6.4.3余弦定理（第一课时）专项练习提高版解析
一、单选题
1．在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据由余弦定理，可得，代入数据即得.
【详解】由余弦定理，得，
.
故选：D.
2．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理即可求出结果.
【详解】因为，所以，即，因为，则，
故选：A.
3．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为已知三角形的三边长，所以利用余弦定理可求出角的值
【详解】因为，，，
所以由余弦定理得，，
因为，所以，
故选：C
4．在中，角、、的对边分别为、、，若，且、分别为方程的两根，则的周长（ ）
A．7 B．8 C．12 D．15
【答案】C
【分析】由韦达定理求得，，代入到余弦定理中求得，从而求得周长.
【详解】由、分别为方程的两根知，
，
则由余弦定理知：
故，的周长
故选：C
5．在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
6．如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据可得，再利用余弦定理可求的长度.
【详解】取的中点为，
因为，故即，
故，所以三点共线，故与重合，所以，
故，解得或，
因为且，故，故，
故选：C.
7．在中，，，边上的中线的长度为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设，在和中，由余弦定理可得，结合在中，利用余弦定理，即可求出的值，从而得出答案.
【详解】设，
由为边上的中线，则
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得
因为，可得，即
在中，由余弦定理得
代入可得，解得或（舍），即
故选：A
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知及余弦定理可得，再由及基本不等式求C的范围，进而求的最大值.
【详解】由余弦定理，，即，
而，当且仅当时等号成立，
又，则，故，
所以的最大值是.
故选：B
二、多选题
9．在中，，，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．若，则为锐角三角形.
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
【答案】ACD
【分析】三角形中向量首尾相接，可知选项A正确；通过向量数量积的性质可知选项B、C正确与否；将展开，结合余弦定理，可求出，可知选项D正确.
【详解】中，，，，.
，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定是锐角三角形，故B错.
，则，则直角三角形，故C正确.
，即，，
又因为，
所以，所以，则为直角三角形，故D正确.
故选：ACD.
10．已知的内角所对边的长分别为，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】在中，由余弦定理建立起关于c的一元二次方程，利用这个方程有二不等的正根求出m的范围即可得解.
【详解】在中，由余弦定理得：，
即，依题意，关于c的一元二次方程有两个不等的正根，
所以，并且，
而m>0，则，取或，选项B，C符合条件.
故选：BC
11．如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
【答案】AC
【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；
对B，根据三点共线的性质，结合可得，进而得到判断即可；
对C，根据余弦定理可得，再根据B中两边平方化简求解即可；
对D，在中根据余弦定理求解即可
【详解】对A，，故A正确；
对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；
对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确；
对D，在中，，，故，故D错误；
故选：AC
12．中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项.
【详解】
设，则，三式联立解得，对于A，，A正确；
对于B，，则，B错误；
对于C，若，则，则，
即，即，则，，C正确；
对于D，若，则，取中点，连接，
则，显然当时，最小，
此时，则，则的最小值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，则________．
【答案】
【分析】△ABC中根据余弦定理求出BC的长度，在△ABD和△ADC中，利用余弦定理建立等式关系求出AD即可.
【详解】在△ABC中，AB=3，AC=1，，
余弦定理可得，即.
在△ADC中，设BD=m ，则 .
余弦定理可得
即…①.
在△ABD中，余弦定理可得.
即: …②，
由①②求解得:
故答案为：
14．在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______．
【答案】12
【分析】利用向量数量积的定义和余弦定理即可求解.
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
，
由余弦定理得，，
所以，
所以，
所以，
则△ABC周长为.
故答案为：12.
15．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，D为AC上一点，，则面积最大时，____________.
【答案】
【解析】将代入，得 ，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求出三角形的顶点的轨迹方程，根据图形得出三角形的面积何时最大，进而求出此时的长.
【详解】将代入得：
，由正弦定理有：
,即，
则,即,所以 .
以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，设
由，即,
所以，即
如图，顶点在圆上,设圆心为
显然当时，三角形的面积最大,
由,又
所以,又因为，即点在轴上(如图)
,
所以
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理和和角公式，数形结合思想，本题还可以直接用余弦定理结合面积公式直接求解三角形的面积，从而得解，属于难题.
16．中，，，平面内一点满足：，则的最小值为______．
【答案】##2.75
【分析】旋转三角形到位置，计算的长度，结合的长为1，由此确定的最小值.
【详解】因为，
所以，
所以，即，
如图：将旋转至位置，使得，则，
，
又，所以，
由余弦定理可得，
所以，又，
所以，当且仅当三点共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
【点睛】利用旋转构造全等三角形是问题解决的关键.
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简可得，可令，解不等式即可求得单调递增区间；
（2）由（1）可求得；在和中，由，利用余弦定理可得到；在中，利用余弦定理可求得，由此可得求解得到，进而得到所求周长.
【详解】（1）；
令，解得：，
的单调递增区间为.
（2）由（1）知：，即，
又，，，解得：；
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，即，
；
在中，由余弦定理得：，解得：；
，，
的周长为.
18．已知锐角的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求；
(2)若，求AD的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，求得边长，进而求得答案；
（2）根据几何性质以及平面向量的运算，结合数量积的性质，可得答案.
【详解】（1）由得，
由余弦定理：，解得或（舍），
所以.
（2）由，即，
得，
所以，
所以
19．已知中，，其中内角、、所对边分别为、、.
(1)求角的大小（用反三角函数表示）；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据诱导公式和两角和差公式化简可得的正切值, 用反三角函数表示角即可;
(2)由同角三角函数关系,余弦定理和基本不等式结合求解即可得出的范围.
【详解】（1）
，因为，所以，
所以，所以；
（2）由及，得，又因为
所以，
当且仅当时等号成立，所以．
20．在中，内角所对的边分别为.已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两次余弦定理即可.
（2）利用，得出，，然后结合两角和差公式即可.
【详解】（1）在中，
又因为
由余弦定理可得.
（2）由（1）可得，
从而，.
故
21．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.
(1)若，，为边的中点，求中线的长度；
(2)若为边上一点，且，，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可得，然后利用余弦定理可得，利用向量的表示可得，进而可得，即得；
（2）利用向量的线性表示可得，结合条件可得，即，再利用基本不等式即得.
（1）
∵向量，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵为边的中点，，，
∴，
∴，
又，，，
∴，
∴，即，
∴中线的长度为；
（2）
∵为边上一点，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当，即取等号，
故的最小值为.6.4.3余弦定理（第一课时）专项练习提高版
一、单选题
1．在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角、、的对边分别为、、，若，且、分别为方程的两根，则的周长（ ）
A．7 B．8 C．12 D．15
5．在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
6．如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
7．在中，，，边上的中线的长度为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．在中，，，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．若，则为锐角三角形.
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
10．已知的内角所对边的长分别为，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
12．中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的最小值为
三、填空题
13．已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，则________．
14．在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______．
15．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，D为AC上一点，，则面积最大时，____________.
16．中，，，平面内一点满足：，则的最小值为______．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长．
18．已知锐角的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求；
(2)若，求AD的长．
19．已知中，，其中内角、、所对边分别为、、.
(1)求角的大小（用反三角函数表示）；
(2)若，求的取值范围.
20．在中，内角所对的边分别为.已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
21．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.
(1)若，，为边的中点，求中线的长度；
(2)若为边上一点，且，，求的最小值.
