2.6双曲线及其方程 同步练习（含答案）

2.6双曲线及其方程同步练习
一、单选题
1. 若方程表示双曲线，则实数满足( )
A. 且 B.
C. 或 D.
2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，且经过点，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的中点，若为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，双曲线的右焦点为，则以为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6. 已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的上，下焦点分别为，，若为其图像上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线右支的另一个交点为，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知，，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线：，则( )
A. 的焦距为 B. 的虚轴长是实轴长的倍
C. 双曲线与的渐近线相同 D. 直线上存在一点在上
11. 已知椭圆与双曲线，不列关于两曲线的说法正确的是( )
A. 的长轴长与的实轴长相等 B. 的短轴长与的虚轴长相等
C. 焦距相等 D. 离心率不相等
12. 设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于，，，四点，若，，，，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 四边形的面积为
C. 双曲线的离心率为
D. 双曲线的渐近线方程为
三、填空题
13. 已知双曲线的右焦点为，则到其中一条渐近线的距离为 ．
14. 当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是
15. 已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．
16. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为 此时点坐标为 ．
四、解答题
17. 已知双曲线的右焦点为．
求双曲线的方程
求双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积．
18. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点
求双曲线的方程，并写出其离心率与渐近线方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求实数的值．
19. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，焦点在轴上且长轴长为过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于，两点．
求椭圆的标准方程
若双曲线与椭圆有公共的焦点，且以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，求双曲线的标准方程．
20. 如图，某野生动物保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，，，且千米，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒注：信号每秒传播千米以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系．
根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程
若点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心的距离．
21. 已知双曲线．
求双曲线的离心率
若直线与双曲线相交于，两点均异于左、右顶点，且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案
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16.
17.解：双曲线的右焦点的坐标为，且双曲线的方程为，
，
，
双曲线的方程为．
，，
双曲线的渐近线方程为
令，则，
设直线与双曲线的渐近线的交点为，，则．
记双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积为，
则．

18.解：由题意，双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线的方程为，
代入，得，即，
故双曲线的方程为；
由方程得，，，
故离心率；
其渐近线方程为；
设，，则的中点坐标为，
联立直线与双曲线的方程得：
经整理得，
，
由韦达定理得：，
，
的中点坐标为，
又在圆上，
，
．
19.解：设椭圆的标准方程为，
根据题意得，则．
又，，，
椭圆的标准方程为．
设双曲线的右焦点，将代入双曲线方程，得，．
以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，且，
，即，
整理得，即有．
又，．
又双曲线与椭圆有公共的焦点，，，，
双曲线的标准方程为．

20.解：设观察员所在位置为，
因为点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒，
所以，
故点的轨迹为双曲线的左支．
设点的轨迹方程为．
由题意可知，，所以，，，
故观察员可能出现的位置的轨迹方程为．
因为，，
所以的中点为，，
故AC的垂直平分线方程为，
联立，
可得，故，，
故观察员遇险地点坐标为，
与监测中心的距离为千米．

21.解：由双曲线的方程可知，，
双曲线的离心率．
设，，由，得，则
，，
．
以为直径的圆过双曲线的左顶点，，
，，
，解得或
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾
当时，直线的方程为，直线过定点，经检验符合题意．
直线过定点，定点坐标为．