6.4.3.2正弦定理专项练习提升版解析
一、单选题
1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，平方可求，进而可求得；然后利用正弦定理可求出，根据三角形中大边对大角的原则可求出.
【详解】由，两边平方可得：
，即：
又，，由正弦定理得：
解得：
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，避免出现增根.
2．设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和求得角，再根据正弦定理求得答案.
【详解】由题意可得 ，
故由正弦定理得： ,则，
故选：C
3．在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积.
【详解】根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示：
根据题意，可得坐标如下：
，
设点的坐标为，由
可得：，
故可得.则点坐标为.
设点的坐标为，由，
由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是：
以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界.
故可得，
故可得,则.
则以为一组邻边的平行四边形的面积
.
故选：.
【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本题中，也可以通过几何方法确定点的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题.
4．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C及边c，再求出的范围即可计算作答.
【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，
即有，而，则，又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以．
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.
5．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(） B．(）
C．[) D．[，1)
【答案】C
【解析】先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.
【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，
因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以
所以的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题的难点在求函数的值域的上限，解答利用了函数的思想,以为自变量，先求自变量的取值范围，再利用余弦定理求得的解析式，最后换元求新函数的值域得解.
6．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.
【详解】由三角形的面积公式知，即
由正弦定理知
所以，即，
即，即
利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得
又，则，，且
由正弦函数的性质可知，满足的有2个，
即满足条件的的个数为2.
故选：B
7．以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】设D为AC中点，在和分别运用余弦定理得，再表示的面积，运用二次函数的性质可得选项.
【详解】如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，，
在中，，
∴
，
当时，S有最大值，此时，即腰长，
故选：C．
【点睛】方法点睛：正余弦定理在边角转化与三角变换在解三角形的化简和计算中具有突出的作用，主要用到了两角和与差的正余弦公式，倍角公式和辅助角公式等，还要注意公式变形及其逆用，求参数范围，则通过三角变换，解三角形，向量运算等将参变分离，用求函数最值的方法求参数的取值范围，在三角变换过程中，要紧紧围绕目标展开，且体现“统一角，统一函数，统一形式”三个统一为指导．
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．
【详解】解：△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故选：D．
二、多选题
9．在中，内角所对的边分别为下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】结合三角形内角和定理、正弦定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于，所以，又，所以，这与矛盾，所以无解；
对于，因为，所以为锐角，且，则，所以只有一解；
对于，由正弦定理，可得，又，所以有两解，即有两解；
对于，由正弦定理，可得又，所以有两解，即有两解.
故选;：CD
10．在中，，，，是的外接圆的圆心，是角A的平分线和BC边的交点那么（ ）
A． B．
C．的外接圆的面积为 D．
【答案】ABD
【分析】根据三角形角平分线的性质即可判断A；
先在中运用余弦定理求出BC，再在中用余弦定理求出AM，进而判断B；
由正弦定理求出外接圆直径，进而得到半径，然后求出外接圆面积，进而判断C；
，由根据平面向量数量积的定义可以得到，进而通过平面向量数量积的运算解出两个未知量，然后判断D.
