4.2.2 指数函数的图象和性质 同步练习（含解析）

4.2.2 指数函数的图象和性质
一、单选题
1．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
5．当时，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
7．幂函数在R上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（-3，1） D．（-3，2）
8．已知函数是定义在R上的偶函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
10．当时，有，（且），则实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
11．设，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
12．若实数，，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知，， ，则、、的大小关系为_____________
14．函数的单调递增区间为______.
15．已知函数，则该函数的单调递减区间为______．
16．函数且恒过定点，__．
四、解答题
17．已知函数，且.
(1)若函数的图象经过点，求在区间上的值域；
(2)求使得不等式成立的实数的取值范围.
18．已知函数是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值，并判断函数的单调性；
(2)求函数的值域．
参考答案：
1．B
【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论的单调性，从而得到，再由在上的单调性得处有，从而得到，由此得解.
【详解】因为在上单调递增，
当时，在上单调递增，所以；
当时，在上单调递增，所以，即；
同时，在处，，即，即，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
综上：，即.
故选：B.
2．B
【分析】利用可得，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值.
【详解】，且在上单调递减，
由得：，即，，
（当且仅当时取等号），
则的最小值为.
故选：B.
3．A
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得答案.
【详解】∵，，
∴，
故选：A.
4．A
【分析】利用换元法，结合二次函数和指数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，函数可化为为，
因为函数开口向上，对称轴为，即.
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减，又因为在上单调递减，
由复合函数的单调性可得，函数在上单调递增.
故选：.
5．C
【分析】根据指数函数的单调性得出值域.
【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以，
于是，即
所以函数的值域是.
故选：C.
6．D
【分析】根据指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为函数为增函数，
所以函数的最大值为.
故选：D.
7．D
【分析】由函数为幂函数且在R上单调递增，可得，再由指数函数过定点，即可得函数所过的定点.
【详解】解：因为为幂函数且在R上单调递增，
所以，解得，
所以，
又因为指数函数恒过定点，
所以恒过定点.
故选：D.
8．D
【分析】首先根据函数是偶函数，求，然后再分段求不等式的解集.
【详解】设，，因为函数是偶函数，
所以，则，则，
所以，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
所以不等式的解集为.
故选：D
9．AC
【分析】根据函数奇偶性的定义及判定方法，以及初等函数的性质求解，即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，且在上单调递减，故A正确；
函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，故B错误；
函数的定义域为，且，则为奇函数，又在上单调递增，则在上单调递减，故C正确；
函数定义域为，且，，，所以函数为非奇非偶函数，故D错误.
故选：AC.
10．AC
【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】解析：时，（，且）.
若，是增函数，
则有，可得，故有；
若，是减函数，
则有，可得，故有，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：AC.
11．BCD
【分析】根据题中所给定义，结合函数的奇偶性、单调性、值域对选项依次辨析即可.
【详解】对于A，由已知，，∵，∴，∴，
，∵，∴，，
∴，∴函数不是偶函数，故选项A错误；
对于B，由已知定义域为，，都有，
，
∴，是奇函数，故选项B正确；
对于C，，
令，，则当时，单调递增，且，
当时，单调递增，
∴由复合函数的单调性知在上是增函数，故选项C正确；
对于D，∵，∴，∴，即，
当时，；当时，，
∴的值域为，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】在判断函数是否为奇函数时，若较为复杂，可通过是否有进行判断.
12．AC
【分析】根据得到，，AC正确；取特殊值排除BD得到答案.
【详解】，故，，AC正确；
取，满足，不成立，B错误；
取，，满足，不成立，D错误.
故选：AC
13．
【分析】根据指数幂的运算，先比较的大小关系，然后再比较的大小关系，即可得到结果.
【详解】由题意可知，
，故；
又，，
因为，故，
综合可得.
故答案为:
14．
【分析】令，求出的单调区间，再根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】令，则在上单调递减，在上单调递增，
又在定义域上单调递减，
所以的单调递增区间.
故答案为：
15．
【分析】根据复合函数的单调性的性质进行求解即可.
【详解】指数函数是实数集上的单调增函数，
因为，所以该二次函数的对称轴为，
所以该二次函数单调递减区间是，
因此根据复合函数的单调性可得函数的单调递减区间是.
故答案为：
16．
【分析】由已知，根据指数函数的性质即可求解．
【详解】令可得，
此时有.
由题意可得，，
所以，，
所以．
故答案为：．
17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据指数函数的图象过的点，求得参数a，可得函数解析式，即可求得答案.
（2）讨论a的取值范围，根据函数的单调性解不等式，可得答案.
【详解】（1）因为函数，且的图象经过点，
所以，所以，
所以在上为减函数，
所以的最小值为，最大值为，
的值域为
（2）因为函数，且，
所以即为，
当时，所以在区间上单调递增，.
则，解得或；
当时，
所以在区间上单调递减.，
则得，解得，
综上可得当时，的范围是；
当时，的范围是.
18．(1)，函数为增函数
(2)
【分析】（1）根据函数为R上的奇函数可得，即可求出，再利用定义法即可判断函数的单调性；
（2）先由得，从而可求得的范围，进而可得函数的值域.
【详解】（1）由题可知，函数是定义在R上的奇函数，
∴，即，
经检验时，为奇函数，则，
令，
则，
∵为增函数，，
∴，
∴，即
∴函数为增函数；
（2）∵，∴，∴，
∴，∴，
∴函数的值域为．