正弦定理、正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意知，，得，
下面对进行检验：
若，则，，
对任意都有，
是奇函数，.
又因为，由，，
所以得，
的单调递增区间为，.
（Ⅱ）当时，
；得
，，
由，
的周长为：
的周长的取值范围为.
16．在中，，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）如果，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，利用正弦定理可得求解．
（2）由，利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，
即．
又∵，
∴．
（2）因为，
由余弦定理得，
而，当时取等号，
所以，
所以.
17．在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知的面积为，求边b．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）结合正弦定理进行边角转化，逆用两角和的正弦公式即可求出结果；
（Ⅱ）利用同角的平方关系即可求出，进而结合三角形的面积公式即可求出边长，再结合余弦定理即可求出边b.
【详解】（Ⅰ）由正弦定理，（其中R为外接圆的半径），所以，，，
代入已知条件可得：，
所以，即，
，故．
（Ⅱ）因为，且，所以，故，所以的面积为，
故，解得，
所以，即．
18．已知△ABC中，asinA=bsinB.
(1)证明：a=b；
(2)若c=1，acosA=sinC，求△ABC的面积.
【答案】(1)证明见详解1；(2)或
【分析】（1）利用正弦定理即可得证；
（2）利用正弦定理求出，利用余弦定理求出，利用三角形的面积公式可得解.
(1)证明：在三角形△ABC中，根据正弦定理
又
，即，得证
(2)解：由上式可知，
根据正弦定理
又
，即
故或
根据余弦定理有
或
代入上面式子可得或
所以当时，
当时，
19．在中，内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将中的正切化为正余弦，再结正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可得，从而可求出角；
（2）由余弦定理可得，再结基本不等式可得，从而可求出的范围，进而可求出周长的范围
【详解】（1）∵，
∴.
即，
∴，整理得
∵，∴.
（2）∵，
∵，∴，
即，当且仅当时取等号，
∴
∴
所以周长的范围为.
20．在中，三内角，，所对的边分别是，，，已知三内角，，成等差数列.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积等于，求，；
（3）若，求三角形的周长的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用三角形的内角和性质以及等差中项即可求解.
（2）利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解.
（3）利用正弦定理将各边表示出，再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）在中，角，，成等差数列，
则，解得.
（2），
解得，①
又，
解得，②
将①②联立解得.
（3）由正弦定理可得：
，
，，，
三角形的周长
，
，，
，
，所以最大值为
【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.4.3余弦定理、正弦定理专项练习基础版
一、单选题
1．现只有一把长为的尺子，为了求得某小区草坪边缘两点的距离（大于），在草坪坛边缘找到点与，已知，且，测得，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．中，若，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若.则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．的内角，，的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
7．在△ABC中，已知所对的边分别为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在△中，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，角所对的边分别是下列选项错误的是（ ）
A．，则
B．若，则为锐角三角形
C．
D．若，则为钝角三角形
10．在中，若，则的形状可能为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在
三、填空题
11．如图，为测量小汽车的速度，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为，已知此山的高度为米，，则该小车的速度是__________千米/时.
12．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且，点为边上一点，且，则的面积为__________．
13．在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，则的面积为___________.
14．在中，，则___________．
四、解答题
15．设常数，已知.
（Ⅰ）若是奇函数，求的值及的单调递增区间；
（Ⅱ）设，中，内角，，的对边分别为，，.若，且的面积，求周长的取值范围.
16．在中，，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）如果，求的面积的最大值．
17．在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知的面积为，求边b．
18．已知△ABC中，asinA=bsinB.
(1)证明：a=b；
(2)若c=1，acosA=sinC，求△ABC的面积.
19．在中，内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围.
20．在中，三内角，，所对的边分别是，，，已知三内角，，成等差数列.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积等于，求，；
（3）若，求三角形的周长的最大值.
