6.4.3余弦定理（第一课时）专项练习提升版
一、单选题
1．若△ABC的内角A，B，C满足，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
2．在中分别是角的对边,且,则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是
A． B． C． D．4
4．在△ABC中，，F为△ABC的外心，则（ ）
A．-6 B．-8 C．-9 D．-12
5．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
6．中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A． B． C． D．
8．在中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若为钝角三角形，则
C．若，则有两解
D．若三角形为斜三角形，则
10．已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
11．在中，为边上的中线，，以下说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则的取值范围是
12．在中，设，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题
13．已知三个内角、、的对边分别为、、，若，则的最小值为_____.
14．在中，角，，的对边分别为，，，已知，若的面积为，则当的值最小时的周长为____________．
15．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___
16．在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则____________．
四、解答题
17．在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
18．如图，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
19．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求证：是钝角；
（2）请从下列四个条件中选择三个；
①；②；③；④．
是否存在满足您选择的这三个条件，若存在，求边长的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，在凸四边形中，为定点，,为动点，满足．
(1)写出与的关系式；
(2)设和的面积分别为和，求的最大值．
21．在四边形中，.
(1)若，，，求四边形面积的最小值；
(2)若四边形的外接圆半径为，，求的最大值.
22．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.
(1)若，，为边的中点，求中线的长度；
(2)若为边上一点，且，，求的最小值.6.4.3余弦定理（第一课时）专项练习提升版解析
一、单选题
1．若△ABC的内角A，B，C满足，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理得出，再由余弦定理得出.
【详解】因为，所以，设
故选：D
2．在中分别是角的对边,且,则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理及基本不等式求出，结合，在上的单调性求出答案.
【详解】由和余弦定理可得
，
当且仅当，即为等边三角形时，等号成立，即，
又因为，在上单调递减，
所以.
故选：D．
3．的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得，再由正弦定理可得，从而由余弦定理求得，再利用基本不等式可得，由三角形面积公式可得结果.
【详解】，且，
，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
，
又，即，
，
即最大面积为，故选B.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
4．在△ABC中，，F为△ABC的外心，则（ ）
A．-6 B．-8 C．-9 D．-12
【答案】A
【分析】设△ABC的外接圆半径为r，.由余弦定理得到，和.把整理为，整体代入即可.
【详解】设△ABC的外接圆半径为r，.
由余弦定理得：，即,所以
，即.所以.
所以
因为，，
所以.
故选：A
【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：
(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；
(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．
5．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.
【详解】由余弦定理，可得
，
整理，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或或，故三角形为等腰三角形.
故选：A
6．中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
则△ABC为等腰直角三角形.
设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，
则，，，设，，
则， ，，
因为，即，
所以，
所以，
所以当，即时；
故选：A
7．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】由，
可得，即.又，所以．
因为，所以点为的重心，
所以，所以，
两边平方得．
因为，所以，
于是，所以，
的面积为.
因为的面积是面积的倍.故的面积为．
【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.
8．在中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，根据三角形的面积以及余弦定理可推得，设函数，则方程在上有解，结合二次函数的性质，求得答案.
【详解】设，，所以，
即①，
由余弦定理得，即②，
由①②得：，即，
令，设，则方程在上有解，因为 ，
所以，
解得，即，
故选：C．
二、多选题
9．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若为钝角三角形，则
C．若，则有两解
D．若三角形为斜三角形，则
【答案】ACD
【分析】由正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由可判断C，由两角和的正切公式可判断D.
【详解】对于A，若，则，由正弦定理可得，
所以，，A正确；
对于B，若为钝角三角形，假设为钝角，
则，可得，B错误；
对于C，，则，如图：
所以有两解，C正确；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，D正确.
故选：ACD
10．已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
【答案】AD
【分析】根据大边对大角，可判定A正确，利用余弦定理可判定B错误；利用正余弦函数的单调性可判定C错误；利用诱导公式和正弦函数的单调性可得，同理可得，，进而判定D正确.
【详解】若，根据大边对大角，所以，故A正确；
因为为锐角，故，即，即，因此B选项错误；
因为函数在区间上单调递增，故若，则有，又因为函数在区间上单调递减，故，故选项C错误；
因为，所以，即，同理可得，，三个式子相加得，故D正确.
故选:AD.
11．在中，为边上的中线，，以下说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】利用向量的线性运算可判断A，由题可知，，进而可判断B，由题可得，进而可得，利用基本不等式可得可判断C，由题可得，结合条件可得，结合可判断D.
【详解】对于A，∵为边上的中线，
∴，故A正确；
对于B，∵，，又，
∴，
∴，故B错误；
对于C，若，，
由，可得
∴，
∴，，
∴，故C正确；
对于D，在中，设角所对边为为，
因为，
由上知，，
所以，
∴，即，
∴
，
又，
∴，，
∴，故D正确.
故选：ACD.
12．在中，设，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】对于A直接化简表达式即可，知三角形一个角为锐角，所以无法判断三角形形状；对于B通过逆推法化简不等式，得出一个恒成立的式子，可知原不等式一定成立；对于C运用余弦定理角化边即可得出不等式；对于D先化简所给条件，再通过三角形中线向量公式与其联系起来，在两个三角形中分别运用余弦定理即可.