【详解】对A，由题意，，A正确；
对B，在中，由余弦定理可得，结合A可知，在中，由余弦定理可得，B正确；
对C，由正弦定理可知，的外接圆直径，则其外接圆面积为，C错误；
对D，设，因为点O为的外心，结合平面向量数量积的定义可知，，则，因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
11．已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】结合已知对进行变形化简即可得的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R可求的范围，从而判断B；根据的值，结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得，从而判断D﹒
【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足，
∴，即，
∴，
由题可知，，
∴，
∴
∴，
∴有，故A错误；
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理可知，，
∴，
∴，∴，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：CD．
12．已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（ ）
A．若为直角三角形，则；
B．若，则为等腰三角形；
C．若，则的面积为；
D．若，则．
【答案】BD
【分析】利用正弦定理边角互化设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，结合两边和大于第三边求得2＜t＜8，讨论t.判断选项A,利用余弦定理得m的式子判断BD;利用面积公式判断C
【详解】根据题意，依次分析4个结论：
对于A，根据题意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，则a：b：c＝ln2：ln4：lnt，
故可设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．
则有b﹣a＜c＜b+a，则kln2＜c＜3kln2，变形可得2＜t＜8，
当时；c最大，若为直角三角形，则，即，解得；
当时；若为直角三角形，则，即，解得综上：或，故A错；
由题意，abcosC＝abmc2，
∴m．
若，则解得t=4，故，为等腰三角形；B正确；
对于C，当t＝4，a＝kln2时，则b＝kln4，c＝klnt＝kln4，则有b＝c＝2a，此时等腰△ABC底边上的高为 ，三角形面积为，C错；
对于D，当,则有a2+b2﹣c2＜0，即解得由选项A,B的解析知kln2＜c＜3kln2综合两式得，故m 选项D正确；
综合可得BD正确；
故选：BD．
三、填空题
13．是等边三角形ABC的外接圆，若的半径为2，则的面积为_________．
【答案】
【分析】利用正弦定理和三角形面积公式即可求解
【详解】因为是等边三角形ABC的外接圆，且的半径为2，
由正弦定理（其中为三角形外接圆的半径）可得，解得，
所以
故答案为：
14．锐角的内角所对边分别是a，b，c且，，若A，B变化时，存在最大值，则正数的取值范围______．
【答案】
【分析】首先利用正弦定理得出角的关系，再结合锐角三角形得出角的范围，最后根据存在最大值求出的取值范围即可.
【详解】，，由正弦定理得：
，即：，
或（舍）
是锐角三角形， ，解得：
（其中）
使存在最大值，只需存在，满足
解得： .
故答案为：.
15．已知O为△外接圆的圆心，D为BC边的中点，且，，则△面积的最大值为___________.
【答案】
【分析】令，由题设得，结合余弦定理可得，再由三角形面积公式、基本不等式求△面积的最大值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，若，而，如下图示：
∴，
令，则，且，
∴，则，
由，而，即，当且仅当时等号成立，
∴.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用平面向量数量积的运算律，将条件转化为，进而根据余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求三角形面积的最大值.
16．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为_________．
【答案】
【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得PB的值,在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径.
【详解】由已知，所以.
在中，，故.
在中，由正弦定理（*）
而，
代入（*）式得.
在中，利用余弦定理，
在中，利用正弦定理
则的外接圆直径长为
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查三角形的内角和定理、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想，属于较难题．
四、解答题
17．已知锐角的内角所对的边分别为，且，.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）由及正弦定理得 ，由此可求角的大小；
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，，为锐角三角形，的范围为，则，，利用正弦函数的性质即可得的取值范围.
（1）由及正弦定理得，
所以 ，.
（2），，所以 ，
，
为锐角三角形，的范围为，则，
∴的取值范围是，∴.
18．在中，分别为内角A，B，C的对边， ．
（1）求；
（2）若是线段的中点，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合恒等变换整理得，进而可得；
（2）取中点，连接，设，进而在中，结合余弦定理求得，再根据面积公式求解即可.
【详解】解：（1）因为，
所以根据正弦定理边角互化得，
整理得，即，
因为，
所以，
所以；
（2）如图，取中点，连接，
因为是线段的中点，
所以，
因为，，，，
所以在中，，
所以，设，
代入数据整理得，解得，
所以，
所以的面积为
19．已知函数，其中，，，
(1)求的最小正周期和对称中心；
(2)在中，，，分别是角，，的对边，若，，求的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为，对称中心为，
(2)
【分析】（1）根据向量数量积公式、降幂扩角及辅助角公式化简成的形式，然后可求最小正周期和对称中心；
（2）求出，根据正弦定理把边，都转化到用角表示，确定角的范围，然后就能求出的取值范围．
(1)
，，所以的最小正周期为，，，，
的对称中心为，．
(2)
，，，
，∴，∴，
在中，由正弦定理得，，即：，
∴，，∴，存在，使，，∴，
，则，由，，
∴，∵，
综上：的取值范围为．
20．已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．
（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得，进而得到的大小；由正弦定理和三角恒等变换得到，从而根据的范围求出即可；
（2）由题意得出，，然后化简，从而利用基本不等式求最小值.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理，得，
又由余弦定理，得，所以，
即，所以，
又因为△ABC为锐角三角形，所以，
所以
，
因为△ABC为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，即，所以，
所以，
即的取值范围为.
