5.3 导数在研究函数中的应用 同步练习（含答案）

5.3 导数在研究函数中的应用
一、单选题
1. 函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
2. 函数在区间的最小值、最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 已知函数，若对一切恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知函数在处取得极大值，则的值为．( )
A. B. C. 或 D. 或
5. 若关于的方程有且只有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9. 设函数上可导，其导函数为函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 的极大值点 B. 的极小值点
C. 的极大值点 D. 的极小值点
10. 现需建造一个容积为的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的倍要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径与高的比值为
A. B. C. D.
二、多选题
11. 已知函数，则( )
A. 在上单调递减 B. 的极大值点为
C. 的极大值为 D. 有个零点
12. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题是( )
A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零
13. 下列命题中是真命题有( )
A. 若，则是函数的极值点
B. 函数的切线与函数可以有两个公共点
C. 函数在处的切线方程为，则当时，
D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是
14. 在中，要使式子有意义，的范围可以是( )
A. B. C. D.
15. 关于函数，下列说法正确的是( )
A. 是的极小值 B. 函数有且只有一个零点
C. 在上单调递减 D. 设，则
三、填空题
16. 已知命题，若为假命题，则的取值范围为 ．
17. 已知函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
18. 已知函数在处取得极值，则________．
19. 已知某生产厂家的年利润单位：万元与年生产量单位：万件的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件．
20. 已知函数的定义域为，部分对应值如表所示，的导函数的图象如图所示．下列关于的命题：
函数的极大值点为，；
函数在上单调递减；
如果当时，的最大值是，那么的最大值为；
当时，函数有个零点；
函数的零点个数可能为，，，，．
其中正确命题的序号是________．
四、解答题
21. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
求实数，的值；
求函数的单调区间．
22. 已知在时有极值．
求常数，的值；
求在区间上的最值．
23. 已知函数．
求曲线在处的切线方程；
证明：．
24. 如图，在半径为的半圆形铁皮上截取一块矩形材料点在直径上，点在半圆周上，并将其卷成一个以为母线的圆柱体罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗．
若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
25. 已知函数有两个极值点．
求的取值范围；
证明：．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ； 17、 ； 18、 ； 19、 ； 20、
21、解：将代入，得：，所以切点为．
因为，
所以，得
由得，
则，
令，解得；令，解得．
所以的单调递减区间为在，单调递增区间为

22、解：，
由题知：
联立、结合，有舍或．
所以，，经检验，符合题意；
当，时，
故方程有根或，
由，
得或
由得，
函数的单调增区间为：，减区间为：．
函数在处取得极大值，在处取得极小值；
经计算，，，，
所以函数的最小值为，最大值为．

23、解：，
，
，，
函在处的切线方程是．
化简得所求切线的方程为
证明：，
令，解得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
故，
即．

24、设该半圆形的圆心为点，连接，则为该半圆的半径，
故，由于四边形为矩形，且点，在该半圆的直径上，
则点为线段的中点．
在矩形中，，
则．
设，，
则，，
，
设该罐的侧面积为，则，
联立消去得，
即，
故时，即时，有最大值，
此时，，
则此时，，
故圆柱体罐子的侧面积最大时，，．
若该圆柱体罐子以为母线，则其高为，
底面半径为，
设该罐的体积为，则，
联立消去得，
设，，则，
则，令得，解得或舍去，当时，，
当时，，
故函数在上单调递增，上单调递减，
故时，有最大值，
由知此时有最大值，
由知，此时，
则，
故圆柱体罐子的体积最大时，，．
25、 解：因为函数有两个极值点，
所以有两个零点，
，
若，在单调递增，至多个零点，不符合题意；
若，令，，
，，单调递减，时，，单调递增，
，
，，无零点，
，，个零点，
，，
又，
且，
所以在各有一个零点，即有两个极值点，
综上，
【证法一】
由知，且，
，
，
，
，
要证明，只需证
由相减得，
不妨设，则，，
所以，
所以只需证，只需证，
设，
所以在单调递减，，
所以，因此即证，
【证法二】不妨设，

设，
，在为增函数，
所以 ，即证