6.4.3正弦定理（第二课时）专项练习提高版
一、单选题
1．若在中，是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2．在中，已知，，，则的面积为（ ）
A． B．或 C． D．
3．在中，已知，，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
4．中，已知，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
5．在平面四边形ABCD中，，AD=3，BD=则CD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
10．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）
A．，，； B．，，；
C．，，； D．，，.
11．已知面积为12，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最大值为
C．的值可以为 D．的值可以为
12．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则CD的值可能为（ ）
A．1 B． C． D．2
三、填空题
13．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________
14．在中，角所对的边分别为，，，则的面积为__________.
15．在中，，且的外接圆的半径，则边________．
16．已知的外接圆的圆心为，若，则_________.
四、解答题
17．中，角，，满足，且.
（1）在边上有一点，且，若，求；
（2）求的最小值.
18．如图，在平面四边形ABCD中，.
(1)若，求线段AC的长：
(2)求线段AC长的最大值．
19．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.
20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
21．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且.
(1)若，求a；
(2)若角C为钝角，求△的周长的最小值.
22．已知向量，，函数
(1)求函数的解析式和对称轴方程；
(2)若a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
(3)若时，关于x的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.6.4.3正弦定理（第二课时）专项练习提高版解析
一、单选题
1．若在中，是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】C
【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得．
若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知．
所以，“”是“”的充要条件．
故选：C．
2．在中，已知，，，则的面积为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面积公式计算．
【详解】因为中，已知，，，
所以，由余弦定理得，
解得或2，
所以的面积或．
故选：B.
3．在中，已知，，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】根据正弦定理解三角形即可，要注意角度的取值范围．
【详解】根据正弦定理有，
所以，
又在中，有，且，
则，所以．
故选：C．
4．中，已知，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理求出的值，由大边对大角确定的范围，从而求出结果.
【详解】∵由正弦定理可得：.
∴或，，
又∵，，
∴由大边对大角可得：，
∴.
故选：B.
5．在平面四边形ABCD中，，AD=3，BD=则CD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理有，根据余弦定理可得，结合，在△中应用余弦定理得到关于的三角函数式，即可求最小值.
【详解】由，则，
又，且，
在△中，且，
所以，当时，最小值.
故选：D
【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理以及角的数量关系、辅助角公式得到关于的三角函数式，利用正弦函数的性质求最值.
6．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案.
【详解】由，由正弦定理得,
即有，而，则，
又，
由正弦定理 余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，
解得，
因此
，
由得：，，
所以.
故选：D
7．在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，可得；再结合正弦定理将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，再根据正弦定理可得，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．
【详解】由，得，，
，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又锐角，且，，，解得，，，
，，，，，，
的取值范围为．
故选：A．
8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【分析】由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值.
【详解】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：A．
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】BC
【分析】由题意画出图形，可知，求出的范围，根据选项，得出结果即可.
【详解】解：如图：
要使有两个解，则，
即，解得：，
故选：BC
10．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）
A．，，； B．，，；
C．，，； D．，，.
【答案】AD
【分析】由正弦定理解三角形后可得结论.
【详解】对于A，由正弦定理得：，
，，即，，则三角形有唯一解，A正确；
对于B，由正弦定理得：，
，，即，或，则三角形有两解，B错误；
对于C，由正弦定理得：，无解，C错误；
对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.
故选：AD
11．已知面积为12，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最大值为
C．的值可以为 D．的值可以为
【答案】AD
【分析】利用同角的三角函数的基本关系结合面积、余弦定理可得，计算出可判断A的正误，而利用余弦定理、基本不等式可得关于的三角函数不等式，从而可判断B的正误，对于C，求出的范围后可判断其正误，对于D，由可得的值，结合已知条件可判断三角形是否存在.
【详解】设所对的边为，因为面积为12，故，
故.
对于A，若，结合为三角形内角可得，故.
因为，故，故，故.
由正弦定理可得，故，故A正确.
对于B，由余弦定理可得，
所以即，当且仅当时等号成立.
而，故，故，整理得到，
而，
因为，故，故的最大值为，
当且仅当时等号成立，故B错误.
对于C，，
故，而，
故，故C错误.
对于D，若，则可得或，
若，则 ，消元后得到： ，
所以，整理得到，
但，故矛盾即不成立.
若，则，消元后得到：，
所以，整理得到，
结合可得，此时，
故D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：三角形一般有7个几何量（三边和三角以及外接圆的半径），由已知的三个量一般可求出其余的四个量，求解过程中注意选择合适的定理来解决，另外在边角关系的转化的过程，注意根据边的特征和角的特征合理消元.
12．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则CD的值可能为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】CD
【分析】设，由正弦定理得，由余弦定理得，，结合辅助角公式求出，即可求解.
【详解】设，在中，由正弦定理得，即，
由余弦定理得，又，
在中，由余弦定理得
，其中，所以当时，，A、B错误，C正确；
当时，，D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________
【答案】等腰三角形或直角三角形
【分析】通过正弦定理，边化角，找到角度间的联系即可.