（2）因为，
所以，即，
又因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，
所以由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以，即,
两边同时除以，得，
因为且△ABC为锐角三角形，
所以，所以
所以，
所以
，
令，则，
所以
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
(1)求角B的大小；
(2)给出以下三个条件：
条件①：：条件②：；条件③：
从这三个条件中选择两个条件，使得△ABC存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题：
（i）求sinA的值：
（ii）已知∠ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD上是否存在两个不同的点P，Q使得？若存在，直接写出一个满足题意的线段BP的长度；若不存在，直接写“不存在”.（无需说明理由）
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理求得，得到角的大小.
(2) （i）条件①与已知矛盾，故选条件②和条件③，由面积公式求得，再由余弦定理求出，由正弦定理得到；（ii）通过画图建坐标系，利用两点间距离公式可以推出时结论成立，在角平分线范围内，符合条件.
【详解】（1），由正弦定理，有
，即，，
由余弦定理，，
△ABC中，，.
（2）（i）
由(1)可知， ，所以条件①：不成立，
故选条件②：；条件③：，
，，
由余弦定理， ，，
由正弦定理， ，.
（ii）存在，.
以B为原点，BA为x轴建立如图所示的直角坐标系，
由已知得△ABC中，BA=5，BC=3，CA=7，，，
则有，，，
的角平分线BD交AC于点D，有，
由内角平分线定理可知，，解得，
△ABD中，由正弦定理， ，解得，
两个不同的点P，Q在线段BD上，设，，，且，
由，则有，，
由，得
，
化简得：，由，得，
且，符合条件，
所以线段BD上存在两个不同的点P，Q使得，满足题意的线段BP的长度可以取
22．在非直角三角形ABC中，角的对边分别为，
（1）若，求角B的最大值；
（2）若，
（i）证明：；
（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，，证明见解析.
【解析】(1)由余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出角B的最大值.
(2)(i)由正弦定理边角互换可得，结合和差化积公式和诱导公式可得，结合两叫和、差的余弦公式和同角三角函数的基本关系可得所证式子.
(ii)结合已知条件和半角正切公式可得，通过整理变形可得，从而可求出.
【详解】解：（1）因为，所以由余弦定理可得：
（当且仅当时取等号），
又，，所以角B的最大值为.
（2）（i）由及正弦定理得，
所以，因为，
所以，
有，由两角和、差的余弦公式可得
整理得，故．
（ii）由及半角正切公式可得
，
，展开整理得，
即，即，
即，与原三角式作比较可知存在且．
【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了诱导公式，属于难题.本题的难点在于变形整理.6.4.3.2正弦定理专项练习提升版
一、单选题
1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为
A． B． C． D．
2．设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(） B．(）
C．[) D．[，1)
6．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角所对的边分别为下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，，，，是的外接圆的圆心，是角A的平分线和BC边的交点那么（ ）
A． B．
C．的外接圆的面积为 D．
11．已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
A． B．
C． D．
12．已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（ ）
A．若为直角三角形，则；
B．若，则为等腰三角形；
C．若，则的面积为；
D．若，则．
三、填空题
13．是等边三角形ABC的外接圆，若的半径为2，则的面积为_________．
14．锐角的内角所对边分别是a，b，c且，，若A，B变化时，存在最大值，则正数的取值范围______．
15．已知O为△外接圆的圆心，D为BC边的中点，且，，则△面积的最大值为___________.
16．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为_________．
四、解答题
17．已知锐角的内角所对的边分别为，且，.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
18．在中，分别为内角A，B，C的对边， ．
（1）求；
（2）若是线段的中点，且，，求的面积．
19．已知函数，其中，，，
(1)求的最小正周期和对称中心；
(2)在中，，，分别是角，，的对边，若，，求的取值范围．
20．已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．
（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；
（2）若，求的最小值．
21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
(1)求角B的大小；
(2)给出以下三个条件：
条件①：：条件②：；条件③：
从这三个条件中选择两个条件，使得△ABC存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题：
（i）求sinA的值：
（ii）已知∠ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD上是否存在两个不同的点P，Q使得？若存在，直接写出一个满足题意的线段BP的长度；若不存在，直接写“不存在”.（无需说明理由）
22．在非直角三角形ABC中，角的对边分别为，
（1）若，求角B的最大值；
（2）若，
（i）证明：；
（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