【详解】对于A，因为，所以，所以，所以,为锐角，无法判断是钝角三角形，故A错误；
对于B，若，则，即，在中，由余弦定理得，代入上式化简得显然成立，以上过程均可逆，故成立，故B正确；
对于C，因为，所以，即，在中，由余弦定理得，代入化简得，故，故C正确；
对于D，如下图所示，取中点，中点，根据三角形中线向量公式得，因为，所以,即,所以.在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得,化简得，故，故D正确.
故选:BCD
三、填空题
13．已知三个内角、、的对边分别为、、，若，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】利用二倍角的降幂公式以及余弦定理推导出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】由余弦定理得，
所以，则，∴，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形中的最值是一种常见的类型，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求解；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性来求解.
14．在中，角，，的对边分别为，，，已知，若的面积为，则当的值最小时的周长为____________．
【答案】
【详解】由及正弦定理可得，
所以由余弦定理的推论可得，因为，所以．
因为的面积为，所以，即，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，
此时，，所以是等边三角形，故的值最小时的周长为．
15．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___
【答案】
【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．
【详解】如图，设，则,
在和中，分别由余弦定理可得，
两式相加，整理得，
∴．①
由及正弦定理得，
整理得，②
由余弦定理的推论可得，所以．
把①代入②整理得，
又，当且仅当时等号成立，
所以，故得．
所以．
即面积的最大值是．
故答案为．
【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．
16．在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则____________．
【答案】
【分析】设则，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析得，即，进而可得、的值，结合余弦定理即可得结果．
【详解】在△中，设，则，又，
且表示起点为A，终点在平行于AC且过B点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动，
所以对，恒成立，即恒成立，只需即可，
所以，即，
又，则，，.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由不等式恒成立判断出，即可确定三角形各边的长度.
四、解答题
17．在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得，结合范围，可求，进而可求的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，由正弦定理可求得的值．
【详解】解：（1）由，得，
因为，
所以，
可得：．
（2）中，，
所以.
所以：，
由正弦定理，得，解得，
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．如图，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
【答案】
【解析】设，由于是的角平分线，.设，则.在与中，分别利用余弦定理可得：，解得.再利用同角三角函数基本关系式和倍角公式可得，利用三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】解：设，
是的角平分线，.
设，则.
在与中，分别利用余弦定理可得：
，
.
，解得：.
，
.
此三角形的面积为：.
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质、余弦定理、同角三角函数基本关系式和倍角公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中等题型.
19．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求证：是钝角；
（2）请从下列四个条件中选择三个；
①；②；③；④．
是否存在满足您选择的这三个条件，若存在，求边长的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）只有满足①②③时存在，．
【分析】（1）由题意结合正弦定理得到,求得，得到，即可求解；
（2）若满足①②③，由正弦定理化简得到，求得，得到，结合余弦定理，即可求解；
若满足①②④，由（1）为钝角，得到，，可得，，得到得到这种情况不成立；
若满足②③④，由为钝角，，所以，得到，得到这种情况不成立；
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，可得，所以,
由，
可得，即，
又由，可得，所以，
因为，所以为钝角.
（2）若满足①②③，由正弦定理可得，即，所以，
又由，所以，
在中，，所以或，
而由（1）可得，所以可得，，
所以．
若满足①②④，由（1）为钝角，，为锐角，及，，可得，，所以不符合为钝角，故这种情况不成立；
若满足②③④，由为钝角，，所以，而，所以，
这时，不符合为钝角的情况，所以这种情况不成立；
综上所述：只有满足①②③时存在，．
20．如图，在凸四边形中，为定点，,为动点，满足．
(1)写出与的关系式；
(2)设和的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）连接,分别在与中，利用余弦定理表示出，然后列出等式，整理可得与的关系式；
（2）根据三角形的面积公式可得，，进而求出的表达式；接下来利用（1）中的关系式以及同角三角函数关系将化简为只含的二次函数，利用二次函数的性质求得的最值.
【详解】（1）由余弦定理，在中，，，
，
在中，
，
所以，
即，
（2）因为,，
所以
,
当三点共线时，，此时，
当三点共线时，，此时，
因为四边形为凸四边形，
所以,
所以
当时，有最大值．
21．在四边形中，.
(1)若，，，求四边形面积的最小值；
(2)若四边形的外接圆半径为，，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】延长，相较于点，结合题意可知是边长为的正三角形，进而利用余弦定理即三角形面积，基本不等式即可求得结果；
由四边形存在外接圆，进而得出四边形为等腰梯形，连接，设，，利用正弦定理，表示，，，进而利用基本不等式得出结果.
（1）
解：延长，相较于点，
如图所示：
，，
是边长为的正三角形，
的面积为.
在中，，，
由余弦定理得，，
即，
则，（当且仅当时，等号成立）
的面积,
的面积的最大值为，
四边形面积的最小值为.
（2）
四边形存在外接圆，
，
，
.
，
四边形为等腰梯形.
连接，设，，，
如图所示：
的外接圆半径为，
在中，由正弦定理得，，
，.
同理可得，在中，由正弦定理可得，
，，
设，得，
，，
，（当且仅当时，等号成立）
，，（当且仅当时，等号成立）
当，时，取得最大值.
22．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.
(1)若，，为边的中点，求中线的长度；
(2)若为边上一点，且，，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可得，然后利用余弦定理可得，利用向量的表示可得，进而可得，即得；
（2）利用向量的线性表示可得，结合条件可得，即，再利用基本不等式即得.
（1）
∵向量，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵为边的中点，，，
∴，
∴，
又，，，
∴，
∴，即，
∴中线的长度为；
（2）
∵为边上一点，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当，即取等号，
故的最小值为.