【详解】由及正弦定理，得
所以或，
故是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形
14．在中，角所对的边分别为，，，则的面积为__________.
【答案】或1
【分析】由条件结合二倍角正弦公式求，再由三角形面积公式求的面积.
【详解】因为，
所以，
所以或，
当时，由可得的面积，
当时，，的面积，
所以的面积为或1.
故答案为：或1.
15．在中，，且的外接圆的半径，则边________．
【答案】
【分析】应用正弦定理求解即可.
【详解】在中，,
由正弦定理可得,所以,
故答案为: .
16．已知的外接圆的圆心为，若，则_________.
【答案】
【分析】根据外接圆作图，设外接圆半径为，由于，则可得，结合正弦定理确定，可得，又有外心的几何性质将变为，可得，根据余弦定理有，联合可得三边比例关系，即可得的值.
【详解】解：
如图，的外接圆的圆心为，过作于点
设外接圆半径为，
由于，所以，即，
由正弦定理得，且角为锐角，则
由余弦定理得①
因为，所以，
其中，
，
所以，即，又余弦定理得
所以②
联立①②得：，则.
故答案为：.
四、解答题
17．中，角，，满足，且.
（1）在边上有一点，且，若，求；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先用二倍角公式化简，进而用正弦定理角化边，再通过余弦定理求A，进一步求得，再通过正弦定理求出；
（2）先将切化弦，通分化简可得，然后消去C，通过降幂公式和辅助角公式化简，通过B的范围即可求得.
【详解】（1）由
，
由正弦定理得，即，又
∴，又，∴是正三角形，∴，
由正弦定理得
（2）
∵，∴，∴
所以当时，有最小值为.
18．如图，在平面四边形ABCD中，.
(1)若，求线段AC的长：
(2)求线段AC长的最大值．
【答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答.
（2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答.
【详解】（1）在中，，，由余弦定理得：
，即，解得，
在中，，由余弦定理得：，
所以.
（2）设，
在中，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，，
在中，由余弦定理得：
，
当且仅当，即时取“=”，此时，
所以当时，线段AC长取最大值6.
【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.
19．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，再利用化简，从而求出角；
（2）在中由余弦定理建立等式，再利用得到另一等式，进而求出的三边，由此求出其面积．
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
因为，则，所以，即，故，
又，所以，故.
（2）由题意设，，，由（1）得，
在中由余弦定理可得，①，
因为，所以，
即②，
联立①②，解得（负值舍去），
则，，是等边三角形，
所以，即的面积是．
.
20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；
（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得
【详解】（1）在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
21．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且.
(1)若，求a；
(2)若角C为钝角，求△的周长的最小值.
【答案】(1)6；
(2)77.
【分析】（1）根据角的范围，结合已知条件和正弦定理，求得的初步范围，再对每种情况进行讨论，即可求得结果；
（2）根据正弦定理，求得之间的等量关系，结合的范围，以及为整数，进行讨论即可求得周长最短时，三角形各边的长度，则问题得解.
【详解】（1）由，可得，
则，
整理得：，
若，则，，
解得，
此时，不满足题意；
则，且；
又，故可得，
则，又为正整数，故或或，
当时，由可知，不是整数，不满足题意；
当时，由可知，，满足题意；
当时，由可知，不是整数，不满足题意.
综上所述：.
（2）根据正弦定理可得：，
即，
则，
由可得：代入 ，
可得：；
因为为钝角，即，解得，
故，则，即，
因为为整数，当时，都没有满足条件，
当时，此时，此时满足要求的的最小值为，
注意到，则也为整数，当时不满足，
则将扩大整数倍，当扩大4倍得到，此时满足要求，
则当时，是满足题意的三角形的最短边长，
故三角形周长的最小值为.
故△周长的最小值为77.
【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，解决第一问和第二问的关键是准确应用为整数这一条件，属综合困难题.
22．已知向量，，函数
(1)求函数的解析式和对称轴方程；
(2)若a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
(3)若时，关于x的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.
【答案】(1)，对称轴方程为
(2)见解析；
(3)，
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出对称轴方程；
（2）先求出，再根据与及b的大小关系判断这个三角形解的个数；
（3）将方程化为，进而转化为要有两个不同于的根，数形结合得到数的取值范围及的值.
（1），令，解得：，故对称轴方程为：
（2），因为，所以，故，解得：，当时，此时，故此时三角形解的个数为0，即不存在这样的三角形；当时，此时，此时三角形解的个数为1，且∠B为直角；当时，此时，三角形解的个数为2；当时，此时，这个三角形解得个数为1，综上：当时，这个三角形解的个数为0；当时，这个三角形解的个数为1；当时，这个三角形解的个数为2；
（3），即，变形为所以，当，有一个解，不妨设解为，则即有两个不同于的两个解，因为，故，且在上单调递增，在上单调递减，要想有两个不同于的解，需要，解得：，此时的两根关于对称，即，所以
【点睛】对于判断三角形的个数问题，再已知得情况下，利用与及b的大小关系进行判断，当时，不存在这样的三角形，当或时，这样的三角形有1个，当时，这样的三角形有2个.
